求解極坐標與參數方程題目的三種策略

吳愛國 張繼蓮

【摘要】 本文從一道典型例題出發，給出從參數方程，直角坐標方程，極坐標方程三個角度探討極坐標與參數方程問題的具體解題策略，希望對讀者有所啟發.

【關鍵詞】 例題;極坐標;解題策略

例題? 已知平面直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為 x=1+t，y=2-2t （t為參數）.以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρsin2θ=8cosθ.

（1）求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程.

（2）若點P的坐標為（1，2），直線l與曲線C交于A，B兩點，求|PA|+|PB|的值.

解? （1）直線l的普通方程為2x+y-4=0，曲線C的直角坐標方程為y2=8x.

關于問題（2），下面我們從三個角度分析.

策略（一）? 參數方程

方法（1）直線參數方程的標準形式（利用直線參數的幾何意義）

解? 由題意，易得直線參數方程的標準形式：

x=1-? 5? 5 u，y=2+ 2 5? 5 u （u為參數）.

將其代入y2=8x并整理得u2+4 5 u-5=0，

設點A，B對應的參數為u1，u2，則 u1+u2=-4 5 ，u1u2=-5，

所以|PA|+|PB|=|u1|+|u2|=|u1-u2|=10.

【另解】 u2+4 5 u-5=0得u1=-2 5 +5，u2=-2 5 - 5，所以|PA|+|PB|=|u1|+|u2|=10.

評注：此時|u1|，|u2|等于|PA|，|PB|.

方法（2）直線參數方程的一般形式（直線參數無明顯幾何意義）

解? 將代入并整理得設點A，B對應的參數為t1，t2，則 t1+t2=4，t1t2=-1，? A（1+t1，2-2t1），B（1+t2，2-2t2），

所以|PA|+|PB|=|AB|=10.

方法（3）拋物線參數方程

解? y2=8x的參數方程為 x=8m2，y=8m? （m為參數），將其與2x+y-4=0聯立，得4m2+2m-1=0，設點A，B對應的參數為m1，m2，則A（8m21，8m1），B（8m22，8m2），所以|PA|+|PB|=|AB|= （8m22-8m21）2+（8m2-8m1）2 =10.

策略（二）? 直角坐標方程

方法（4）弦長公式

解? 聯立 2x+y-4=0，y2=8x，? 消去y，得x2-6x+4=0.

設A（x1，y1），B（x2，y2），則 x1+x2=6，x1x2=4.

由弦長公式AB= （1+k2）[（x1+x2）2-4x1x2] ，

易得|PA|+|PB|=|AB|=10.

方法（5）兩點間距離公式

解? 聯立 2x+y-4=0，y2=8x，

易得A（3- 5 ，2 5 -2），B（3+ 5 ，-2 5 -2）.

由兩點間距離公式，得|PA|+|PB|=|AB|=10.

【另解1】AB =（2 5 ，-4 5 ），得|AB |=10，

所以|PA|+|PB|=|AB|=10.

【另解2】P（1，2），得|PA|= 45-20 5? ，|PB|= 45+20 5? ，所以（|PA|+|PB|）2=100，

所以|PA|+|PB|=10.

方法（6）拋物線焦點弦公式

解? y2=8x的焦點F（2，0）顯然在2x+y-4=0上，

聯立 2x+y-4=0，y2=8x，? 消去y，得x2-6x+4=0，

設A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=6，

所以|PA|+|PB|=|AB|=|FA|+|FB|=x1+x2=10.

【另解】記l的傾斜角為α，易知tanα=-2，

則sinα= 2 5? 5 .

所以|PA|+|PB|=|FA|+|FB|=|AB|= 2p sin2α =10.

策略（三）? 極坐標方程

方法（7）極坐標與直角坐標的互化

解? 2x+y-4=0的極坐標方程為

2ρcosθ+ρsinθ-4=0，

聯立 2ρcosθ+ρsinθ-4=0，ρsin2θ=8cosθ，? 解得 ρcosθ=3- 5 ，ρsinθ=2 5 -2

或 ρcosθ=3+ 5 ，ρsinθ=-2 5 -2，

A（3- 5 ，2 5 -2），B（3+ 5 ，-2 5 -2）.

由兩點間距離公式，得|PA|+|PB|=|AB|=10.