夯實基礎，學好直線

伏建彬

一、學好直線，首先應該掌握直線的知識網絡

二、學好直線，其次應該掌握直線的基本內容

1.直線的傾斜角和斜率

（1）直線的傾斜角α的取值范圍是0°≤α<180°.

（2）計算直線的斜率k有兩種方法，當α≠90°時，k=tanα或k= y2-y1 x2-x1 ，其中（x1，y1），（x2，y2）是直線上的兩點.

（3）所有的直線都有傾斜角，但并不是所有的直線都存在斜率，傾斜角為90°，即與x軸垂直的直線不存在斜率.

2.直線方程的幾種形式

形式? 條件 方程? 局限性

點斜式 過點（x0，y0），斜率為k y-y0=k（x-x0） 不含與x軸垂直的直線

斜截式 斜率為k，在y軸上的截距為b y=kx+b 不含與x軸垂直的直線

兩點式 過兩點（x1，y1）和（x2，y2）? y-y1 y2-y1 = x-x1 x2-x1? 不含與x軸或y軸垂直的直線

截距式? 在x軸、y軸上的截距分別為a，b（ab≠0）?? x a + y b =1? 不含與x軸或y軸垂直的直線，不含過原點的直線

一般式? Ax+By+C=0（A2+B2≠0）

3.兩條直線的位置關系

直線形式?? l1：y=k1x+b1l2：y=k2x+b2

A1x+B1y+C1=0（A1，B1不全為0）

A2x+B2y+C2=0（A2，B2不全為0）

平行 k1=k2且b1≠b2? A1 A2 = B1 B2 ≠ C1 C2 （A2，B2，C2≠0）

相交

k1≠k2? A1 A2 ≠ B1 B2 （A2，B2≠0）

垂直：k1k2=-1 A1A2+B1B2=0

重合 k1=k2且b1=b2? A1 A2 = B1 B2 = C1 C2 （A2，B2，C2≠0）

4.直線l1：y=k1x+b1到l2：y=k2x+b2的夾角為θ，則tanθ= k2-k1 1+k2k1 ;

直線l1：y=k1x+b1與l2：y=k2x+b2的夾角為θ，則tanθ=? k2-k1 1+k2k1? .

5.距離

（1）點P（x0，y0）到直線Ax+By+C=0的距離是d= |Ax0+By0+C|? A2+B2? （A2+B2≠0）.

（2）平行線間的距離，可以在一直線上取一特殊點，歸結為這點到另一條直線的距離.

三、學好直線，還應該掌握直線問題中的基本解題思路

1.求直線方程

例1?? 求過點P（1，2），且與兩點A（2，3），B（4，-5）距離相等的直線l的方程.

解法一? 顯然，l不與x軸垂直，設l的方程為y-2=k（x-1），即kx-y+2-k=0，

則 |2k-3+2-k|? k2+1? = |4k+5+2-k|? k2+1? ，

∴|k-1|=|3k+7|，∴k1=-4，k2=- 3 2 ，

故直線l的方程為4x+y-6=0和3x+2y-7=0.

解法二? 直線l應與直線AB平行，或過AB的中點M.

（1）kl=kAB= 3+5 2-4 =-4，此時l的方程為4x+y-6=0.

（2）AB的中點M（3，-1），此時l的方程為3x+2y-7=0.

例2?? 直線l過點P（0，1），與兩直線x-3y+10=0和2x+y-8=0 分別交于A，B兩點，若線段AB恰被點P平分（如圖所示），求直線l的方程.

簡解? 設A（3a-10，a），由P（0，1）是線段AB的中點，得B（10-3a，2-a）.

將點B坐標代入方程2x+y-8=0得a=2，則點A（-4，2），

∴直線l的方程是x+4y-4=0.

注意：本題用的是“轉移法”的技巧，即將點A的坐標轉移到B，再代入點B應滿足的方程.“轉移法”在求動點軌跡的方程時，也常被運用.