基于層次分析法的數值分析課程達成度方法

【摘要】 本文針對高校大學生數值分析課程成績的具體情況，提出一種基于層次分析法的數值分析課程達成度的方法.通過該方法對某班的數值分析成績有效地計算出課程達成度，找出薄弱點，并提出合理的建議，同時也為理工科的工程認證提供了一種課程達成度的評價方法.

【關鍵詞】 數值分析;層次分析法;課程達成度

【基金項目】 西安財經學院2016年度教學研究重點項目（16xcj01）;西安統計研究院研究項目（14JD02）.

在科學技術和計算機技術高速發展的時代，數值分析的理論與算法已成為科學研究的主要方法之一.對高校大學生的數值分析成績，尚未建立完整、全面的成績評價方法.為了激發學生學習本門課程的積極性，提高實踐和創新能力，有效提高教學質量，對數值分析的考試成績采用一定的數理方法，對不同的知識點進行定量或定性的評價，分析出學生對知識點的整體掌握情況.考慮到方法的適用性和可推廣性，筆者選擇20世紀70年代初期由美國運籌學家T.L.Saaty提出的層次分析法（Analytic Hierarchy Process，簡記AHP）來構建數值分析課程達成度的方法，并以某班級的數值分析考試成績為例，運用該方法有效地計算了某班級數值分析的課程達成度，最后給出合理的建議，同時也為理工科的工程認證提供了一種課程達成度的評價方法.

AHP法是一種將與決策有關的元素分解成目標、準則、方案等層次，并在此基礎上進行定性和定量相結合的、系統化的、層次化的分析決策方法.選擇某高校某班的數值分析課程（總課時54）的成績數據來說明基于AHP法的數值分析課程達成度的方法.

一、建立層次結構模型

層次結構模型的建立是AHP法的基礎.根據教學大綱要求，將數值分析教學內容條理化和層次化，分解為有兩個層次的結構模型，最上層為目標層，最下層為準則層，分為五個方面，如圖1所示.

二、構造成對比較陣

成對比較陣的構造是AHP法的關鍵.從層次結構模型的第2層開始，對從屬于上一層 O每個因素的同一層諸因素，用成對比較法和1-9比較尺度構造成對比較陣，取兩個因素Ci和Cj，i，j=1，…，5，用aij，i，j=1，…，5，表示Ci和Cj，i，j=1，…，5對O的影響之比，直到最下層.

根據數值分析內容的重要程度及相互影響關系構造成對比較陣.插值法是一種逼近函數的構造方法，故C1對C2的影響稍強，選取a12=3;數值積分是基于插值原理推導出來的，故插值法對數值積分的影響較強，選取a13=5;處理數值積分的基本方法就是逼近法，故選取a23=3;直接法中介紹的范數知識是判斷迭代法收斂與否的主要依據，故選取a45=4;解線性方程組的迭代法實際上也是一種函數逼近的方法，故選取a25=4.根據aji= 1 aij ，i，j=1，…，5，構造成對比較陣 A ，顯然 A 是正互反陣，如下：

A =? 1 3 5 2 2 1 3? 1 4 2 4 1 5?? 1 4? 1? 1 2?? 1 2? 1 2?? 1 2? 2 1 4 1 2?? 1 4? 2? 1 4? 1? ?.

三、計算權向量并做一致性檢驗

進行一致性檢驗是保證AHP法客觀、科學的關鍵.由已知定理n階正互反陣 A 的最大特征值λ≥n及λ連續地依賴于aij可知，λ比n大得越多， A 的不一致程度越嚴重，用特征向量作為權向量引起的判斷誤差越大，因此，Saaty引入一致性指標CI.CI=0時， A 為一致陣;CI越大， A 的不一致程度越嚴重.為了確定 A 的不一致程度的容許范圍，Saaty又引入了隨機一致性指標RI.將CI和RI之比稱為一致性比率CR，當CR<0.1時，認為 A 的不一致程度在容許范圍之內，可用其特征向量作為權向量.

對成對比較陣 A ，求出最大特征值λ=5.422 5和歸一化的特征向量（即分量之和為1）ω=（0.382 7，0.262 9，0.064 9，0.191 2，0.098 3），求出判斷矩陣的一致性指標CI=0.105 625，通過查表所得隨機一致性指標RI=1.12，由此求出一致性比率CR= 0.105 625 1.12 =0.094 308<0.1，一致性檢驗通過，否則對矩陣做適當修正.上述ω可以作為權向量，這種求權向量的方法稱為特征向量法.事實上，也可以采用幾何平均法、算術平均法和最小二乘法.

四、計算課程達成度

課程達成度的計算是判斷學生對課程掌握程度的依據.筆者對本班的數值分析課程成績做統計分析，如表1所示.將權向量與平均得分率向量做內積，得到本班學生的數值分析課程達成度為48.92 % ，說明本班學生對本門課程的掌握程度很差，對全部知識的掌握程度還不到一半，尤其是插值法和解線性方程組的迭代法掌握得更差.

五、總 結

基于AHP法構建的數值分析課程成績的達成度方法，計算上具有簡單、實用、可操作性強等優點.該方法思路簡單明了，便于計算;所需要的定量化數據較少，但對問題的本質、問題所涉及的因素及其內在關系分析得比較透徹、清楚.該方法不僅有定性分析，同時將定量與定性分析相結合，完成了課程達成度計算，同時可拓展至專業達成度的計算，為工程認證等相關工作中達成度計算提供了一種可行方法.通過AHP法有效地計算出某班數值分析的課程達成度，了解了學生對知識點的掌握程度，找出學生在本門課程中的薄弱點，不斷改進教學方法，增加教學輔助手段，均取 得了較好的學習效果，有效地提高了學生學習本門課程的積極性和主動性，提高了教學質量，達到了預期的教學效 果.

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