Laplace變換在常系數(shù)線性微分方程求解中的應用

陳龍

積分變換技術可以將某些難以分析的問題通過映射的方式映射到其他域內的表達式后在進行分析。例如，Laplace變換可以將時域函數(shù)映射成復域函數(shù)，從而可以將某時域函數(shù)的微分方程映射成復域的多項式代數(shù)方程，使得原微分方程在諸多方面，如穩(wěn)定性、解析解等方面更便于分析，這樣的變換方法構成了經典自控制理論的基礎。文章首先引入Laplace變換與反變換的定義及基本性質，然后借助于MATLAB語言中的符號運算工具函數(shù)，利用Laplace變換實現(xiàn)常系數(shù)線性微分方程的求解。

一、常系數(shù)線性微分解析解的數(shù)學描述

（一）常系數(shù)線性微分方程

已知常系數(shù)線性微分方程的一般描述方法為：

其中，a_i（i=1，2，L，n），b_j（j=1，2，L，n）均為常數(shù)。

（二）Laplace變換及反變換的定義與性質

下面我們引入Laplace變換及反變換的定義與性質。

一個時域函數(shù)了（t）的Laplace變換可定義為：

A[f（t）l=∫^0∞f（t）^-stdt=F（s）（2）

其中，A[f（t）]為Laplace變換記號。

下面將不證明地列出一些Laplace變換的性質。

（1）線性性質

若a與b均為標量，則

A[af（t）]±bg（t）=aA[f（t）]±bA[g（t）]（3）

（2）時域平移性質

A[f（t-a）]=e^-asF（s）（4）

（3）s-域平移性質

A[e^-atf（t）]=F（s+a）（5）

（4）微分性質

A[df（t）/dt]=sF（s）-f（0⁺）

一般地，n階微分可以由下式求出

若假設函數(shù)f（t）及其各階導數(shù)的初值均為0，則式（7）可以簡化成

此性質事實上是微分方程映射成代數(shù)方程的關鍵式子。

下面利用MATLAB語言及符號運算工具箱求解線性常系數(shù)微分方程解析解的方法。

二、Laplace變換在常系數(shù)線性微分方程求解中的應用

考慮式（1）中給出的常系數(shù)線性微分方程模型。假設輸入信號u（t）和輸出信號f（t）及其各階導數(shù)在t=0處的均值為0，那么對方程兩端進行Laplace變換，記F（s）=A[f（t）]，U（s）=A[u（t）]，則F（s）/U（s）可以表示成一個有理函數(shù)（在自動控制領域稱為系統(tǒng)的傳遞函數(shù)），亦即

如果可以將U（s）也表示成一個有理函數(shù)（事實上大部分常用輸入信號均可以表示成有理函數(shù)形式），則可以將輸出信號的Laplace變換F（s）寫成

這樣，原微分方程的解析解可以由Laplace反變換求出，即f（t）=A^-1[F（s）]。

應用1假設輸入信號為u（t）=a^-2tsin（3t+5）+cos2t，試求出下面微分方程在輸出信號y（t）及其各階導數(shù)在t=0時刻均為0的解析解：

【求解】對方程（18）兩端求取Laplace變換，得

s⁴Y（s）+10s³Y（s）+35s²Y（s）+50sY（s）+24Y（s）=4s²U（s）+3sU（s）+2U（s）

由于函數(shù)u（t）已經給出，在求Laplace變換前可對u（t）求解各階導數(shù)，可以用下面的命令語句求解出在給定的u（t）下微分方程等號右側的式子為

>>syms t;u=exp（-2*t）*sin（3*t+5）+cos（2*t）;

>>uu=laplace（4*diff（u，2）+3*diff（n）+2*u）;

>>uu=collect（simple（uu））;latex（uu）

得到等號右邊的式子，采用微分方程求解函數(shù)dsolve（）得出最終的結果：

>>syms t;u=exp（-2*t）*sin（3*t+5）+cos（2*t）;

>>uu=laplace（4*diff（u，2）+3*diff（u）+2*u）

>>syms t;u=exp（-2*t）*sin（3*t+5）+cos（2*t）;

>>uu=4*diff（u，t，2）+3*diff（u，t）+2*u

>>y=dsolve（[‘D4y+10*D3y+35*D2y+50*Dy+24*y=，...

‘-14*cos（2*t）-6*sin（2*t）-39*exp（-2*t）*cos（3*t+5）-24*exp（-2*t）*sin（3*t+5）]，y（0）=3，‘Dy（O）=2，D2y（0）=0，D3y（0）=0）

>>syms t;u=exp（-2*t）*sin（3*t+5）+cos（2*t）;

>>uu=laplace（4*diff（u，2）+3*diff（u）+2*u）

>>y1=dsolve（[‘D4y+10*D3y+35*D2y+50*Dy+24*y=，…

‘（117*sin（5））/（（s+2）²+9）-12%（s²+4）-（72*cos（5））/（（s+2）²+9）-（14*s）/（s²+4）-（39*cos（5）*（s+2））/（（s+2）²+9）-（24*sin（5）*（s+2））/（（s+2）²+9）]，...

‘y（0）=0，‘Dy（0）=0，‘D2y（0）=0，‘D3y（0）=0）;

>>simple（y-y1）

ans=0

有了微分方程的解析解，則可以用ezplot（）函數(shù)直接繪制出該解析解的曲線，如圖1所示。

>>ezplot（y，[0，10]）;axis（[0，10，0，0.6]）

參考文獻

[1]陳傳璋，金福臨，朱學炎等[M].北京：人民教育出版社，1979.

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