一類帶組合項的分數階邊值問題兩個解的存在性

李姍姍,王智勇

(南京信息工程大學數學與統計學院,江蘇南京 210044)

1 引言

考慮如下分數階邊值問題

隨著分數階微積分的發展,其已涵蓋了科學與工程的很多應用領域,特別是近30年以來,已應用到流體力學,粘彈性力學,反常擴散,分數控制系統,各種電子回路,生物系統的電傳導,神經的分數模型等,并且已有了成熟的發展,見文獻[1–6].

近年來,許多學者利用各種方法對問題(1.1)進行了研究,并得到了很多重要的結果.2011年,Jiao和Zhou在文獻[7]中首次建立了問題(1.1)的變分結構,并利用極小化作用原理以及山路引理得到了問題(1.1)解的存在性;在文獻[1]中,陳在位勢函數W(t,x)滿足漸近二次的條件下,利用山路引理研究了問題(1.1)解的存在性;文獻[2]中,陳和唐運用噴泉定理和對偶噴泉定理分別考慮了位勢函數W(t,x)為超二次和次二次的情形,得到了問題(1.1)存在無窮多個解.

令

其中λ>0,F(t,u(t))和G(t,u(t))在無窮遠處分別是超二次和次二次的.最近,文獻[4]首次研究了具有形如(1.2)式這樣組合項的位勢函數,借助于山路引理和極小化方法得到問題(1.1)至少存在兩個非平凡解.受上述結果的啟發,本文利用山路引理以及Ekeland變分原理,進一步討論此類帶組合項的問題(1.1)兩個解的存在性.我們有

定理1.1 假設W滿足如下條件

[F1]?x∈RN,F(t,x)關于t是可測的,對a.e.t∈[0,T],F(t,x)關于x是連續可微的,且存在a∈C(R+,R+),b∈L1([0,T],R+)使得

其中Γ為通常的伽馬函數,α=1?β/2,則存在常數Λ0>0,使得當λ∈(0,Λ0)時,問題(1.1)至少存在兩個非平凡解.

注1.1容易看出,這里定理1.1所給的條件同文獻[4]相比要更一般,因此結果推廣和發展了文獻[4]中的結論.

本文結構安排如下:第二部分簡要介紹一些分數階微積分的基本概念并給出本文所需要的預備引理;第三部分給出了定理1.1的證明;最后一部分將給出一個例子來說明結果.

2 預備知識

本節將簡要介紹一些分數階微積分的基本概念,并且給出問題(1.1)的工作空間和變分結構.

定義2.1[8]設γ>0,函數f(t)定義在[a,b]上,它的γ階左和右Riemann-Liouville分數積分分別定義為

和

其中右式在[a,b]上逐點有定義.相應的,當γ=n∈N時,上式分別與以下的n次積分形式相對應

和

定義2.2[8]設γ>0,函數f(t)定義在[a,b]上,它的γ階左和右Riemann-Liouville分數導數分別定義為

和

其中t∈[a,b],n?1≤ γ

其中f(n)(t)為f(t)的n階導數;若0<γ<1,則

和

記AC?[a,b],RN￠為絕對連續函數空間.對k∈N,

定義 2.3[8]設γ>0,n∈N.若γ∈ [n?1,n)且f(t)∈ACn?[a,b],RN￠,則函數f(t)的γ階左和右Caputo分數導數于[a,b]上幾乎處處存在,且分別定義為

和

設0<α≤1以及1

其范數為

命題2.4[8]設0<α≤1,1

進一步,若α>1/p且1/p+1/q=1,則有

特別的,當p=2時,有以下兩個不等式成立

引理2.5[7]設0<α≤1,11/p,若序列{un}在上弱收斂于u,即un*u,則在C([0,T],RN)上有un→u,即當n→+∞時,kun?uk∞→0.

下面將在空間Eα:=中討論問題(1.1)的多解性,此時其范數為kukα:=kukα,2.

定義2.6若對u∈Eα以及?v∈Eα有

則稱u為問題(1.1)的弱解.

考慮泛函

根據條件(F1),(G1)和(G3),由文獻[7]中的定理4.1可知,?∈C1(Eα,R)且有

引理2.7[7]若1/2<α≤1,則對u∈Eα,有

定義2.8[6]設X是實Banach空間,?∈C1(X,R),如果{un}?X,?(un)有界并且?0(un)→0(n→+∞),則稱序列{un}?X 為?的(PS)序列.如果它的每一(PS)序列都有一收斂子列,則稱泛函?滿足(PS)條件.

定義2.9[6]設X是實Banach空間,?∈C1(X,R),如果{un}?X,?(un)有界并且(1+kunkα)?0(un)→ 0(n→ +∞),則稱序列{un}? X為?的(C)序列.如果它的每一(C)序列都有一收斂子列,則稱泛函?滿足(C)條件.

引理2.10[6](山路引理)設X是實Banach空間,?∈C1(X,R)滿足(PS)條件,?(0)=0,且有

(I1) 存在常數ρ,β >0,使得?|?Bρ≥ β;

(I2)存在e∈XˉBρ,使得?(e)≤0,

注2.2由文獻[9]可知,山路引理在(C)條件下依然成立.

3 定理的證明

為了敘述方便,令Ci(i=1,2,3,···)表示一系列不同的正常數,X=Eα.

引理3.1假設條件(F1),(F5),(F6),(G1)和(G3)成立,則泛函?滿足(C)條件.

證 首先證明{un}在X上有界.假設{un}是泛函?的(C)序列,即{?(un)}有界,且當n→+∞時,有k?0(un)kX?(1+kunkα)→0,其中X?為X 的對偶空間,則?n∈N,有

根據條件(F5),存在常數R1>0,使得?|x|≥R1以及a.e.t∈[0,T],有

再結合條件(F1),?x∈RN和a.e.t∈[0,T],可知

所以利用(2.2)式以及H?lder不等式,可得

而由條件(G1)和(G3),有

因此,進一步依據(2.2),(3.4),(3.5)式和H?lder不等式,可得

這樣由(2.4),(2.6),(3.1),(3.3)和(3.6)式可得

另一方面,由條件(F6),存在常數R2>0,使得?|x|≥R2和a.e.t∈[0,T],有

因此再由條件(F1),?x∈RN和a.e.t∈[0,T],可得

其中ripi=μ?r+2,1/pi+1/qi=1.考慮(2.4),(2.5),(3.1),(3.4),(3.6),(3.8)和(3.9)式,有

因此可以得到

由于μ>r?1,利用(3.7)和(3.10)式,并注意到εi的定義,有

注意到這里μ>r?1,因此,kunkα有界.

最后證明{un}在X上有強收斂子列.因為{un}在X上有界,并且X是自反的Banach空間(見文獻[8]),則存在子序列,不妨仍記為{un},使得在X上,有un*u.于是當n→+∞時,有

由(2.3)式和引理2.5可知{un}在C([0,T],RN)上有界.進一步,當n→ +∞時,有kun?uk∞→0.因此再依據條件(F1)和(G3),當n→+∞時,有

此外,由(2.5),(2.6)和(3.12)式,有

所以結合(3.11)式可得,當n→+∞時,kun?ukα→0,即?滿足(C)條件.

引理3.2假設W滿足條件(F3),(F5),(G1)和(G3),則存在常數ρ>0,β>0和Λ0>0,使得當kukα= ρ,λ ∈ (0,Λ0)時,有?(u)≥ β.

證 根據條件(F3),(F5)可知,存在常數δ1∈(0,|cos(πα)|),?x∈RN和a.e.t∈[0,T],有

由(2.1),(2.4),(2.6),(3.13)式及條件(G1),(G3),有

設

因為1

利用(3.14)和(3.15)式可得,存在不依賴于λ的常數C12,使得

引理3.3 假設W滿足條件(F1),(F4),(G1)和(G3),則存在e∈X,并且kekα>ρ,使得?(e)<0.

證 由條件(F4)知,存在常數δ2>0和R3>0,使得?|x|≥R3以及 a.e.t∈[0,T],有

再由條件(F1),?x∈RN和a.e.t∈[0,T],有

根據(2.4),(2.6),(3.5),(3.16)和(3.17)式,注意到1

所以存在充分大的s0使得?(s0u0)<0,取e=s0u0∈X,有?(e)<0.

引理3.4假設條件(F2)和(G2)成立,則

其中ρ由引理3.2給出.

下證存在?(u0)=h<0.

由條件(F2)知,存在常數δ3>0,使得?|x|≤δ3以及a.e.t∈[0,T],有

由條件(G2)得,存在常數δ4>0,?|x|≤δ和有

因此有?∞

定理1.1的證明 根據引理3.1可知?滿足(C)條件,由條件(F3)和(G1)知W(t,0)=0,所以有?(0)=0,再利用引理3.2和引理3.3可知引理2.9(山路引理)中的條件(I1),(I2)成立.因此問題(1.1)存在一個非平凡解u1∈X,使得?(u1)=c>0.另一方面,由引理3.4和Ekeland變分原理(見文獻[6]),類似于文獻[10]中定理2.1的證明,可得有界的(PS)序列{un},即?(un)有界,且當n→+∞時,?0(un)→0.又因為un∈ˉBρ,即kunkα<ρ,所以當n→ +∞時,有(1+kunkα)?0(un)α→ 0,即{un}為?中有界的(C)序列,再結合引理3.1,則問題(1.1)存在另一個非平凡解u2∈X,使得?(u2)<0.綜上所述,問題(1.1)至少存在兩個非平凡解u1,u2∈X,使得?(u2)<0

4 例子

在本節中,給出一個具體的例子來說明我們的結果.考慮如下分數階邊值問題: