經濟數學教學中如何加深學生對定義的理解

李紅敏

摘要：本文主要針對經濟數學中學生感到比較枯燥無味的定義，如何讓學生正確認識到它們的重要性，并對它們感興趣，同時能夠掌握和運用它們展開研究。

關鍵詞：經濟數學;定義;數學分析

中圖分類號：G642.0???? 文獻標志碼：A???? 文章編號：1674-9324（2019）13-0218-02

一、背景

國內大部分本科院校都開設了經濟數學[1]課程，以華僑大學為例，經濟數學分為B1、B2。經濟數學B1針對偏理科的學生，例如經濟與金融學院的學生、旅游學院的學生;B2則針對偏文科的學生，例如政治與公共管理學院的學生。這些學生在高中學的數學內容不一樣，有的廣泛些，有的相對狹窄些。筆者講授經濟數學B2，教授對象大部分為理科生，小部分為文科生。有些文科生高中數學知識比較淺薄，對三角函數的和差化積、極坐標等都沒有接觸過，經濟數學中的某些定義對他們來說簡直是天方夜譚。

經濟數學中的章節一環扣一環，如果前期沒有做好鋪墊，后面章節就很難理解。以連續函數的概念為例，在理解該概念之前，我們首先要了解什么是極限，也就是說，極限概念沒有掌握就不能明白連續的概念。更重要的是，大部分本科院校的學生會在大二的時候學習概率論與數理統計課程[2，3]，該課程中的很多內容都要用到經濟數學中的知識，可見能否掌握經濟數學的內容關系著非專業數學學生的整個大學生涯的大部分課程的學習。

大部分學生對經濟數學中的定義望而卻步，以為只要把公式記住，遇到習題利用這些公式就行了，但是在實際學習中，只背一些公式是遠遠不夠的，如果對常見的習題做些變動，很多學生就不知所措了。只有對課本上的定義理解了，不管習題做什么樣的變形，都不會離開基礎的內容，解決它們就輕而易舉了。那么如何讓一些對數學不感興趣的學生對這些枯燥的定義產生興趣是本文的研究內容。

二、如何加深學生對定義的理解

1.用事實說話。首先要讓學生認識到這些定義的重要性。學習就如蓋房子一樣，而這些定義就如房子的根基，根基打不好，蓋出的房子就搖搖欲墜，不牢固。舉個例子：經濟數學中第六章有一道課后習題：設f（x）在[0，1]上連續，且滿足f（x）=xf（t）dt-1，求

f（x）dx及f（x）。想要求解這道題，我們首先要明白定積分f（x）dx是一個數，這樣的話便可以將其設為一個數A，因此f（x）=xA-1。顯然，求出A便求出了f（x），因為A是一個與x無關的常數，因此我們便可將上述式子兩邊對f（x）關于x從0到1上作定積分，也就是f（x）dx=xA-1dx，此時通過簡單的定積分計算，我們便可得出A=-2，那么f（x）的表達式顯然就出來了。求解這道題不僅要求學生會簡單的定積分計算，還要求學生掌握定積分的定義及幾何意義，知道定積分是一個數才能解出該題。對于二重積分也是類似，二重積分用來求解空間立體的體積，學生不僅要會求二重積分，也要明白其定義和幾何意義。例如關于二重積分的一道題：設閉區域D={（x，y）|x+y≤1，x≥0}，f（x，y）為D上的連續函數，且滿足f（x，y）=1-x-y-f（x，y）dxdy，則f（x，y）=？如果對關于定積分的上述習題能夠掌握其思想，那么這道題就能夠很快的求出。因為這兩道題有異曲同工之妙。從這兩道題我們可以看到，學生不能死記硬背課本上的定義，要理解它們，否則會做的習題將僅僅局限在簡單的定積分計算上。

2.詳細講述課本基礎知識，使其深入學生的骨髓。用事實說話，讓學生認識到書本上定義的重要性之后，他們才能積極的學習。此時，就需要教師將這些定義詳細透徹地講解給學生。在講述過程中，對于一些比較復雜的概念，一定要清晰地表達給學生，不能出現模棱兩可的地方，有些學生聽不懂，就會產生抵觸情緒。對于一些文科生來說，基礎知識比較薄弱，上課之前，需要讓他們提前預習講述內容，否則聽不懂的會越來越多，直到他們想起書上的定義就頭疼，看都不想看。

3.增加基礎知識方面的練習。除了上課要向學生清晰透徹地講述定義之外，還要給學生布置相關的習題練習，并給他們足夠的時間思考，這樣不僅能夠加深學生對內容的理解，還能及時清楚自己哪個知識點沒有學會，課余時間便會請教教師。這里我們需要強調的是，講述定義后，對應的小章節后面可能沒有相應的練習，這時便要從本章總練習題、網上、數學分析書[4，5]等上尋找相應的習題給學生練習。此外，我們應該加強定義方面習題的練習，例如：設f（x，y）=，x+y≠00，x+y=0，求f（x，y）的偏導數并討論f（x，y）在（0，0）處的連續性。顯然（0，0）為函數f（x，y）的一個特殊的點。對于該點的偏導數，我們不能按照一般偏導數的方法求解，只能按照定義求解它的偏導數。此外，函數在該點的連續性，也需要根據連續的概念才能判斷。對于這種類型的題目，定義的掌握不可或缺。

4.將基礎知識聯系實際，使學生切身感受到它們的重要性。很多學生覺得經濟數學沒有應用，初高中階段學的數學知識足夠了。其實不然，舉個例子：在初高中階段，學生已經學過常見平面圖形的面積和空間立體的體積公式，例如三角形的面積公式、橢圓的面積公式、圓柱體的體積公式等。那么對于其他常見的不規則的圖形面積和立體體積怎么算呢？這樣就引入了定積分和二重積分（大部分可以化為兩個定積分計算）的概念。此外，我們還可以利用定積分解決一些經濟問題。例如：設某商品價格P是銷售量x的函數P=

P（x）。計算當銷售量從a增長到b時的收益R為多少？（設x為連續變量）。因為價格隨銷售量的變動而發生變化，因此不能直接用銷售量乘價格的方法計算收益。這是初高中所學知識解決不了的。學了定積分定義之后，我們發現該問題可以用定積分來解決，所求收益R=P（x）dx。當然這需要學生能夠掌握并運用定積分才行。

參考文獻：

[1]吳傳生.經濟數學——微積分[M].第三版.北京：高等教育出版社，2015.

[2]吳傳生.經濟數學——概率論與數理統計[M].第二版.北京：高等教育出版社，2009.

[3]盛聚.概率論與數理統計[M].第四版.北京：高等教育出版社，2008.

[4]華東師范大學數學系.數學分析[M].第四版（上冊）.北京：高等教育出版社，2010.

[5]華東師范大學數學系.數學分析[M].第四版（下冊）.北京：高等教育出版社，2010.

How to Deepen Students' Understanding of the Definition in the Teaching of Economic Mathematics

LI Hong-min

（School of Mathematical Science，Huaqiao University，Quanzhou，Fujian 362021，China）

Abstract：This article mainly aims at the economic mathematics middle school student to feel the relatively dull definition，how to let the student realize their importance correctly，is interested in them，can grasp and use them to launch the research.

Key words：economic mathematics;definition;mathematical analysis