高中數(shù)學(xué)解三角形問題的研究

阮建 高建

【摘要】 解三角形問題是高中數(shù)學(xué)必考內(nèi)容，這一部分內(nèi)容難度適中，要求大部分同學(xué)都能熟練掌握.在教學(xué)過程中，只要讓同學(xué)們記住公式，培養(yǎng)學(xué)生找尋解題思路，讓學(xué)生利用數(shù)學(xué)思想來思考和解決問題，并配合適當(dāng)?shù)淖兪接?xùn)練，一定能夠攻克難關(guān).

【關(guān)鍵詞】 解三角形;高中數(shù)學(xué)

解三角形問題是高中數(shù)學(xué)必修五第一章的內(nèi)容，是高考必考知識點(diǎn).由于這一部分內(nèi)容難度適中，是比較容易的得分點(diǎn)，要求大部分學(xué)生都能夠熟練掌握.解三角形的問題還可以融合三角函數(shù)、兩角和差、二倍角、方程等知識點(diǎn)，所以題目相對綜合，考查了學(xué)生多方面能力.所以，解三角形是高中數(shù)學(xué)里面非常重要的教學(xué)內(nèi)容.

在解題的過程中，一些學(xué)生總是感覺無從入手，找不到解題的思路，數(shù)學(xué)成績一降再降，挫敗感越來越強(qiáng)，逐漸失去了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，喪失了自信心.通過調(diào)查分析和對個(gè)別學(xué)生的訪談，我們發(fā)現(xiàn)，有的同學(xué)記不住公式，常常試卷都是空白的，根本不知道如何下筆.有的同學(xué)公式記憶不熟，容易記混，題目做了一部分，就寫不下去了.還有的同學(xué)雖然能記住公式，但是找不到解題思路.針對以上的問題我們提出以下四點(diǎn)，幫助學(xué)生抓住重點(diǎn)，突破難點(diǎn).

一、記憶公式

對數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)比較低的學(xué)生來說，最關(guān)鍵的問題是公式的記憶，如果連公式都記不住，何談解決數(shù)學(xué)問題.教師應(yīng)該督促那些學(xué)習(xí)主動(dòng)性差的學(xué)生，特別是藝術(shù)生，經(jīng)常聽寫公式，檢查公式的記憶情況，做到心中有數(shù)，否則會(huì)影響后面的教學(xué)效果.只要扎扎實(shí)實(shí)的落實(shí)，步步為營，一定能夠提高成績.要拿出一定的課時(shí)講解數(shù)學(xué)公式的由來，讓學(xué)生欣然接受公式，最好不要死記硬背.

解三角形這部分內(nèi)容的數(shù)學(xué)公式，教師要強(qiáng)調(diào)公式的特點(diǎn)和規(guī)律.正弦定理當(dāng)然是和角的正弦值有關(guān)，余弦定理當(dāng)然是和角的余弦值有關(guān).正弦定理要注意邊和角是一一對應(yīng)的，a對應(yīng)sinA，b對應(yīng)sinB，c對應(yīng)sinC.余弦定理和面積公式要注意兩邊夾一角，以角C為例，夾角C的兩條邊長分別是a和b，cosC= a2+b2-c2 2ab ，上面是a2+b2，下面出現(xiàn)2ab，面積公式S= 1 2 absinC，學(xué)生很快就能記住公式了.

二、解題思路

每次做題的時(shí)候，總是有一部分學(xué)生一直盯著題目看，遲遲不能書寫答案.在普通高中，這樣的情況還是普遍存在的.特別是在藝術(shù)班的教學(xué)過程中，這樣的學(xué)生人數(shù)更加龐大.當(dāng)你問他原因的時(shí)候，大部分學(xué)生都會(huì)說沒有思路，不知如何入手，不知道該怎么辦才好.我們就以“解三角形”這部分內(nèi)容為例，講講如何培養(yǎng)學(xué)生的解題思路.

例題：已知a=1，b=2，cosC= 1 4 ，求△ABC的周長.

通過問題驅(qū)動(dòng)課堂，利用問題引導(dǎo)學(xué)生思考，例如，1.我們這一章講了幾部分內(nèi)容？（學(xué)生答：講了三部分內(nèi)容，正弦定理，余弦定理和面積公式）2.這個(gè)題目和面積有關(guān)系嗎？（沒有關(guān)系）3.如果和面積沒有關(guān)系，那是用正弦定理還是用余弦定理？（用余弦定理）4.為什么用余弦定理呢？（因?yàn)轭}目當(dāng)中給了余弦值）5.已知了兩條邊的長度，只要求出誰就可以求出三角形的周長？（知道第三條邊的長度就能求出周長，利用cosC= 1 4 ，解出c=2）.

在做題的時(shí)候，經(jīng)常進(jìn)行這樣的問答，讓學(xué)生形成思考的習(xí)慣，自己能夠主動(dòng)地去分析題目，去尋找解題的思路，而不是望題興嘆.一旦形成習(xí)慣，就不會(huì)出現(xiàn)找不到突破口的問題，大部分題目都能快速解決.你會(huì)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生試卷中解答題空白的情況會(huì)越來越少.

三、數(shù)學(xué)思想

在教學(xué)過程中，教師要注重對學(xué)生數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)，這樣學(xué)生的數(shù)學(xué)能力才會(huì)有一個(gè)大幅的提高，掌握了數(shù)學(xué)思想，就掌握了數(shù)學(xué)的精髓.數(shù)學(xué)思想比數(shù)學(xué)技巧更加高級，如果把數(shù)學(xué)比喻成一門武功，數(shù)學(xué)技巧可謂是武功當(dāng)中的一招一式，而數(shù)學(xué)思想可謂是武功心法.“心法”才是上層武功.要想所向披靡就要熟練應(yīng)用數(shù)學(xué)思想.

例題：在△ABC中，邊長a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，且滿足bcosC=（3a-c）cosB，求cosB.

現(xiàn)在有三條邊長a，b，c，還有角度B，C，未知量比較多.首先利用化繁為簡的數(shù)學(xué)思想，把未知量的個(gè)數(shù)減少，未知量越少越好.也就是說要么把角度轉(zhuǎn)化成邊長，要么把邊長轉(zhuǎn)化為角度.一般情況下，我們采用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，利用正弦定理，把邊長轉(zhuǎn)化為角度，得到sinBcosC=（3sinA-sinC）cosB.通過觀察我們發(fā)現(xiàn)角B和角C似乎有關(guān)系.移項(xiàng)得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB.利用兩角和差公式得sin（B+C）=3sinAcosB.因?yàn)槿切蔚膬?nèi)角和為π，利用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，我們把B+C轉(zhuǎn)化為π-A.sinA=3sinAcosB，接下來利用分類討論的數(shù)學(xué)思想，得到sinA的值不能為0，兩邊同時(shí)約去sinA得：1=3cosB，所以cosB= 1 3 .

四、變式訓(xùn)練

在教學(xué)過程中，要應(yīng)用變式訓(xùn)練，鍛煉學(xué)生的觀察問題、分析問題的能力，通過對一個(gè)題目的變式，能夠很好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，而且在變式的過程中，學(xué)生的積極性特別高，對題目的變式抱有極大的興趣.通過對題目的修改，最好讓難度逐漸增加，學(xué)生慢慢適應(yīng)，最后發(fā)現(xiàn)自己能夠攻克這么難的題目，非常有成就感.通過變式訓(xùn)練還能加深學(xué)生對公式、定理的理解，通過改變條件或者結(jié)論，讓學(xué)生面對一個(gè)新的問題，培養(yǎng)和訓(xùn)練了學(xué)生的聯(lián)想、推理、歸納、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)能力.讓學(xué)生思考多個(gè)條件和結(jié)論的關(guān)系，學(xué)會(huì)舉一反三，觸類旁通，學(xué)會(huì)發(fā)散思維，能夠靈活處理數(shù)學(xué)問題.

只要做到以上四點(diǎn)，學(xué)生一定能牢牢記住公式，并且能熟練應(yīng)用公式解決問題.計(jì)算碰到難度較大的問題，學(xué)生也會(huì)積極進(jìn)行思考，利用所學(xué)的數(shù)學(xué)思想和技巧尋找已知和結(jié)論之間的關(guān)系，找出解題思路，順利得出答案.