“導數”中數學思想方法的應用

范卓然

【摘要】 在高中數學中，導數是相當重要的知識點，同時也是學習的難點.通過數學思想方法的運用，可以更好地學習導數知識.在文中主要就導數中數學思想方法的應用進行探討.

【關鍵詞】 導數;思想方法;函數

數學思想方法是數學知識的重要組成部分，領悟各種思想方法不但可以加強對知識的掌握而且能力也能得到很大的提升.在學習“導數”這一章中，數學思想方法的靈活應用得到充分的體現，現將有關問題進行歸納總結.

一、函數與方程思想

函數與方程的思想是中學數學的基本思想.我們解決問題時常常涉及很多變量，利用函數的形式可表達出它們之間的關系，從而利用函數的性質進行解決，這是函數的思想.建立量與量之間的關系，通過聯立方程組來求解，這是方程的思想.函數與方程可以相互轉化，如函數y=f（x）與y軸的交點問題（零點問題）可以轉化為研究方程f（x）=0的根的存在問題.函數與不等式也可以相互轉化，對于函數y=f（x），當y>0時，可轉化為f（x）>0，借助于函數圖像和性質解決有關問題.

例1?? 證明方程x- 1 2 sinx=0有唯一解.

分析? 方程的根的問題通常轉化為對應函數的圖像與x軸的交點問題，唯一性可以通過驗證函數的單調性得到解 決.

解? 設f（x）=x- 1 2 sinx.當x=0時，f（0）=0，所以x=0是方程x- 1 2 sinx=0的一個解.因為f′（x）=1- 1 2 cosx，顯然當x∈ R 時f′（x）>0恒成立，所以函數f（x）在 R 上單調遞增.因此函數f（x）=x- 1 2 sinx的圖像與x軸只有一個交點，即方程x- 1 2 sinx=0有唯一解x=0.

例2?? 已知a，b為實數，且b>a>e，其中e為自然對數的底數，求證：ab>ba.

分析? 觀察此不等式兩邊的結構，不等式可以等價轉化為f（a）+g（a）>f（b）+g（b），構造函數h（x）=f（x）+g（x），利用函數h（x）的單調性可以解決.借助導數證明不等式是一種常用的方法.

解? 因b>a>e，故要證ab>ba，只需證blna>alnb，即證 b lnb > a lna .

設f（x）= x lnx （x>e），則f′（x）= lnx-1 （lnx）2 .

因為x>e，所以f′（x）= lnx-1 （lnx）2 >0.

故函數f（x）= x lnx 在（e，+∞）上是增函數，

又b>a>e，所以 b lnb > a lna ，從而ab>ba.

二、數形結合思想

數形結合是在解決與幾何圖形有關的問題時將圖形信息轉化為代數信息，利用數量關系進行問題的解決，而解決與數量有關的問題時，要構造出相應的幾何圖形，借助于圖形的直觀性找到問題的突破口.

例3?? 已知f（x）=x3-3x2-9x+3，g（x）=f（x）-m.若函數g（x）在[-2，5]內有3個零點，求m的取值范圍.

分析? g（x）的零點問題轉化為函數y=g（x）的圖像與x軸的交點問題，進而轉化為函數y=f（x）與y=m的交點個數問題.函數y=f（x）在區間[-2，5]的圖形可進行描繪，移動y=m可得到兩曲線交點個數的不同情況，從而得到答案.

解? 因f（x）=x3-3x2-9x+3，

故f′（x）=3x2-6x-9=3（x+1）（x-3）.

令f′（x）=0，得x=-1或x=3.當x∈[-2，-1）時，f′（x）>0，f（x）單調遞增;當x∈（-1，3）時，f′（x）<0，f（x）單調遞減;當x∈（3，5]時，f′（x）>0，f（x）單調遞增.函數f（x）的極大值為f（-1）=8，極小值為f（3）=-24.又f（-2）=1，f（5）=8.

作出f（x）在[-2，5]的圖像，見圖1，要使直線y=m與y=f（x）的圖像有3個交點，則m滿足1≤m<8.故所求m的取值范圍為1≤m<8.

三、轉化與化歸的思想

所謂轉化是將所求問題運用恰當的數學方法轉化為一個新問題進行求解.化歸是把待解決的問題歸納為一類已經解決或者比較容易解決的問題.遵循的原則是將復雜化歸為簡單，將較難化歸為較易，將未解決問題化歸為已解決問 題.

例4?? 已知a是常數，函數f（x）=x（lnx-ax）有兩個極值，求a的范圍.

分析? 函數有兩個極值，轉化為對應的導函數在（0，+∞）有兩個零點.（f′（x）=lnx-2ax+1=0有兩個根），進 一步轉化為函數y=lnx與函數y=2ax-1有兩個交點.先求出y=2ax-1與y=lnx相切時對應的a值，利用數形結合的方法，可求出兩曲線有兩個交點時對應a的范圍.見圖2.

解? f（x）=x（lnx-ax），x>0，f′（x）=lnx-2ax+1，y=2ax-1過點（0，-1）作曲線y=lnx的切線，設切點為（m，n），則切線方程為y-lnm= 1 m（x-m） ，將（0，-1）代入，得到m=1，故切點坐標為（0，1），此時切線的斜率為1，故2a=1，a= 1 2 ，結合圖形知道，0

通過本章的學習，筆者對有關知識進行了總結，極大地調動了筆者學習的積極性，也提高了筆者發現問題解決問題的能力.

【參考文獻】

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