古代數學問題趣談

賈娟

【摘要】 數學是問題的心臟，解決問題是數學發展的步履.中國的古代數學史亦即一部中華傳統文化中的問題史，本文從數例古代數學問題來揭示數學與生活的密切聯系.

【關鍵詞】 數學史;古代數學問題

【基金項目】 山西省教育科學“十二五”規劃課題，項目編號：GH-15093.

數學作為中華民族歷史最悠久的學科之一，在這五千余年的歷史長河中，如果把數學比作華麗的貝殼，那么數學問題必是其中的貝肉.

我國古代的數學著作中記載著許多數學問題，可以說一部中國古代數學史就是一部問題史.《九章算術》是中國古代數學最重要的著作，全書采用問題集的形式，收集246個問題，一共九章，分別為：方田，粟米，衰分，少廣，商功，均輸，盈不足，方程，勾股.南宋秦九韶著的《數書九章》里，共收錄9類（即大衍類、天時類、田域類、測望類、賦役類、錢谷類、營建類、軍旅類、市物類）共81個問題;宋元時期李冶著的《益古演段》里有259個問題;宋元數學絕唱——朱世杰著的《四元玉鑒》收錄了288個問題……

我們將這些眾多問題略舉數例如下.

例1? 李白無事街上走，提一酒壺去打酒.遇店加一倍，見花喝一斗（斗為古代盛酒器皿）;三遇店和花，喝光壺中酒.借問此壺中，原有多少酒？

這道題目有著很強的人文色彩，詩人李白在喝酒賞花的過程中竟然還蘊含著如此興趣盎然的數學問題.學生在分析題目的時候，不由地會聯想到李白創作的“天生我材必有用，千金散盡還復來”“舉頭望明月，低頭思故鄉”等膾炙人口的佳句.唐代詩人李白到底愛酒到什么程度呢？在他現存一千多首詩詞中，跟酒相關的就占了四分之一，“借酒消愁愁更愁”“花間一壺酒，獨酌無相親”“五花馬，千金裘，呼兒將出換美酒”……喝酒的場景真是包羅萬象.“李白斗酒詩百篇，長安街上酒家眠”，說的就是李白喝一斗酒能做一百多篇詩，喝完了就睡在長安街的酒家里.在本題中，我們可以想象詩人李白的酒還沒有喝光，愛喝酒的他已經迫不及待地帶著酒壺和飲酒的器皿——斗，又上街買酒去了.因為李白習慣每次喝1斗酒，所以當他看到壺中的酒不夠1斗時，就找到一個酒店，讓店主賣給他和壺里所剩數量相同多的酒;當他買酒后，走著走著看見路邊開著漂亮的鮮花，心情大好，于是就給自己倒了1斗酒與花共飲.當他又碰見一個酒店，這時發現酒壺里還剩一些酒沒有喝完，于是又讓店主賣給他和壺里所剩數量相同多的酒;路上李白又看見鮮花，就又喝了1斗酒.當他第三次碰見一個酒店的時候，發現酒還沒有喝完，就又叫店主賣給他和壺里所剩數量相同多的酒;從酒店出來后，又一路看見鮮花，李白又給自己倒了1斗酒一干而盡.這時，他發現酒壺里的酒已經喝光了.看著空酒壺，李白心想：我原來出門的時候，酒壺里到底有多少酒呢？

由題意可知，李白在第三次看到花之后喝了1斗酒，此時已將酒壺里的酒喝光，即在第三次遇到酒店之后，并且第三次看到花之前，酒壺里正好是1斗酒;又在第二次看到花后并且第三次遇到酒店之前喝了1斗酒之后，酒壺里有 1 2 斗酒;還可知在第二次遇到酒店之后并且第二次見到花之前，買了和壺里相同數量的酒后，酒壺里有 3 2 斗酒;亦可知在第一次見到花后并且第二次遇到酒店之前，喝了1斗酒之后，酒壺里有 3 4 斗酒;在第一次遇到酒店之后并且第一次看到花之前，買了和壺里相同數量的酒后，壺中盛有 7 4 斗酒.由此即知，在第一次遇到酒店之前，壺中原來盛有 7 8 斗酒.綜合之即是：

{[（0+1）÷2+1]÷2+1}÷2={[1÷2+1]÷2+1}÷2=? 3 2 ÷2+1 ÷2= 7 4 ÷2= 7 8 （斗）.

這就是我們現在的逆向推算法.這種層層遞推、步步緊逼的方法，對培養學生的逆向思維能力是很有益處的.

此題還可以用解方程來求解：

設壺中原有酒x斗，則2[2（2x-1）-1]-1=0，解之得x= 7 8 （斗）.

例2? 從前，阿拉伯的一個老牧民有三個兒子和11匹馬，臨終前他對三個兒子說：“我死后沒有留下什么遺產給你們，僅有這11匹馬.你們把這11匹馬分掉，老大分 1 2 ，老二分 1 4 ，老三分 1 6 .但是不許把馬殺掉或賣掉，你們自己分吧.”說完，老人就長眠了.三個兄弟分來分去，總是找不到一個恰當的辦法把11匹馬分完.你能幫幫他們嗎？

如果按照老牧民的遺囑，直接分給三個兒子的馬匹數分別是：老大： 11 2 匹，老二： 11 4 匹，老三： 11 6 匹 （1），可是 11 2 + 11 4 + 11 6 <11 （2），而11-? 11 2 + 11 4 + 11 6? = 11 12? （3），現在三兄弟又必須分完這11匹馬且“不準把馬殺掉或賣掉”，由式（3）得 11 2 + 11 4 + 11 6 + 11 12 =11 （4），這里正好又有 11 12 = 1 2 + 1 4 + 1 6 ，因此，式（4）即 11 2 + 11 4 + 11 6 +? 1 2 + 1 4 + 1 6? =11 （5），又? 1 2 + 1 4 + 1 6? 中的 1 2 ， 1 4 ， 1 6 剛好分別是三個兒子分別應該分得的馬匹數.

由此，不妨分兩次將馬匹分給三兄弟：老大第一次分得 11 2 匹、第二次分得 1 2 匹;老二第一次分得 11 4 匹、第二次分得 1 4 匹;老三第一次分得 11 6 匹、第二次分得 1 6 匹.

由加法結合律，式（5）即? 11 2 + 1 2? +? 11 4 + 1 4? +? 11 6 + 1 6? =11 （6），由式（6）即得老大兩次分得馬匹數之和 11 2 + 1 2 =6（匹）;老二兩次分得馬匹數之和 11 4 + 1 4 =3（匹）;老三兩次分得馬匹數之和 11 6 + 1 6 =2（匹）.即老大分得6匹馬，老二分得3匹馬，老三分得2匹馬.