類比法在矩陣運算教學中的應用

陳彥恒 賈松芳

【摘要】 本文探討了類比法在矩陣運算教學中的應用，將矩陣的運算及其運算律類比為數的運算及其運算律，不僅提升了學生對矩陣運算的理解和實際應用能力，而且激發學生的學習興趣，培養學生的思維能力和創新意識.

【關鍵詞】 數的運算;矩陣的運算;類比法

【基金項目】 該文由重慶市教委科研資助項目（KJ1710254），重慶三峽學院重點項目（14ZD16），重慶三峽學院數學與統計學院教改項目資助.

矩陣運算又是矩陣的最基本內容，同時也是學生深入進行專業課學習的重要工具，但學生在學習過程中會遇到內容抽象枯燥、知識碎片化、邏輯嚴密等問題的困擾，從而影響了學習的效果和興趣.因此，如何增強學生對矩陣運算的學習興趣和學習效果，如何利用該課程培養學生的數學思想，如何培養學生的創新意識和思維能力是擺在任課教師面前的重要問題.

實踐證明，類比教學法是一種解決上述問題的有效方法.類比法，屬于平行式思維的一種方法，是通過觀察比較、分析聯想來猜想所獲得的結論，它是一種尋求真理、發現真理的最基本、最主要的工具.特別是在數學的教學中，應用類比法能使學生在學習新知識時，有“恍然大悟”的感覺，使得枯燥的數學理論知識在清晰的對比、歸納中融入學生的知識鏈中.

數是最基本的概念，對數的研究一直是人類學習研究過程中的基本內容，并且數在復數范圍內的加、減、乘、除運算法則是理論的、邏輯的代數體系，它反映了數學的思想和方法，同時也是牢牢駐扎在學生大腦中最熟悉的知識.矩陣的運算與數的運算之間存在很多相似的地方，比如，矩陣的加減法本質上是數的加減法，矩陣的數乘本質上是數的乘法，但數和矩陣是兩種不同數學概念，兩者又有不同的地方.本文探討了類比法在矩陣運算教學中的應用，不僅提升了學生對矩陣運算的理解和實際應用能力，而且激發了學生的學習興趣，培養了學生的思維能力和創新意識.

一、類比法在矩陣線性運算教學中的應用

在矩陣的加減法教學中，由數的加減運算法則可類比性地引出矩陣的加減法運算，即對應元素數字的加減，有減法可進一步說明對應元素全部相等的矩陣相等，其運算規律與數的運算規律完全一致，滿足交換律、結合律等，但需注意的是同型矩陣，即行數與列數分別相同的矩陣才能進行加減運算.

在矩陣的數乘運算教學中，數與矩陣的乘法可類比為數與數的乘法，即數與矩陣的每一個元素相乘，從而矩陣的數乘本質就成了數的乘法.因此，關于數的乘法的交換律、結合律、分配律，矩陣的數乘運算也都具有.

由此可以看出，數的加減法，乘法與矩陣線性運算存在著許多的相似處，通過兩者類比，加深學生對矩陣線性運算及性質的理解與記憶.

二、類比法在矩陣乘法中的應用

由矩陣的數乘運算，我們知道：一個數乘一個矩陣等于這個數乘矩陣中的每一個元素.通過類比，很自然地提出一個問題：兩個矩陣相乘是對應元素相乘嗎？答案是否定的.事實上，矩陣的乘法是在實際應用中提出的，體現了數學本質來源于生活的思想，具體可參見文獻[1][2]矩陣乘法部分的引例.

在某種意義上，矩陣可以看成是數的推廣，那么矩陣的乘法運算律可以類比為數的乘法運算律來進行教學.數的乘法運算律有交換律、結合律、分配律、消去律等，但這些運算律對矩陣乘法來說不完全成立.矩陣乘法滿足結合律以及矩陣乘法對矩陣加法的左右分配律，但不滿足交換律和消去律.但單位矩陣與任意同階方陣相乘滿足交換律，且相乘結果等于矩陣本身.進一步可知，在滿足矩陣可乘的條件下，單位矩陣與任意矩陣左乘或右乘都等于矩陣本身，可見單位矩陣在矩陣乘法中的作用類似于數1在數乘法中的作用.

在講授矩陣乘法的運算規律時，關鍵在于將其與數的乘法運算律進行類比教學，讓學生在學習過程中熟練掌握兩者運算規律的不同點和相同點.為了使兩者之間的區別與聯系更加直觀，教師可以讓學生自己列出數的乘法與矩陣乘法運算律的對比表.

三、類比法在矩陣的逆運算中的應用

在數的乘法運算中，對數a，如果存在數b，使得ab=ba=1，那么稱數b是數a的逆，記作a-1.因而，可提出問題：類比數的這一性質，能否利用矩陣的乘法定義矩陣的逆運算呢？答案是肯定的，對方陣 A ，我們把滿足條件 AB = BA =I的矩陣 B 稱為 A 的逆矩陣，記作 A -1.

對數a，若a≠0，則a可逆，且a-1= 1 a .類比數的這一性質，可以得到矩陣可逆的判定定理：對方陣 A ，若| A |≠0，則 A 可逆，且 A -1=? A| A | ，其中 A 是 A 的伴隨矩陣.

對數a，b，c，若a可逆，且ab=ac，則b=c，即數的乘法是滿足消去律的.正如上面所述，矩陣的乘法一般是不滿足消去律的，但類比數的這一性質，可得：對矩陣 A ， B ， C ，若 A 可逆，且 AB = AC （ BA = CA ），則 B = C ，即在矩陣可逆的條件下，矩陣的乘法是滿足左（右）消去律的.進而還可以利用一元一次方程求解方法來類比求解矩陣方程的解，例如，若矩陣方程 AXB = C ，其中 A ， B 是可逆陣，則矩陣方程有唯一解 X = A -1 CB -1.

從上面的討論中我們不難發現，矩陣運算的類比法教學不僅可以讓學生將所熟悉的數的運算遷移到矩陣的運算上去，而且可以使學生更容易理解矩陣的運算及運算律，使得教師的教和學生的學有機結合，同時也激發了學生的學習興趣，培養了學生探索問題的能力和創新意識.

【參考文獻】

[1]姜友誼，吳艷秋，鄒黎敏.線性代數[M].北京：科學出版社，2015.

[2]張志讓，劉啟寬.高等代數[M].北京：高等教育出版社，2008.

[3]陳維新.線性代數簡明教程（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2010.