淺談機電一體化技術專業中《復變函數與積分變換》的教學方法

高圓圓

摘要：《復變函數與積分變換》是機電一體化技術專業必修的基礎課程，由于其數學理論難度較大，公式定理較為復雜，大部分學生在學習時感到困難，無序可循。而數學專業出身的教師，缺乏該課程在解決機電領域實際問題的經歷，因此不容易把握對于機電一體化專業學生的教學思路和方法。本文結合多年為機電專業學生教授本課程的經驗，總結出針對機電一體化技術專業學生講授該門課程時需把握的若干教學方法。

關鍵詞：《復變函數與積分變換》;機電一體化技術;教學思路

中圖分類號：G642.0???? 文獻標志碼：A???? 文章編號：1674-9324（2019）13-0206-02

《復變函數與積分變換》是工科類專業的一門重要的基礎理論課程，它是研究復數自變量復值函數的分析課程，包含復變函數和積分變換兩大部分。在一定程度上可以說，該課程是微積分學的推廣。獨立成為一門課程則是因為它有著自己獨特的研究對象和數學方法[1]。對于解決工程問題，尤其是機電一體化領域內的自動控制、系統分析等問題有著非常重要的作用。因此，在機電一體化領域的專業課程學習之前，開設《復變函數與積分變換》課程起到了至關重要的鋪墊和準備作用。現就該課程在針對機電一體化技術專業學生的授課過程中的一些問題進行如下闡述。

一、積極類比高等數學的綱領性內容，明確復變函數與積分變換的知識主線

機電一體化技術專業的學生在大一年級都會將《高等數學》學習完畢，之后才會在大二年級中的第一學期學習《復變函數與積分變換》課程，因此學生對于數學的學習思路會很自然地從高等數學上嫁接過來。《復變函數與積分變換》的主干知識鏈接起來為：變量—函數—極限—導數—微分—級數—積分變換，這樣的知識脈絡的確和高等數學有著相似之處，因此在復變函數與積分變換的教授之初就應當向學生強調這一學習思路。

在講解復變函數的主干知識點時，也可以積極類比高等數學的相關知識，舉例如下。

1.對復變函數極限的講解。復變函數極限的概念與一元實變函數極限的定義有著本質的區別，但是在形式上相似，取值的思想一致。因此，教師可以引導學生從原有實變函數的極限概念上過渡過來，理解復變函數的極限問題。同時，也要著重強調其區別，即一元實變函數的極限limf（x）中的x→x₀是指在x₀的鄰域內，x沿著數軸從x₀的左右兩個方向趨于x₀，從而產生了左極限和右極限的概念，而對于復變函數的極限limf（z）而言，z趨近于z₀的方式則是任意的，即從四面八方任意方向趨近于z₀。與之相關的復變函數的連續問題，也可按照這種方法來講解，即將復變函數f（z）=u（x，y）+iv（x，y）在z₀點處的連續等價為高等數學中兩個二元實變函數u（x，y），v（x，y）在（x₀，y₀）的連續問題。這樣可以降低對復變函數極限、連續問題的理解難度，化解學生的畏難情緒，更好地掌握這樣的基礎性知識點。

2.對初等函數的講解。復變函數領域內有指數函數、對數函數、冪函數、三角函數等，雖然它們是被推廣到復數領域內的函數，與實數函數有著本質的區別，但其形式上與相對應的一元實變函數相似。因此，教師在講解這一問題時，就可以積極引導學生將實變函數中的相關性質移植過來，例如指數函數的周期性、乘法計算規則等;三角函數的周期性、奇偶性以及一階導數公式等。同時，需要強調其差別，如三角函數在復變函數領域內是無界的，在實變函數內卻是有界的;對數函數在復變函數領域內是多值函數，在實變函數內卻是單值函數等。

二、緊扣機電一體化領域中要解決的實際問題，重點講解所需的數學理論

按照機電一體化技術專業的人才培養方案，《復變函數與積分變換》課程結束之后，才可以開設《機械工程控制基礎》、《傳感器與檢測技術》等專業核心課程。這些專業課程中會涉及《復變函數與積分變換》中的很多數學理論，而這些工程應用，對于大部分學生來說，在學習復變函數與積分變換的過程中，不能預先感受到所需的數學理論有哪些，無法體會這門工程數學在實際問題中的作用，就會引起學生的學習動力不足，加之公式復雜煩瑣，學生的困難感就會加劇。如果教師在教授過程中沒有引入實際工程問題去做應用型的講解，也會導致學生沒有重點的去學習，僅憑自我興趣進行取舍，從而出現在后續學習這些專業核心課程時，遇到數學理論不扎實、定理含義不明確等問題，再回頭去《復變函數與積分變換》中查找定理、定義，再考慮其應用問題，從而增加學習專業核心課程的難度。因此，在《復變函數與積分變換》的授課過程中，應當在以下幾點適當引入機電一體化領域中的實例進行講解。

1.講解傅里葉變換部分要與《傳感器與檢測技術》中的信號處理部分相結合。在機電一體化技術的專業課程《傳感器與檢測技術》中，會涉及傳感檢測系統的信號進行處理的部分，要求學生將周期信號展開為傅里葉級數，將非周期信號展開為傅里葉變換，進而繪制信號的傅里葉頻譜圖。而這一部分即為傅里葉變換的工程應用之一。因此，教師在授課時，可將傳感器中的信號處理問題列舉部分實例，引導學生學習并掌握傅里葉變換的方法。

2.講解拉普拉斯變換部分要與《機械工程控制基礎》中的傳遞函數的推導、系統框圖的建立相結合。《機械工程控制基礎》是經典控制理論的基本內容[2]，是實現機電領域內自動控制所需的基礎性控制理論，但也是機電一體化專業的學生普遍感到困難的專業核心課程之一，主要是因為涉及的數學理論較為復雜，尤其是在很大程度上借助了復變函數和拉普拉斯變換的數學方法。在機電領域中，要想對某一機械系統或電學系統進行數學分析，最重要的步驟就是建立系統的數學模型，并且用系統框圖的形式表示出來。而框圖中的每一個環節就是工程實際模塊對應的傳遞函數。傳遞函數的推導來源于對系統的微分方程進行拉普拉斯變換，這也是拉普拉斯變換在機電領域中最重要的應用之一。因此，在講授《復變函數與積分變換》課程中的拉普拉斯變換時，如果能夠以機電領域中典型的工程模型，如質量—彈簧—阻尼系統、液壓伺服系統、二端口電網路等為例，結合學生在大學物理課程中已經掌握的基礎力學公式、電學定律來建立微分方程，應用拉普拉斯變換進行轉換，得出代數形式的傳遞函數，學生會更加明確學習的內容及應用意義，加深對拉普拉斯變換的重要性認識，并且當再學到《機械工程控制基礎》等專業課程中的系統模型建立時，也會很容易利用復變函數與積分變換中的拉普拉斯變換這一重要的數學理論工具。

三、及時歸納關聯問題，總結有助于機電領域實際問題的工程數學思路

《復變函數與積分變換》課程的開篇為復數、解析函數，而后就開始進入復變函數積分的計算問題，而這一問題也潛伏在后續的級數、留數等問題中。復變函數積分的計算能力在學生的學習中，屬于較為難掌握的數學能力之一，學生會感到在面對各種復雜的積分計算的題目時，不知如何尋找求解的方法。與此同時，他們也會感到涉及復變函數的積分計算的公式、定理有很多，如柯西積分定理、柯西積分公式、高階導數公式、留數定理、特殊類型積分等，不知該作何選擇。這就要求授課教師在講解《復變函數與積分變換》的過程中，要把握前后章節中潛在的同類型問題的講解思路，及時歸納計算積分的不同情況的應對方法，明確各種情況下選擇計算方法的策略，使得學生在眾多解決積分計算問題的途徑中思路清晰。

參考文獻：

[1]劉吉佑.復變函數與積分變換[M].第1版.北京：高等教育出版社，2015.

[2]董霞，李天石，陳康寧.機械工程控制基礎[M].第1版.機械工業出版社，2012.

On the Teaching Method of "Complex Variable Function and Integral Transformation"

in Mechatronics Technology Specialty

GAO Yuan-yuan

（Qingdao Campus ，Technological Vocational College of Dezhou，Jimo，Shandong 266232，China）

Abstract："Complex Variable Function and Integral Transformation" is a compulsory basic course for the major of mechatronics technology.Because of its great difficulty in mathematical theory and complicated formula and theorem，most students find it difficult and disorderly to study.However，the teacher majoring in mathematics lacks the experience of solving the practical problems in the field of electromechanical，so it is not easy to grasp the teaching ideas and methods for the students majoring in mechatronics.Based on the experience of teaching this course for many years for the students majoring in mechanical and electrical engineering，this paper summarizes some teaching methods which should be grasped when teaching this course to the students majoring in electromechanical integration technology.

Key words："Complex Variable Function and Integral Transformation";mechatronics technology;teaching thought