三角形數(shù)與正方形數(shù)

◎馬濟敏

古希臘大數(shù)學家畢達哥拉斯善于把數(shù)和形結合起來，從而探討數(shù)的秘密。

例如他用石子來代表數(shù)，一個石子代表1，三個石子代表3，這樣3、6、10、15這四個自然數(shù)都可以擺成三角形，我們就把這種自然數(shù)叫作“三角形數(shù)”。此外還有21、28、36、45、55……都是三角形數(shù)。

觀察這個數(shù)列你會發(fā)現(xiàn)這樣一個規(guī)律：第一個數(shù)是1，第二個數(shù)是3，3=1＋2；第三個數(shù)是6，6=1＋2＋3；接著是10，10=1＋2＋3＋4。根據(jù)這個規(guī)律，很快就能算出接下來的三角形數(shù)，而不需要把三角形排出來再數(shù)。

1＋2＋3＋4＋5＋6=21

1＋2＋3＋4＋5＋6＋7=28

1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8=36

除了三角形數(shù)外，還有正方形數(shù)，如1、4、9、16、25、36、49、64……這個數(shù)列也有規(guī)律，每一個數(shù)都是幾個連續(xù)奇數(shù)的和：1=1，4=1＋3，9=1＋3＋5，16=1＋3＋5＋7……還可以把它們看成是自然數(shù)自身相乘的積：1=1×1，4=2×2，9=3×3，16=4×4……

三角形數(shù)列和正方形數(shù)列之間的關系也可以用圖形表示：

此外，我們還發(fā)現(xiàn)，任何一個正方形數(shù)都可分為兩個三角形數(shù)，如4=1＋3，9=3＋6，16=6＋10……

怎么樣，圖形與數(shù)字是不是很有緣分??？請你也來想一想：下面的空格中應該怎么填呢？

《三角形數(shù)與正方形數(shù)》參考答案