數學方法在購房貸款決策中的應用

楊奕

【摘要】 不同還款方式對購房者的貸款成本和還貸壓力具有不同影響.為了引導購房者在貸款購房中進行科學決策，選擇適當的還款方式，本文運用數學知識中的等差數列、等比數列、復利等相關概念和原理，分析了等額本金和等額本息還款方式對貸款成本和還貸壓力的影響，并提出相關決策建議.

【關鍵詞】 購房貸款;還貸決策;數學方法;等額本金;等額本息

一、引 言

由于大多數人沒有足夠的現金，貸款購房是一種非常普遍的購房方式.購房貸款主要包括住房公積金貸款和商業銀行按揭貸款兩種方式.住房公積金貸款是繳存住房公積金的購房者向住房公積金管理部門申請的貸款，商業銀行按揭貸款是購房者向商業銀行申請的貸款.住房公積金貸款實行限額管理，按月償還本息;商業銀行按揭貸款通常也如此，但商業銀行按揭貸款的利率往往高于住房公積金貸款利率，按照目前利率行情，20年期限，商業銀行按揭貸款利率為4.9 % ，而公積金貸款利率僅為3.25 % .如果購房者滿足住房公積金貸款申請條件，應該首選住房公積金貸款，否則，就只能選擇商業銀行按揭貸款.

無論住房公積金貸款還是商業銀行按揭貸款都有兩種不同的還款方式——等額本金和等額本息.這兩種還款方式大有學問，選擇不當，會對還款金額產生很大影響.開發商和商業銀行一般推薦等額本息還款方式.那么，作為購房者，是接受開發商或銀行建議呢？還是另行選擇？如果想要做出正確的購房決策，必須計算一下不同還款方式下的還款金額及其影響.

下面，本文將以住房公積金貸款為例，運用高中數學知識中的等差數列、等比數列等相關原理對等額本金與等額本息的還款方式進行分析.

二、等額本金還款方式下的還貸分析

所謂等額本金還款方式，也就是每月償還的本金相等而利息不等的一種還款方式.

（一）月還款額分析

住房公積金貸款實行限額管理，如長春地區住房公積金貸款最高限額為80萬元.假定某購房者滿足住房公積金貸款申請條件，申請住房公積金貸款80萬元，期限20年，年利率為3.25 % ，月利率為年利率除以12.由于一次取得本金，按月等額償還本金，則每月還本為 800000 240 ，各月支付利息不同，某月支付利息為該月實際占用的本金乘月利率.各月償還本息情況具體如下：

第1個月償還本息= 800000 240 +800000×3.25 % ÷12;

第2個月償還本息= 800000 240 + 800000- 800000 240? ×3.25 % ÷12;

第3個月償還本息= 800000 240 + 800000- 800000 240 ×2 × 3.25 % ÷12;

……

第240個月償還本息= 800000 240 + 800000- 800000 240 ×239 ×3.25 % ÷12.

假設以P表示本金，P=800000;I表示年利率，I=3.25 % ;N表示總月數，N=240;n表示第n個月，n≤240，則上述關系表示為：

第n個月償還本息= P N + P- P N ×（n-1） ×I÷12

= P N + P[N-（n-1）] N ×I÷12

= P N +P×I÷12× N-（n-1） N .

（二）還款總額分析

還款總額，即各月本息合計數，等于各月還款本金加上各月還款利息.可以利用上述公式描述各月的還款本息，然后加總，本例中還款總月數為240個月，則

還款總額=

800000 240 +800000×3.25 % ÷12× 240 240? 第1個月本息

+ 800000 240 +800000×3.25 % ÷12× 239 240? 第2個月本息

+ 800000 240 +800000×3.25 % ÷12× 238 240? 第3個月本息

……

+ 800000 240 +800000×3.25 % ÷12× 1 240? 第240個月本息

=240× 800000 240 +800000×3.25 % ÷12×? 240 240 + 239 240 + 238 240 +…+ 1 240? ，

算式 240 240 + 239 240 + 238 240 +…+ 1 240 為公差d= 1 240 ，項數n=240的等差數列的和，根據等差數列的和公式s= （a1+an）n 2 ，則該算式的值等于? 240 240 + 1 240? × 240 2 ，那么，

還款總額

=240× 800000 240 +800000×3.25 % ÷12×? 240 240 + 1 240? × 240 2

=800000+800000×3.25 % ÷12× 241 2

=800000+261083.33

=1061083.33（元）.

在選擇等額本金的還款方式下，住房公積金貸款80萬元，20年期限，還款總額約為106萬元.

三、等額本息還款方式下的還貸分析

所謂等額本息還款方式，也就是每月還款本息相等而本金和利息都不等的一種還款方式.

（一）月還款額分析

與上例相同，貸款本金80萬元，期限20年，年利率3.25 % .那么，每月應還本息多少呢？本文借助圖1來說明.假設每月還款本息和為A，貸款后，第1個月還款A1，第2月還款A2，第3個月還款A3，…，第n個月還款An，這些金額為每月歸還的本息和，在數值上都等于A，即A1=A2=A3=…=An=A，它們所對應的取得借款日的本金——可以稱之為“期初本金”，分別為A1′，A2′，A3′，…，An′，每月歸還的本息和（An）與其對應的各期初本金（An′）之間是一種復利關系.

等額本息還款方式下各期初本金及基本息和關系圖

假設以P表示本金，P=800000;i表示月利率，i=3.25 % ÷12;N表示總月數，N=240;n表示第n個月，n≤240;A表示每月等額還款本息和，根據題設和上圖所示關系可以得出如下關系式：

① 每月還款本息和相等

A1=A2=A3=…=An=A.

② 每月還款本息和（An）與其對應的期初本金（An′）之間的復利關系

A1′（1+i）=A1，A1=A，則A1′= A 1+i ，

A2′（1+i）2=A2，A2=A，則A2′= A （1+i）2 ，

A3′（1+i）3=A3，A3=A，則A3′= A （1+i）3 ，

……

An′（1+i）n=An，An=A，則An′= A （1+i）n ，

……

A240′（1+i）240=A240，A240=A，則A240′= A （1+i）240 .

③ 貸款本金等于各期初本金之和

A1′+A2′+A3′+…+An′+…+A240′=P，則

A 1+i + A （1+i）2 + A （1+i）3 +…+ A （1+i）n +… A （1+i）240 =P.

上式為以公比q= 1 1+i ，項數n=240的等比數列的和，等比數列的和公式s= a1（1-qn） 1-q ，因此，上式可轉換為

A·? 1 1+i? 1- 1 （1+i）n?? 1- 1 1+i? =P，

推導，得A=P· i（1+i）n （1+i）n-1

=800000× 3.25 % ÷12×（1+3.25 % ÷12）240 （1+3.25 % ÷12）240-1

=4537.57（元），

即每月償還等額本息為4537.57元.

（二）還款總額分析

在等額本息還款方式下，每月償還本息和相等，還款總額等于每月償還的本息合計數乘還款總月數.由于借款期限20年，還款總月數為240個月，每月償還本息4537.57元，則還款總額為：

還款總額=4537.57×240=1089016.80（元）.

在選擇等額本息的還款方式下，住房公積金貸款80萬元，20年期限，還款總額約為109萬元.

四、不同還款方式的比較

對同一筆貸款，即本金80萬元，期限20年，年利率3.25 % ，選擇不同的還款方式有什么差異和影響呢？表1進行了詳細的比較與分析.

五、還貸決策

鑒于兩種還款方式的不同特征，決策如下：

與等額本息方式相比，等額本金還款的優點是可以少支付利息，降低貸款成本;缺點是，前期月還款壓力較大.所以，如果購房者能夠承受月還款壓力，且將來有可能提前還款，建議其選擇等額本金還款方式.

與等額本金方式相比，等額本息還款的優點是月還款壓力小，但多支付了利息，且一旦有資金結余，提前還款則會有較大的利息損失，因為等額本息方式先還息后還本，提前還款是非常不劃算的.所以，如果購房者月還款負擔重，且不準備提前還款，一直堅持貸款期內平均還款，建議其選擇等額本息還款方式.

本文選擇了住房公積金貸款進行探討，如果購房者不能滿足住房公積金貸款申請條件，則只能申請商業銀行按揭貸款.由于按揭貸款的利率較高——20年期，年利率4.9 % ，選擇不同還款方式對購房者的影響則更大.因此，購房者在貸款時不要盲目聽從開發商及商業銀行的建議隨意選擇還款方式，而是應該考慮自身的實際情況審慎決策.

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