等軸橢圓與三角形的“心”

陳紀剛

等軸雙曲線是一種特殊的雙曲線，它有很多優美的性質.對應的，也有一種特殊的橢圓，它的短軸長與焦距相等.本文將討論該類橢圓的相關性質.

定義：短軸與焦距相等的橢圓為等軸橢圓.

不妨設等軸橢圓的焦點在x軸上，根據定義知a2=2b2=2c2，故可設等軸橢圓的方程為x2+2y2=2b2（b>0）.設該橢圓的上頂點為B（0，b），右焦點為F（b，0），直線l與橢圓交于點P，Q.

性質1? 若點F為△BPQ的內心，則對應的直線l的方程為：y= 2+ 6? 2 x-3b.

證明? 如圖所示，易知kBF=-1.

∵點F為△BPQ的內心，

∴BF是∠PBQ的角平分線，設∠PBF=∠QBF=θ，

∴kBP=tan π-θ- π 4? =- 1+tanθ 1-tanθ ，

kBQ=tan? 3π 4 +θ =- 1-tanθ 1+tanθ .

可知kBP·kBQ=1.

設P，Q的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），

顯然就有： y2-b x2 · y1-b x1 =1.

化簡得y1y2-b（y1+y2）+b2=x1x2.

設直線l的方程為：

x=my+t，x1x2=m2y1y2+mt（y1+y2）+t2，

代入可得：

（m2-1）y1y2+（mt+b）（y1+y2）+t2-b2=0. （1）

聯立直線與橢圓方程得：

（m2+2）y2+2tmy+t2-2b2=0.

可得y1+y2= -2tm m2+2 ，y1·y2= t2-2b2 m2+2 .

代入（1）式得：

（m2-1）（t2-2b2） m2+2 - （mt+b）2mt m2+2 +t2-b2=0.

整理后可得t2-2mbt-3m2b2=0，

即可得t=3mb或-mb.

當t=-mb時，直線l過點B，舍掉，

∴t=3mb，即直線l的方程為：x=my+3mb.

可知直線l過定點A（0，-3b）.

重新設直線l的方程為：y=kx-3b.

設直線BP的方程為y=nx+b，聯立橢圓方程求得點P的坐標為：? -4nb 2n2+1 ， -2n2b+b 2n2+1? .

由點P與點A（0，-3b）可知k=- n2+1 n .

直線l可表示為：y=- n2+1 n x-3bny+（n2+1）x+3nb=0，

作為△BPQ的內心，點F到直線BP與直線l的距離相等，即dF-BP=dF-l.

即 |nb+b|? n2+1? = |n2b+3nb+b|? n2+（n2+1）2

|n+1|? n2+1? = |n2+3n+1|? n2+（n2+1）2? .

兩邊平方得 （n+1）2 n2+1 = （n2+3n+1）2 n2+（n2+1）2 ，

整理可得? n2+1 -n -2? n2+1 -n? =?? n2+1 -n -3 2 1+? n2+1 -n? 2 ，

即得 k-2 k = （k-3）2 1+k2 .

求解可得k= 2± 6? 2 .

當k= 2- 6? 2 時，驗證可知對應的直線l與橢圓沒有交點，所以舍去.

∴k= 2+ 6? 2 .

對應的直線l的方程為：y= 2+ 6? 2 x-3b.

是否存在相應的直線l使得點F為△BPQ的外心、垂心和重心呢？答案是不一定的.

性質2? 不存在直線l使得點F為△BPQ的外心.

證明? 外心指外接圓的圓心，設以點F為圓心，以a= 2 b為半徑的圓為（x-b）2+y2=2b2.

聯立橢圓的方程得y2=-2bx+b2，代回圓的方程解得x=0或4b.顯然這樣的直線l是不存在的.

性質3? 不存在直線l使得點F為△BPQ的重心.

證明? 設點P，Q的坐標為（x1，y1），（x2，y2）.

根據重心的計算公式? 0+x1+x2 3 =0， b+y1+y2 3 =b，

可得x1+x2=0，y1+y2=2b.

可得PQ的中點M的坐標為（0，b）.

顯然這樣的直線并不存在.

性質4? 若點F為△BPQ的垂心，則對應的直線l的方程為：y=x- 4 3 b.

證明? 若點F為△BPQ的垂心，則有直線l的斜率為k=1，設直線l的方程為：y=x+t.

聯立橢圓方程得3x2+4tx+2t2-2b2=0.

為保證點P，Q存在，

∴Δ=16t2-4×3（2t2-2b2）>0，

即t∈（- 3 b， 3 b）.

設點P，Q的坐標為（x1，y1），（x2，y2）.

可得x1+x2=- 4t 3 ，x1x2= 2t2-2b2 3 ，

y1y2=x1x2+t（x1+x2）+t2=t2- 2t2+2b2 3 .

滿足kPF·kBQ=-1，整理得x1x2+y1y2=b（y1+x2）.

其中y1+x2=x1+x2+t=- t 3 .

代入上面的韋達定理可得3t2+bt-4b2=0，

解得t=- 4 3 b或t=b（舍）.

∴直線l的方程為：y=x- 4 3 b.

【參考文獻】

[1]龍宇，孫瓊.向量與三角形的“心”[J].中學數學研究，2015（7）：41-42.