基于進化規劃算法的導波頻散曲線計算

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(1. 92330部隊, 青島 266103;2.海軍駐武漢438廠軍代室, 武漢 4300613.海軍工程大學 動力工程學院, 武漢 430033)

作為一種新興的無損檢測技術，基于磁致伸縮效應的導波無損檢測方法可以實現非接觸、大范圍及長距離的快速檢測，是近年來國內外無損檢測界研究的熱點技術之一[1-2]。該技術的理論基礎是導波傳播理論及導波特性，其中導波最重要的兩個特性就是頻散和多模態特性：頻散特性即波的傳播速度隨著頻率的變化而變化，多模態特性就是一定頻率下可以存在多個模態的導波，而最直觀反映導波這兩種特征的就是頻散曲線，其是研究分析導波特性和利用導波實施無損檢測時選擇激勵頻率的重要工具。由于不考慮導波能量的泄漏，相對而言，求自由管道頻散方程的實數解比較簡單，并且計算方程實數根的算法很多，如二分法、牛頓迭代法、弦線法等。相對于自由系統中導波頻散方程的求解，泄漏系統中的方程求解要困難得多，而導波在泄漏系統中的衰減特性通常使用復頻率或復波數來描述[3-6]。ARISTéGUI等[7]討論了復頻率和復波數的差別，發現復波數能更準確地描述導波的衰減。筆者提出了一種基于進化規劃的加載流體管道中頻散方程復波數求解的方法，充分利用了進化規劃智能搜索的特點，大大簡化了粗略和精確搜索反復求解的過程。

1 加載流體管道中導波頻散方程的建立

假設管道材料特性是均勻、各向同性的線彈性體，管道為軸對稱且無限長。對于各向同性的彈性固體介質，若不考慮體力的影響，其一般的彈性動力學柱坐標下的運動方程(Navier-Stokes方程)為[8]

(λ+μ)(

(1)

式中：u為位移矢量;ρ為材料密度;λ和μ為Lamé常數。

時間諧振位移矢量u通過Helmholtz分解表示為可壓縮標量勢φ的梯度和零散度矢量φ的旋度，即

(2)

將式(2)代入Navier 運動方程得

(λ+μ)·(φ+×φ)+

μ2(φ+×φ)=

(3)

文章以管道中充滿水為例進行分析，由于非黏性流體不支持剪應力，因而固-液和固-氣交界處的邊界條件不同于固-固交界面的邊界條件。在管道內壁與流體的交界處，只有徑向位移ur，正應力σrr及壓縮應力σrz連續，而管道外表面上應力自由，則邊界條件為

σrr=0,σrz=0，r=b

(4)

將管道中導波位移和應力表達式以及水中導波的位移和應力表達式代入邊界條件，同真空中管道一樣，產生一組特征方程，為以幅度A、B、C1、D1、E的矩陣形式

[Eij]·[H]=0

(5)

式中：H=[ABC1D1E]T;Eij為系數矩陣。

要使上述方程有非零解，其系數矩陣行列式必須為零，即

|Eij|=0，i,j=1,2,…,5

(6)

式(6)即為加載流體管道中的導波頻散方程。

2 導波頻散曲線計算

2.1 進化規劃及變異算子

進化規劃(Evolutionary Programming,EP)是三種典型進化算法(Evolutionary Algorithms,EA)之一，最早由美國FOGEL L J等[9]于20世紀60年代提出，后經FOGEL D B等[10]完善而成，其主要的應用介于數值分析和人工智能之間。同其他進化算法比較，EP主要有以下特點：① 對生物進化過程的模擬主要著眼于物種的進化過程，沒有交叉算子，變異是唯一的操作方法；② 常用q選擇運算，著重于群體中個體的競爭選擇；③ 不必對變量進行編碼，直接利用實數編碼，以問題的可行解作為個體的表現形式，表述問題更加自然，搜索過程比較平穩，便于應用；④ 以n維實數空間上的優化問題為主要處理對象。

進化規劃采用十進制編碼，沒有重組或交換算子，但有選擇，進化主要依賴突變，操作控制簡單。

在標準進化規劃中，個體的表達形式為

i=xi+ζ·Fi(0,1)

(7)

式中：xi為父代個體；i為子代個體，由父代個體產生；ζ為一個變異尺度；Fi(0,1)為服從某一分布的隨機數，也就是下面所討論的變異算子。

式(7)表明，新個體是在舊個體的基礎上添加一個隨機數形成的，添加的隨機數的數值與個體的適應度有關，適應度大的個體添加值也大，反之亦然。

根據表達方式，進化規劃首先產生μ個初始個體，對其添加變異。然后從μ個舊個體及μ個新個體，共2μ個個體中根據適應度挑選出μ個個體組成新群體。如此反復迭代，直至得到滿意結果。進化規劃的工作流程類似于其他進化算法的流程，同樣經歷“產生初始群體-突變-計算個體適應度-選擇-組成新群體”的過程，然后反復迭代，一代一代地進化，直至達到最優解。

通過進化算法的個體表現形式，即從式(7)可以看出，變異算子是該算法中主要的遺傳算子，對算法本身的效率有著重要的影響。高斯算子的局部開發能力較好，柯西算子的全局探索能力較強，兩類算子各有優點和不足，同時兩者的變異性能具有一定的互補性。t分布的特性使得t算子能整合這兩類算子的長處，從而更便利地找到最優解[11]。鑒于t算子的優良特性，文章將采用其作為進化規劃算法的變異算子。

2.2 計算步驟

基于進化規劃算法的頻散方程求解的流程如圖1所示，可具體描述為：

圖1 利用進化規劃算法計算頻散曲線的流程圖

(1) 參數初始化。輸入管道內徑ra、外徑rb，材料密度ρ，彈性模量E,泊松比σ，流體密度ρf，流體中縱波速度cf；

(2) 建立頻散方程。根據邊界條件建立流體管道的頻散方程|Eij|=0，設定初始計算頻率f，頻率步長fstep，計算頻率最大值fmax；

圖2 頻散方程行列式與實波數之間的變化關系

(4) 基于進化規劃的頻散方程求解。選擇合適的t算子，在各個模態波數的定義域內求解計算頻率下對應模態頻散方程的復波數解k；

(5) 計算相速度cp。求出波數的虛部kimag為衰減系數catten，由實部kreal計算各個模態的相速度cp=2πf/kreal；

(6) 若f>fmax，轉入步驟(7)，否則f=f+fstep，轉入步驟(3)；

(7) 計算群速度cg。根據cg=dω/dk計算各模態的群速度。

2.3 t算子的選擇

如上文所述，進化規劃算法中主要通過變異控制整個進化過程，故變異算子的選擇會直接影響算法性能的優劣。一般來說，當種群中目標函數值相差較小的個體可能位于最優點附近時，算法應該以局部開發為主；與目標函數值相差比較大的個體應加大變異尺度，在更廣的空間范圍內進行全局搜索，盡快逃離不利區域進入目標區域，算法的這種功能就只有通過合理控制進化變異算子來實現。t算子變異尺度由變異步長ζ和自由度n控制，文章將采用保持自由度n，變異步長ζ線性遞減的t算子控制變異尺度優化進化過程。圖3所示為使用不同變異步長算子時，基于tEP求解導波頻散方程的進化過程。當變異步長ζ=0.1時，在經過很長一段時間才開始有向最優點進化的趨勢，進化速率有點緩慢。ζ=2時，開始時間段內目標函數迅速下降，但經過二三十代后趨于平穩，此時收斂精度不高。采用變異步長ζ線性遞減的t算子時，開始階段ζ相對較大，可以看出目標函數值迅速收斂進入目標區域，ζ隨著進化代數的增加也逐漸變小，算法開始以局部搜索為主來尋找全局最優值。變異步長ζ線性遞減的t算子融合了大步長和小步長的優點，故采用這種變步長的t算子來求解頻散方程。

圖3 不同算子時基于t EP的頻散方程求解進化過程

2.4 試驗驗證

使用自主開發的磁致伸縮導波檢測系統(GWNDT-II)對某充水管道進行檢測。管道的相關參數為：內半徑，27 mm;壁厚,4 mm;密度,7 932 kg·m-3;泊松比σ,0.29;彈性模量E,210 GPa;管長6 m。水的屬性參數為:密度,1 000 kg·m-3;縱波速度cf,1 500 m·s-1。

利用文章提出的算法計算得到該充水管道的導波頻散曲線，如圖4所示。然后，依據頻散曲線選擇不同的導波激勵頻率，得到不同激勵頻率時的導波檢測信號如圖5所示。

將由頻散曲線得出的充水管道中不同激勵頻率導波的群速度理論值與試驗檢測值進行比較，如表1所示，可見各頻率下試驗值與理論值基本一致，誤差很小。圖6為兩者的對比曲線，可更直觀地表現出兩者間的關系，從圖中可看出試驗值與計算曲線相吻合。由此證明了基于進化規劃算法的頻散方程求解方法的正確性。

圖4 充水管道的頻散曲線

圖5 不同激勵頻率時導波的檢測信號

m·s-1

圖6 群速度試驗結果與理論計算值的比較

3 結論

提出了一種求解導波頻散曲線的新方法，將進化規劃算法應用到頻散方程的求解中。相對于其他進化算法，進化規劃算法的模擬主要著眼于物種的進化過程，沒有交叉，突變是其唯一的控制方法，操作控制比較簡單。頻散曲線是反映導波在管道中的傳播特征的最直觀的手段之一，鑒于頻散方程求解的復雜性和進化規劃算法解決復雜問題的能力，將進化規劃算法應用到流體管道的頻散曲線求解中。通過比較，其計算結果和試驗值擬合較好，且計算所得的頻散曲線反應出的導波特性與試驗反應出的導波特性是一致的。通過試驗驗證，充分證實該計算方法的可行性，且較其他方法便捷。文章以充水管道為研究對象，而同樣的方法可推廣到充滿黏性液體管道、埋地管道等頻散曲線的求解中，只是頻散方程和邊界條件不同，求解思路和過程是一致的。