由一道數列遞推式求通項公式得到的啟發

殷賀

【摘要】 對利用數列遞推式求通項公式的研究旨在讓學生在做題時達到舉一反三，觸類旁通的效果.文中列舉了此類題目的兩種解法，可看作此類題目的通用解法，學生掌握起來非常方便，易于理解，同時也促使學生慢慢養成研究問題的心態.

【關鍵詞】 數列;遞推式;通項公式;構造數列

利用數列的遞推式求通項公式是求數列通項公式問題中一類比較重要的問題，很多學生在面對這類問題時不知道要從何處下手.針對課堂上出現的這一類問題，筆者進行了總結歸納，其中的一類問題其實可以用一種比較簡單實用的解法解出來，在這里介紹一下.

例1?? 已知：an+1=2an+2n+1，a1=1，求an.

解? 在等式兩邊同除以2n+1可得： an+1 2n+1 = an 2n +1，

即 an+1 2n+1 - an 2n =1，這樣就構造了一個等差數列? an 2n? ，

首項為 a1 2 = 1 2 ，公差為1，

從而可求得： an 2n = 1 2 +（n-1）=n- 1 2 ，

則an= n- 1 2? ·2n.

筆者發現這道題之所以能夠構造等差數列，在于它是an+1=ban+cbn形式的，因此，兩邊同除以bn+1后可以構造出等差數列來.問題如果變一變，剛才的辦法也是適用的.

例2?? an+1=3an+2n+1，a1=1，求an.

解法一? 在等式兩邊同時除以3n+1可得：

an+1 3n+1 = an 3n +? 2 3? n+1，

即 an+1 3n+1 - an 3n =? 2 3? n+1，這時我們沒有構造出等差數列，但是可以用疊加法求通項公式.

由上述遞推式可得： an 3n - an-1 3n-1 =? 2 3? n，

an-1 3n-1 - an-2 3n-2 =? 2 3? n-1，

……

a2 32 - a1 31 =? 2 3? 2.

疊加得： an 3n - a1 31 =? 2 3? n+? 2 3? n-1+…+? 2 3? 2= 4 3 - 4 3 ×? 2 3? n-1.

因而，可求得：an=5×3n-1-2n+1.

由以上兩個題可得，形如an+1=Aan+C×Bn的遞推式，不管A與B是否相等，均可以在等式兩邊同時除以An+1，從而可構造出可用疊加法求通項公式的數列.

那么問題如果在復雜一點，是不是還可以采用上面的辦法？

例3?? 已知an+1=3an+2n+1+3，其中a1=1，求an.

解? 在等式兩邊同時除以3n+1可得：

an+1 3n+1 = an 3n +? 2 3? n+1+? 1 3? n，

即 an+1 3n+1 - an 3n =? 2 3? n+1+? 1 3? n.

顯然可以用疊加法繼續求得通項公式：an= 13 2 ×3n-1-2n+1- 3 2 ，這里就不再贅述了.

然而并不是說上面的問題只能用這個辦法來做，其實像例2、例3我們還可以用待定系數法構造等比數列.

例2解法二：an+1+x·2n+1=3（an+x·2n），

可解得：x=2.

從而構造出：an+1+2n+2=3（an+2n+1），

其中a1+22=5，

所以{an+2n+1}是以5為首項，3為公比的等比數列.

則an+2n+1=5×3n-1，即an=5×3n-1-2n+1.

例3解法二：不同于例2的解法二，我們在設參數時需要增加一個參數y，即

an+1+x·2n+1+y=3（an+x·2n+y），

同理解得x=2，y= 3 2 .

從而構造出：an+1+2n+2+ 3 2 =3 an+2n+1+ 3 2? ，

首項為a1+22+ 3 2 = 13 2 ，

即有 an+2n+1+ 3 2? 是以 13 2 為首項，3為公比的等比數列.

則有an+2n+1+ 3 2 = 13 2 ×3n-1，

從而an= 13 2 ×3n-1-2n+1- 3 2 .

例2、例3的解法二均采用了待定系數法，構造出等比數列，此法也使得問題簡單化.以上給大家提供了這類問題的兩種不同的解法，這兩種解法使得這類問題簡單易行，學生容易掌握，大呼過癮.而對其他類似的問題也就不感覺那么難了.