從初等數(shù)學(xué)到數(shù)學(xué)分析

吳延科 李乃醫(yī)

【摘要】 初等數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)分析是兩個(gè)不同階段的知識(shí)體系，前者是大眾教育，而后者是專(zhuān)業(yè)教育.本文通過(guò)具體的例子，討論了如何在現(xiàn)有初等數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)上，幫助學(xué)生順利學(xué)習(xí)和理解數(shù)學(xué)分析的知識(shí)體系和內(nèi)容.

【關(guān)鍵詞】 初等數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)分析;新課程改革

對(duì)數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的大學(xué)新生來(lái)講，從中學(xué)經(jīng)歷高考的洗禮進(jìn)入大學(xué)，首先面對(duì)的就是數(shù)學(xué)分析這門(mén)最基礎(chǔ)和最重要的專(zhuān)業(yè)課的學(xué)習(xí).隨著我國(guó)基礎(chǔ)教育的不斷改革，中學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容和難度幾經(jīng)變換，教學(xué)內(nèi)容已經(jīng)大幅拓展，融入了很多高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容，同時(shí)，一些應(yīng)用不太廣泛的內(nèi)容進(jìn)行了刪減或降低難度.盡管如此，大多數(shù)的數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)學(xué)生從中學(xué)走進(jìn)大學(xué)，還是不能適應(yīng)大學(xué)數(shù)學(xué)尤其是數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí).數(shù)學(xué)分析是初等數(shù)學(xué)的升華，可以高屋建瓴地對(duì)初等數(shù)學(xué)問(wèn)題提供新的解決手段和方法.更為重要的是，這些新的手段和方法可以毫無(wú)困難地進(jìn)行推廣，方便地用來(lái)解決初等數(shù)學(xué)不能解決的問(wèn)題.從中學(xué)數(shù)學(xué)到數(shù)學(xué)分析，學(xué)生需要從方法、內(nèi)容等方面進(jìn)行重新認(rèn)識(shí)，從心態(tài)、精力等自身因素進(jìn)行調(diào)整，才能順利過(guò)渡到知識(shí)的彼岸.

中學(xué)數(shù)學(xué)既包括數(shù)學(xué)的基本概念、性質(zhì)、法則、公式、定理等表層知識(shí)，也涉及數(shù)學(xué)的一些思想和方法等深層知識(shí).在學(xué)習(xí)中，中學(xué)數(shù)學(xué)由于學(xué)習(xí)時(shí)長(zhǎng)較長(zhǎng)，更關(guān)注的是一些技巧性的訓(xùn)練.數(shù)學(xué)分析是一個(gè)完整的數(shù)學(xué)體系，在學(xué)習(xí)中，更關(guān)注的是對(duì)基本概念、性質(zhì)、法則、邏輯推理的理解和掌握.從初等數(shù)學(xué)到數(shù)學(xué)分析，應(yīng)該有一個(gè)平緩的過(guò)渡，使學(xué)生能夠相對(duì)自然地接受新的更高層次的知識(shí).

一、適當(dāng)補(bǔ)充初等數(shù)學(xué)知識(shí)

數(shù)學(xué)分析因其內(nèi)容龐雜，使得很多通用教材在涉及初等數(shù)學(xué)的地方一筆帶過(guò).學(xué)生如果在之前并未系統(tǒng)學(xué)習(xí)過(guò)這方面的內(nèi)容，將會(huì)無(wú)所適從.筆者從個(gè)人的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，僅舉兩例加以說(shuō)明.

第一個(gè)例子是在劉名生等編著的《數(shù)學(xué)分析（三）》中的一道習(xí)題，這個(gè)題目的證明需要使用n次單位根的性質(zhì)，而中學(xué)數(shù)學(xué)里面有關(guān)復(fù)數(shù)的內(nèi)容已經(jīng)做了大量縮減，大多數(shù)學(xué)生對(duì)此知識(shí)是一片空白的，此處需要教師做些補(bǔ)充.

第二個(gè)例子是正割和余割這兩個(gè)三角函數(shù)，很多同學(xué)對(duì)此一無(wú)所知，盡管其概念五分鐘就可以解釋清楚，但有關(guān)這兩個(gè)三角函數(shù)的一些三角變換公式學(xué)生并不熟悉，而這些公式在求導(dǎo)數(shù)、換元法求積分中都要經(jīng)常用到，因此，需要詳細(xì)補(bǔ)充.

此外，還有很多需要在教師教學(xué)過(guò)程中強(qiáng)化或補(bǔ)充的內(nèi)容，比如，反三角函數(shù)及其定義域和值域，這些內(nèi)容在求導(dǎo)數(shù)和求積分時(shí)都是常用到的，需要對(duì)學(xué)生進(jìn)行一個(gè)系統(tǒng)的強(qiáng)化;再比如，極坐標(biāo)變換和參數(shù)方程，這些知識(shí)在中學(xué)階段以選修形式出現(xiàn)，并且應(yīng)用不多，大多數(shù)學(xué)生對(duì)此部分并不熟悉，極坐標(biāo)變換在重積分的計(jì)算中經(jīng)常用來(lái)作坐標(biāo)變換來(lái)簡(jiǎn)化積分區(qū)域，而參數(shù)方程在求曲線弧長(zhǎng)、曲線積分中經(jīng)常用到.

二、作為引例的初等數(shù)學(xué)

曲線的切線斜率和曲邊梯形面積是經(jīng)常用的從初等數(shù)學(xué)引入概念導(dǎo)出導(dǎo)數(shù)和定積分的兩個(gè)例子，這兩個(gè)例子可以很好地體現(xiàn)初等數(shù)學(xué)過(guò)渡到高等數(shù)學(xué)的必要性.

圓的切線斜率是初等數(shù)學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)，也是我們引入曲線的切線斜率問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)，由此出發(fā)，從學(xué)生熟知的結(jié)論入手，進(jìn)而得出更為一般的曲線的切線，其斜率歸結(jié)到一個(gè)增量比的極限，從而得到導(dǎo)數(shù)的概念，學(xué)生容易理解，我們?cè)跀?shù)學(xué)分析中是把切線的概念推廣，得到應(yīng)用更為廣泛的導(dǎo)數(shù)，從而解決了初等數(shù)學(xué)中無(wú)法解決的曲線的切線斜率問(wèn)題，知識(shí)層次上是初等數(shù)學(xué)的一個(gè)升華.

規(guī)則平面圖形的面積是初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，從長(zhǎng)方形或梯形的面積出發(fā)，引出了一般平面圖形的面積的計(jì)算問(wèn)題，進(jìn)而導(dǎo)出了定積分的概念.

此外，將數(shù)列前n項(xiàng)和的概念推廣到無(wú)窮項(xiàng)和就得到級(jí)數(shù)的概念，高中數(shù)學(xué)中比較重要的無(wú)窮遞縮等比數(shù)列的和可以作為數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的引例，從而得到重要的等比級(jí)數(shù)的概念.將多項(xiàng)式作為引例可以得到冪級(jí)數(shù)，將三角函數(shù)進(jìn)行推廣得到三角級(jí)數(shù)和傅立葉級(jí)數(shù)，等等，這樣的例子還有很多.

使用初等數(shù)學(xué)的知識(shí)作為引例，容易使學(xué)生進(jìn)入狀態(tài)，知識(shí)上更為連貫.更為重要的是，學(xué)生從初等數(shù)學(xué)過(guò)渡到數(shù)學(xué)分析，更容易理解數(shù)學(xué)分析解決初等數(shù)學(xué)知識(shí)的便捷性和重要性.

本文討論了從初等數(shù)學(xué)到數(shù)學(xué)分析的過(guò)渡問(wèn)題，主要關(guān)注的是如何在現(xiàn)有初等數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)之上，幫助學(xué)生順利學(xué)習(xí)和理解數(shù)學(xué)分析的知識(shí)體系和內(nèi)容.從初等數(shù)學(xué)的知識(shí)入手，可以加深對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)概念和定義的理解，解決中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題，同時(shí)，可以更為自然地過(guò)渡到數(shù)學(xué)分析的學(xué)習(xí)和理解上，使學(xué)生學(xué)習(xí)得更為輕松和自然.當(dāng)然，數(shù)學(xué)分析的重點(diǎn)并不是解決一些計(jì)算問(wèn)題，而是對(duì)一些邏輯推理和思想方法的理解，從初等數(shù)學(xué)過(guò)渡到數(shù)學(xué)分析，也可以幫助學(xué)生對(duì)這些內(nèi)容的理解.

【參考文獻(xiàn)】

[1]劉名生，尹景學(xué).數(shù)學(xué)分析（三）[M].北京：科學(xué)出版社，2009.