一類(lèi)非局部橢圓方程正解的存在性

2019-04-13 03:59:54陳林

數(shù)學(xué)雜志 2019年2期

關(guān)鍵詞：定義

陳林

(伊犁師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)分院,新疆伊寧 835000)

1 引言

橢圓型方程是偏微分方程理論的一個(gè)重要組成部分,其解的存在性問(wèn)題具有很高的學(xué)術(shù)價(jià)值和理論價(jià)值,是偏微分方程領(lǐng)域中一個(gè)重要的研究課題.文獻(xiàn)[1]研究了如下擬線性橢圓邊值問(wèn)題

近年來(lái),對(duì)非局部橢圓方程的研究日益受到人們的重視[2–5].本文研究如下一類(lèi)非局部橢圓方程

非平凡弱解的存在性,其中λ>0是實(shí)參數(shù),10,h(x),H(x)是在RN上可變號(hào)的權(quán)函數(shù).文獻(xiàn)[6]運(yùn)用Nehari流形及纖維環(huán)映射的方法得到當(dāng)a=0,p=2時(shí),問(wèn)題(1.2)在有界區(qū)域上至少存在兩個(gè)正解;文獻(xiàn)[7]運(yùn)用山路引理和Ekeland變分原理證明了當(dāng)a=0時(shí),問(wèn)題(1.2)至少存在兩個(gè)非平凡的弱解.受文獻(xiàn)[1,6,7]的啟發(fā),我們將運(yùn)用Nehari流形及纖維環(huán)映射證明問(wèn)題(1.2)在全空間RN上至少存在兩個(gè)非平凡的弱解.由于所討論的問(wèn)題定義區(qū)域是全空間RN,從而本文不能得到類(lèi)似于文獻(xiàn)[1]中三個(gè)弱解的存在性結(jié)果.

的完備化空間.

由文獻(xiàn)[8]可知,存在一常數(shù)S>0使得

其中?∞

為研究問(wèn)題的方便,做如下假設(shè):

本文的主要結(jié)果為

定理1.1 若條件(A1)–(A3)成立.則存在正數(shù)λ1使當(dāng)λ∈(0,λ1)時(shí),問(wèn)題(1.2)至少具有兩個(gè)正解.

2 預(yù)備知識(shí)

定義2.1若u∈X且對(duì)于任意的?∈X有

成立,則稱(chēng)u為問(wèn)題(1.2)的一個(gè)弱解.

顯然問(wèn)題(1.2)具有變分結(jié)構(gòu).設(shè)Iλ(u)是問(wèn)題(1.2)所對(duì)應(yīng)的Euler泛函,其具體表達(dá)式為

其中σ=p(τ+1).則Iλ(u)∈C1(X,R)且對(duì)于任意的?∈X 有

特別地,

由于Iλ在X上無(wú)界,因此引入Nehari流形

從而當(dāng)u∈Nλ時(shí),有

引入纖維環(huán)映射 φu:t∈ R+7→ Iλ(tu),則

易見(jiàn),u∈Nλ當(dāng)且僅當(dāng)(1)=0.更一般地,(t)=0當(dāng)且僅當(dāng)tu∈Nλ.將Nλ分成

由于當(dāng)u∈Nλ時(shí),(1)=0,從而

引理2.2 Iλ是強(qiáng)制的且在Nλ上有下界.

證由H?lder不等式及不等式(1.3),得

由于n

引理2.3存在λ0>0使得當(dāng)λ∈(0,λ0)時(shí)=?.

將(2.18)及(2.19)式運(yùn)用于(2.21)式得

從而

由此可得λ≥λ0,矛盾！因此,存在λ0>0使當(dāng)λ∈(0,λ0)時(shí)=?.

引理2.4假定u0是Iλ在Nλ上的一個(gè)局部極小值點(diǎn).如果u06∈,則u0是Iλ(u)的一個(gè)臨界點(diǎn).

證設(shè)

由于u0∈Nλ,從而

然而

因此,如果u06∈,則.進(jìn)而由(2.25)式知μ=0.從而.證畢.

由引理2.3,當(dāng)λ∈(0,λ0)時(shí),.定義

(2)存在k0>0,使得≥k0.

證(1)設(shè)u∈N+λ,則由(2.13)和(2.17)式得

從而

則 z0(t)=tp?n?1E(t),其中

則

令E0(t)=0得

則E(t)在[0,t?)單調(diào)遞增,在(t?,+∞)單調(diào)遞減.從而E(t)在t?處取得最大值.由于E(0)=k(p?n)kukp>0,E(+∞)=?∞,因此存在唯一的tl>t?>0,使得E(tl)=0且當(dāng)t∈[0,tl)時(shí)函數(shù)z(t)遞增,當(dāng)t∈(tl,+∞)時(shí),函數(shù)z(t)遞減;在tl處取得最大值.特別地,當(dāng)l=0時(shí),有

由E(t0)=E(tl)=0可知t0≤tl.從而

證設(shè)

則

從而由函數(shù)z(t)的特性可知存在0

以及z0(t+)>0>z0(t?).由于Ψ1(t)=tn+1z0(t),從而t+u∈,t?u∈N?λ.由于當(dāng)t∈ [0,t+)時(shí),<0;當(dāng) t∈ [t+,tl)時(shí),(t)>0,從而另外,易驗(yàn)證當(dāng) t∈ [t+,t?)時(shí),(t)>0;當(dāng) t∈ [t?,+∞)時(shí),(t)<0;當(dāng) t∈ [0,t+]時(shí),Ψ2(t)≤ 0.又由于t?u∈,從而由引理2.5中的(2)可知Ψ2(t?)>0.從而由Ψ2(t)的單調(diào)性可知證畢.

則η(0+)=?∞,η(+∞)=0,η(t)在某個(gè)t=Tl>0處取得最大值.

引理2.8假定(A1)–(A3)成立.若{uk}在X中收斂于u∈X,則存在{uk}的一個(gè)子列(不妨仍記為{uk})滿足

證只證明(2.42),(2.41)式的證明是類(lèi)似的,在此略去.因?yàn)閺亩鴮?duì)于任意ε>0,存在R0>0使得

其中Br={x∈RN:|x|≤r}而.由于{uk}在X中弱收斂于u,則{uk}在X中有界且{uk}在空間中弱收斂于u.進(jìn)而,由不等式(2.43)推出{uk}在空間中有界.因此,存在的子列(不妨仍記為)使得在中弱收斂于u,在RN中幾乎處處收斂于u.從而對(duì)于任意k≥1存在與k無(wú)關(guān)的常數(shù)M使得