對概率論中“數學期望”概念的教學思考

羊豪

【摘要】 數學期望是隨機變量領域的一個重要概念，在概念領域有著無可替代的重要地位.數學期望對學生來講是一個比較抽象的概念，學生對數學期望概念及特征的掌握不透徹，本文將抽象的“期望”概念化為形象、具體的知識，讓學生更好地理解期望的概念、特征及具體應用等.

【關鍵詞】 概率論;數學期望;教學思考

一、“數學期望”概念及導入

課程的導入是至關重要的，一堂課的開始通過趣味性的導入，可以使本節課的教學內容更加形象生動地呈現在學生眼前，從而調動學生的積極性，提高學生的自主探究能力，進而使學生更好地學習本節知識.

（一）隨機變量數字特征引入的原因

隨機變量的數字特征主要描述隨機變量在某些方面的性質和特征，比較常用的有：數學期望、方差、協方差和相關的系數等.正如我們所了解的，隨機變量分布函數可以從全方位進行描述隨機變量自身的各個特性，但教師還需要導入數字特征的概念，可以從以下兩方面給學生講解原因.

1.在現實生活中，其實不需要我們去觀察隨機變量的具體變化規律，只需掌握其中某些隨機變量數字特征的變化情況，就可以輕而易舉地做出判斷，得出結論.如，在期末考試結束后，對班級內的學生進行成績考查，教師只需要計算出學生的平均分及其標準差，就可以對這個班的學習情況做出判斷并得出準確結論.

2.正如我們所了解的，分布函數不容易求解，這時可以給同學們展示具體的例子，讓學生通過計算，知道分布函數不容易求解，退而求其次來分析、研究隨機變量的數字特征，使學生知道隨機變量數字特征的引入在某個角度上是隨機變量分布函數的簡便操作.

（二）本章小介紹

在每章章首都有一個本章小簡介，這個簡介在每章中是非常重要的，學生預習或講新課之前教師帶領學生讀一讀本章簡介，學生們就會比較容易地把握本章學習內容，使學生對整體框架進行初步的了解，在接下來的講課過程中，就能更容易地對課堂重點內容進行理解把握與記憶.在“數字特征”這章中，主要從以下幾個方面進行講解.

1.數學期望E（X）是隨機變量X的重要特征之一，用來反映隨機變量集中位置的數字特征，即表示了X的平均值的大小[1].

2.方差D（X）反映了隨機變量的取值在均值周圍的離散程度的數字特征.

3.協方差、相關系數反映了兩個隨機變量X，Y相關程度的數字特征.

（三）結合例題進行分析

導入一堂新課的小例題具有承上啟下的作用，它能夠開啟本節新課，指導學生對新課的研究分析與學習，可以使學生更順利地將前后所學知識結合在一起，從而更好地理解、掌握及運用本節課所學知識，形成比較系統的知識網絡.

1.關于權重的相關問題

設隨機變量X的取值情況有兩種：X1=100，X2=200.隨機變量X的分布列f（n1）=0.01，f（n2）=0.99，求X的平均值.

解析：如果這樣計算，那么X的平均值= 100+200 2 =150很明顯是不合理的，以此來讓同學們自己計算更為準確的平均分，對其進行引導，X的平均分應該等于100×0.01+200×0.99=199，之后再布置小練習讓學生加以練習掌握.

2.劉備、曹操賭金問題

通過趣味性的小故事，調動學生學習的積極性，激發學生渴求知識的欲望，從而使學生能夠更好地掌握所學知識，理解更加透徹，運用更加準確.本節課的趣味小例題2是劉備、曹操賭金問題，如下：

曹操、劉備各拿50金作為賭金，規則為五局三勝，假設已經進行了三局，劉備勝一局負了兩局.這時，由于某些外在原因被迫終止了比賽，則賭資如何分配？

用X表示曹操獲得的賭金數，則可得出概率分布表：

X 0 100

Pn? 1 4?? 3 4

則得出0× 1 4 +100× 3 4 =75.

通過這兩個例題的趣味講解，使學生能更好地掌握概率論及本節所學內容，這樣也能加深學生的理解與記憶，讓學生通過更多的練習，學會自主學習與探究，將今日所學知識熟練地運用到今后的實際生活中去.

二、離散型變量“數學期望”注意事項

（一）數學期望是一個確定的常數，而不是隨機的、不確定的

離散型隨機變量的數學期望正如計算公式所示是一個無窮級數的和，若變量X有限，則E（X）就是加權平均值.

（二）研究表明，有的隨機變量的數學期望值可能不存在

要想存在必須滿足的條件是正項級數，如，∣xi∣與xi所代表的意義就不盡相同了.在這里∣xi∣是滿足正項級數的，而xi還可能是個負值，因此，其所對應的隨機變量的數學期望值可能不存在[2].

（三）“期望值”并不等同于“期望”

也就是說期望值可能不在隨機變量的取值范圍之中.如，向空中拋一個六個面標有1，2，3，4，5，6的正方體物塊，在每個面朝上的可能性都均等的情況下，求擲的數學期望如下：

根據定義可得E（X）=1× 1 6 +2× 1 6 +3× 1 6 +4× 1 6 +5× 1 6 +6× 1 6 =3.5，那么我們想一想，六個面中有哪個面標有3.5呢？可想而知，很顯然沒有，這就是所說的“期望值”不一定等于“期望”[3].

三、總 結

一堂新課的引入與重點知識講解的好壞都直接決定了這堂課的成功與失敗.雖然“數學期望”是一個比較抽象的概念，但我們可以利用好的教學方法使它具體化，從而使學生更好地掌握數學期望的概念，教師可以進行趣味導入，吸引學生們的注意力，調動學生們的積極性，通過例題的講解，讓學生大量練習相關題目，熟練運用數學期望.

【參考文獻】

[1]曹小玲.淺談概率論中“數學期望”概念的講解[J].教育教學論壇，2014（45）：199-201.

[2]謝永欽.概率論與數理統計（第2版）[M].北京：北京郵電大學出版社，2013：89-98.

[3]段麗凌.淺析數學期望在經濟生活中的應用[J].商場現代化，2008（11）：398-399.