淺談幾種基本集合的本質

王宇卓

摘要：集合是數學中的一個基本概念，集合的思想是構成現代數學的莫基石。數學中的許多問題都涉及到集合，高中的數學里面所探討的對象都能夠視為集合，我們可以用集合的表達闡述數學概念，數學中的集合思想有助于我們解決許多問題。文章將簡要介紹集合的概念、意義和本質并列舉集合在幾種數學問題中的應用。

關鍵詞：集合;數學;本質

一、概念與意義

集合在數學中有著至關重要的地位，是數學這棟大廈的基石。所謂集合就是讓一些具有獨特特征的對象集合在一起。構成集合的獨特對象就是元素。集合可以分為并集，交集，全集，差集。所謂并集就是將屬于兩個或多個不同的集合組合到一個集合里面，其實相同的元素不需要重復。交集就是將兩個或多個不同集合里的相同元素整合到一個集合里面。全集就是集合里面包含所有的元素。差集就是將兩個或多個不同的集合里面的不同元素整合到一個集合里面。集合具有確定、互異、無序的特點。

集合語言在數學語言中是非常基礎的語言，在高中數學課本中，集合是我們學習的第一個的知識，并且集合貫穿著整個數學的學習，比如在整數集，負數集等、平面圖片就是許多個點構成的集合，三維圖片可以理解成二維圖形的集合等。集合的符號也是我們需要掌握的基本符號，隨著學習的逐漸深入，能夠通過集合與元素的角度來看待圖形和圖形上的點的關系。在不等式的學習中，利用集合的概念有助于我們對點集的理解。站在集合的觀點可幫助我們理解概率論中基本事件和樣本間的關系，把控互斥事件和獨立事件間的聯系。

二、集合與應用

在高中數學中，任何一個板塊都有用到集合的定義以及其思想的地方。函數就是許多個點的坐標的集合，數列就是許多元素的集合。在邏輯運算、不等式計算、排列組合、解析幾何甚至是三維圖形中都有集合的身影。

（一）在邏輯問題中采用集合思想。在某些邏輯問題中，題目中的條件對我們來講是比較難看出，尤其是其中的充分性與必要性，假設我們采用集合的方法來解決問題，那么問題就能得到解決。例如我們舉個采用集合的方法解決邏輯條件的例子：把使命題P、4為真的對象分別看成集合A、B，則有下列結論：（1）若B等于A，則p、q互為充要條件;（2）若A包含于B，則P是q的充分而非必要條件，q是P的必要而非充分條件;（3）若A不包含于B，則p、q互為既不充分也不必要條件。

（二）集合在排列組合中的運用。排列組合的本質問題就是求得符合題目要求的解所構成的集合里的所有元素的個數。因此，在排列組合的問題上能直接運用集合的思想，在排列組合中，容斥原理是一個典型的應用之一。所謂容斥原理就是先把滿足某個條件的所有元素的數量先算出來，接著移除在計算過程中重復計算的元素的計算方法。

（三）集合在解析幾何中的應用。在解析幾何中，其探討的對象是一維或者二維的圖形，而這些一維或者二維的圖形都能夠視為點的集合，這種點的集合都是可以用不等式或者是二維坐標的方程。

（四）集合在立體幾何中的應用立體幾何就是三維圖形，這些圖形是符合一定條件的點集，若我們采用集合的思想來思考某些問題，有些問題就能迎刃而解。

三、集合的數學本質

一般來講，數學的集合論由集合的基本概念和有序對集合函數兩個部分。集合貫穿于數學的學習問題，是數學學習的奠基石。整個數學大部分的概念都可以用集合的表達方式來敘述，因此數學能夠在集合上構成一個獨立的科學系統。事實上根據集合和有序對集合之間的關系就能夠發現整個數學系統的構成搭建過程。

第一我們要明確集合這部分內容是數字化的過程：對象（集合）、運算（集合運算）、運算律（集合恒等式）、演算、應用（計數、證明恒等式、實際應用等）。此處在標準型上少了一部分，事實上集合的計算過程是能夠有標準型的，只不過此處的標準型比不上邏輯計算的范式重要而已。根據集合的內容和結構能夠了解集合與命題邏輯在內容上有著非常多相似的地方。

因為定義了集合這個基本語言，就能夠定義了含有有序對集合的語言，然后就是對關系的計算和他們計算的性質，這些都是進行代數處理的辦法，接著是對等價關系、偏序關系以及函數的理解。等價關系即集合上的一種特殊的二元關系，并且分類是等價關系的意義所在，這不僅是數學最基本的思想方法之一，也是挖掘數據中經常碰到的工作，與等價關系不同的是，“排序”才是偏序關系的意義所在，這也是計算機科學中經常研究的對象。

將函數賦予定義之后，就能對分析學展開研究。當使用函數將二元計算進行定義之后，就能鋪好代數學的基石。這樣分析學、代數學就都涵蓋進來了，于是整個數學系統的框架就差不多構建完成了。

集合涵蓋在集合論之中，集合論是數學基礎與根本。整個數學體系中，從基本的集合到各種關系、再到函數與計算，這些都是組成整個數學系統的基礎部分，同時也是集合的本質所在。

四、結語

貫穿于高中數學的學習中，每一個數學思想都值得我們認真學習，比如集合思想，函數與方程結合的思想，數形結合的思想等等，其中集合思想是最基本的思想方法，集合思想為數和形的內在聯系搭起了橋梁。文章從不同方面剖析集合問題，旨在經過學習，就能讓我們了解、熟練代數的核心所在。

參考文獻

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