重標極差分析法的研究

于海燕

【摘要】? R S 分析法即重標極差分析法，是H.E.Hurst在1951年通過大量實證實驗的基礎上提出的一種通過時間序列來呈現出的統計檢驗方法.為了使這個度量能夠在時間上標準化，Hurst通過用觀測值的極差除以標準差來建立一個無量綱的比率，發現大多數自然系統都不遵循隨機游走，而是遵循著一種“有偏的隨機游走”，其發生機會在一個方向或者某些方向上有偏的，而且整個過程近似一個循環.在 R S 分析法中應用到了最小二乘法，最小二乘法線性擬合出的回歸直線方程中的斜率就是H，即Hurst指數，最后得出相關結論，通過應用 R S 分析法的實證分析過程，可進一步為其他理論提供理論基礎.

【關鍵詞】? R S 分析法;最小二乘法;Hurst指數

一、運用 R S 分析法的具體步驟

第一步：對長度為M的時間序列，將此時間序列劃分為m個不重疊的，長度為n的子區間，記為A1，A2，A3，…，Am，并記區間Ai（i=1，2，…m）中第k個元素為ak，i，k=1，2，…n，即Ai={a1，i，a2，i，…，an，i}共n個元素.

第二步：對長度為n的子區間Ai，記其樣本均值為ai = 1 n ∑ n k=1 ak，i.

第三步：對長度為n的子區間Ai，記其標準差為SAi=? 1 n ∑ n k=1 （ak，i-ai ）2 .

第四步：對長度為n的子區間Ai，記其累積離差為Xj，i=∑ j k=1 （ak，i-ai ）（j=1，2，…，n）.

第五步：對長度為n的子區間Ai，記其極差為RAi=max（Xj，i）-min（Xj，i）.

第六步：對長度為n的子區間Ai，記其重標度極差為 RAi SAi .

第七步：m個區間的平均重標度極差為? R S? n= 1 m ∑ m k=1?? RAi SAi? .

第八步：改變n的取值，重復一到六步的操作，得到多個? R S? n的數值，當n無限大時，有? R S? n=cnH，對? R S? n=cnH兩端取對數得ln? R S? n=lnc+Hlnn.

第九步：畫出ln? R S? n關于lnn的圖像，擬合直線的斜率估計值即為Hurst指數.

二、最小二乘法

設實驗中的數據是x=x1，x2，…，xn，y=y1，y2，…，yn.在研究x與y的關系時，在直角坐標系中描出所有點（xi，yi），設這些點的回歸直線方程為yi=kxi+b，令這些點與回歸直線的接近程度最小，即η=∑ n i=1 （yi-kxi-b）2取最小值.令該式對k和b求導，并令該偏導數等于0，可得如下等式：

可解得其中k和b的值為：

k= n∑ n i=1 xiyi-∑ n i=1 xi∑ n i=1 yi 2 ，

b= ∑ n i=1 yi-k∑ n i=1 xi n ，

進而求出其回歸直線的方程.

三、Hurst指數、分形維數D、相關性度量指標C的特征

在計量經濟學中相關性度量指標C、Hurst指數、分形維數D之間有如下關系：C=22H-1-1;D=2-H;H為Hurst指數.

由以上關系可知：

H=0.5，則C=0，即該時間序列是相互獨立隨機游走的，增量之間是不相關的.也就是說此時發生的事件對未來沒有絲毫影響.

0

0.50，即該時間序列是非隨機游走的，并且是非獨立的，現在發生的事件對未來有影響.若某一時間段內增量增加，那么未來的增量是增加的;反之，若某一時間段內增量下降，那么未來的增量是下降的.即該時間序列具有持久性，并且C值越趨近于1，該時間序列持久性越強;C值越趨近于0，該時間序列趨勢越不穩定，噪聲也就隨之變大.

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