含混合氣泡液體中聲波共振傳播的抑制效應*

陳時 張迪 王成會 張引紅

(陜西師范大學物理學與信息技術學院, 陜西省超聲學重點實驗室, 西安 710119)

1 引 言

聲波在含氣泡液體中的傳播是聲空化領域的重要問題, 是很多聲波應用的理論基礎, 如聲化學、超聲處理和超聲成像等. 對這類問題的研究有助于深刻理解空化器件內聲場的分布情況, 為超聲處理方法的大型化和工業化[1?4]提供解決的思路.

在含氣泡液體中聲波的一個重要特點是會出現共振傳播現象, 即在氣泡的共振頻率附近聲衰減和聲速會顯著地增大[5,6]. 這是一個普遍的現象, 是很多應用(或者潛在運用)的基礎, 但是目前對它的認識并不全面. 關于含氣泡液體中聲波的傳播問題, 很多文獻忽略了共振傳播現象, 如文獻[7–10];文獻[6, 11–18]雖然考慮了共振傳播現象, 但是假設液體中所有氣泡的靜態半徑(沒有波動時氣泡的半徑)是相同的, 即液體中只包含單一種類的氣泡, 因此遺漏了共振傳播方面很多重要的信息; 文獻[5]雖然涉及含混合氣泡液體中聲波的共振傳播, 但是只是簡單的介紹, 并沒有給出系統深入的分析, 因此很多重要的知識并沒有被揭示.

近年來張鵬利等[19]、苗博雅和安宇[20]、王德鑫和那仁滿都拉[21]對雙氣泡(不同靜態半徑)系統的振動問題進行了調查, 揭示了一些有價值的信息,但是這些文獻并未考慮聲波的傳播問題(氣泡振動和聲波傳播是兩類不同的問題). 顯然在包含混合氣泡(液體中存在多種不同靜態半徑的氣泡)的液體中, 不同靜態半徑氣泡間的相互作用會對聲傳播產生重要的影響, 并完善聲波共振傳播的知識.

本文運用有效介質理論系統地研究了含混合氣泡液體中聲波的共振傳播性質. 研究結果顯示在這些系統中存在聲波共振傳播的抑制效應, 即和含單一種類氣泡的系統相比, 在含混合氣泡的系統中聲波的共振衰減和共振聲速會明顯地變小. 本文系統地研究了這種抑制效應的本質和主要特點, 此外還考慮了空化率和黏性等對抑制效應的影響, 研究結果是對含氣泡液體中聲波共振傳播知識的必要補充.

2 含混合氣泡液體中聲波的有效介質理論

在含混合氣泡的液體中, 聲波的波動方程可以表示為[6]

本文只討論聲波的線性傳播, 所有的一階小量都包含一個和時間有關的因子, 即, 其中i是單位虛數,是聲波的角頻率. 這里, 所有的零階量都是和時間無關的常數. 如果考慮氣泡和液體之間的熱交換[6,22], 在小振幅聲波驅動近似下,可以表示為

若要把氣泡的振動方程(6)線性化, 則需將方程(2)中的和方程(4)的的展開式代入方程(6), 且只保留到一階小量. 因為有關的項. 最后可以得到[6]

其中

由方程(5)和(10)可得

把方程(11)代入方程(1), 可得波動方程的最終形式

3 數值計算例子與討論

本節用數值計算例子來顯示含混合氣泡液體中線性聲波的傳播特性. 在所有的計算中, 如果文中或者圖中沒有特別標明, 那么用到的參數是：一種氣泡的靜態半徑是, 第二種氣泡的靜態半徑是. 如果文中或者圖中對某個參數有特別標明, 那么該參數就替換為標明的數據.

圖1 含兩種混合氣泡的液體中聲波的衰減譜Fig. 1. Attenuation spectrums of acoustic waves in liquids with two kinds of bubbles.

與只存在一種氣泡的情況相比(在空化率相同的條件下), 存在兩種混合氣泡時衰減峰的峰值會明顯變小. 當時(只存在小氣泡),的峰值是(對應圖1的第二個衰減峰);此時衰減峰的帶寬是, 它是大于或等于峰值的一半所對應的角頻率間隔. 當時(只存在大氣泡),的峰值是, 衰減峰的帶寬是; 當時(液體中存在混合的小氣泡和大氣泡), 衰減譜的第二個峰的峰值是, 它小于, 此時第一個峰的峰值也小于; 當時, 衰減譜的第一個峰的峰值是, 它小于, 此時第二個峰的峰值也小于. 這是一個普遍的現象, 稱為混合氣泡對聲波共振衰減的抑制效應. 眾所周知, 氣泡的共振會導致聲衰減的極大增加, 氣泡振動越強聲衰減也會越大[6]. 在含混合氣泡的液體中, 聲波共振衰減抑制的根源是氣泡振動被抑制了.

圖2顯示了在含兩種混合氣泡的液體中, 聲波衰減譜的相對峰值和相對帶寬與(或者)的關系. 圖2(a)對應著衰減譜中的第二個峰(它由小氣泡的共振引起), 其相對峰值是衰減峰峰值除以, 相對帶寬是帶寬除以. 圖2(b)對應著第一個峰(它由大氣泡的共振引起), 其相對峰值是衰減峰峰值除以, 相對帶寬是帶寬除以.

圖2 含兩種混合氣泡的液體中聲波衰減譜的相對峰值和相對帶寬與 (或者 )的關系Fig. 2. Relationships between ( )and relative peak val?ues or bandwidths of attenuation spectrums of acoustic waves in liquids with two kinds of bubbles.

從圖2還可以看出, 混合氣泡對小氣泡的共振特征量(如氣泡共振引起的聲衰減系數和聲速等)的抑制效果要比對大氣泡的大得多. 對第二個衰減峰而言(圖2(a)), 當小氣泡的百分比由1減少到0.95時, 其相對峰值由1減少到0.61, 相對峰值的抑制率是7.8(某物理量的抑制率定義為物理量的減少量除以氣泡百分比的減少量, 抑制率越大抑制效果越大); 相對帶寬由1減少到0.688, 抑制率是6.24. 對第一個衰減峰而言(圖2(b)), 當大氣泡的百分比由1減少到0.20時, 相對峰值由1減少到0.917, 抑制率是0.104; 相對帶寬由1減少到0.847, 抑制率是0.19. 小氣泡共振衰減的相對峰值和相對帶寬的抑制率分別是大氣泡的75倍和32.84倍.

圖3顯示了在含兩種混合氣泡的液體中聲波的聲速譜. 粗實線對應著, 即只存在大氣泡的情況. 點劃線對應著, 即只存在小氣泡的情況. 與只存在一種氣泡的情況相比, 存在混合氣泡時聲速的峰值要明顯減小, 稱它為混合氣泡對共振聲速的抑制效應. 眾所周知氣泡的共振會導致聲速的增加, 共振振動越強聲速增加越大[6], 共振聲速抑制意味著氣泡振動被抑制了. 共振聲速或者聲衰減抑制效應的本質都是氣泡振動的抑制, 以后把它們統稱為聲波共振傳播的抑制效應. 從圖3還可以看出混合氣泡對小氣泡的共振聲速的抑制效果要遠比對大氣泡的大. 如在聲速譜的第二個峰(由小氣泡共振引起)處,由1.00變成0.95, 共振聲速峰值由變成, 其抑制率是. 在第一個峰處(由大氣泡共振引起),由1.00變成0.80, 共振聲速峰值由泡的21.36倍.

圖3 在含兩種混合氣泡的液體中, 不同 (或者 )對應的聲波的聲速譜 圖中 分別是0, 0.20, 0.40, 0.60, 0.80,0.90, 0.95, 1.00, 或 者 分 別 是 0, 0.05, 0.10, 0.20, 0.40,0.60, 0.80, 1.00. 左邊的箭頭表示 增加的方向, 右邊的箭頭表示 增加的方向Fig. 3. Speed spectrums for different (or ) in liquids with two kinds of bubbles. Here is 0, 0.20, 0.40, 0.60,0.80, 0.90, 0.95 and 1.00, respectively. is 0, 0.05, 0.10,0.20, 0.40, 0.60, 0.80 and 1.00, respectively. The white ar?row indicates the direction of increase of , the gray ar?row indicates the direction of increase of .

圖4 在含兩種混合氣泡的液體中, 不同時聲波的相對 衰 減 譜 圖 中 , 分 別 是 , , 和, 箭頭表示該角頻率區域 增加的方向Fig. 4. Attenuation spectrums for different in liquids with two kinds of bubbles. Here, , is ,, and , respectively. The arrow indicates the direction of increase of .

由圖4可見, 在相對衰減譜的兩個峰之間的(角頻率)區域內,隨的增加而增加, 但是它們會逐漸趨于一個特定的曲線(如圖中的實線). 當再繼續增加時, 該區域的曲線和圖中的實線區別很小, 無法在圖中顯示出來. 當增加時(單位體積內氣泡的數量增多), 氣泡間的平均距離減少, 氣泡間的相互作用力變大, 相對衰減譜中兩個峰的帶寬變大[6], 以至于在兩個峰之間的區域內聲波的相對衰減增強. 但是這種增強效應具有飽和性, 即當增加到一定值時, 聲波的相對衰減會趨于穩定.

圖6顯示了在含兩種混合氣泡的液體中黏度不同時聲波的衰減譜. 由圖可見： 1)在兩個衰減峰處, 衰減系數的峰值隨黏度的增加反而減小. 在這兩個區域內, 聲衰減主要由氣泡的共振引起, 而黏性對氣泡的共振起抑制作用(即黏度越大共振越弱), 因此衰減系數的峰值隨黏度的增加反而減少;2)在兩個衰減峰之間的區域內, 衰減系數隨黏度的增加而增加. 這說明在這個區域內聲衰減主要是由液體的黏性引起, 而不是由氣泡的共振引起.

圖5 在含兩種混合氣泡的液體中, 不同時聲波的聲速譜 圖中 , 分別是 , , 和 ,箭頭表示該角頻率區域 增加的方向Fig. 5. Speed spectrums for different in liquids with two kinds of bubbles. Here, , is , ,and , respectively. The arrow indicates the dir?ection of increase of .

圖6 在兩種混合氣泡的液體中黏度不同時聲波的衰減譜Fig. 6. Attenuation spectrums for different viscosity in li?quids with two kinds of bubbles.

圖7 顯示了在含多種混合氣泡的液體中聲波的衰減譜. 由圖可見： 1)在含多種混合氣泡的液體中聲波共振傳播的抑制效應依然存在, 且混合氣泡的種類越多, 聲波共振傳播的抑制效應越明顯, 即當越大時, 衰減系數的峰值變得越小; 2)當比較小時, 衰減譜上存在多個衰減峰(一般是個峰), 當增加到一定值時, 衰減譜變成一條光滑的曲線(如時, 圖7中的粗實線). 再繼續增加, 衰減譜曲線的變化很小, 無法在圖上顯示出來. 這說明對而言, 聲波共振傳播的抑制效應存在飽和現象. 當很大時, 抑制效果會趨于穩定, 而不是持續增加.

圖7 在含多種混合氣泡的液體中氣泡的種類數不同時聲波的衰減譜. 圖中 ,Fig. 7. Attenuation spectrums for different . Here,.

圖8 氣泡滿足不同分布時聲波的衰減譜 細實線是參考曲線, 它對應著存在兩種混合氣泡的情況; 對其他曲線而言, 各個氣泡的靜態半徑分別是R = 20 + 40(j – 1)/Fig. 8. Attenuation spectrums for different distribution functions of bubble number. The thin solid line indicates the systems with two kinds of bubbles. Here, R =

圖8 顯示了氣泡數滿足不同分布時聲波的衰減譜. 點線對應的分布是(其中泡數偏向小氣泡的分布, 衰減譜的帶寬是這是一個均勻的分布, 衰減譜的帶寬是是一個氣泡數偏向大氣泡的分布, 衰減譜的帶寬是. 可以得出如下的結論： 氣泡數分布越偏向大氣泡, 共振衰減峰的帶寬就越小, 反之則越大.

這里試著解釋上面的結論, 前面已知小氣泡共振特征量的抑制效果遠比大氣泡的大. 當氣泡數分布偏向大氣泡時, 小氣泡的數量就比較少, 小氣泡對應的高頻共振衰減被極大地抑制了, 因此衰減譜的帶寬比較小. 當氣泡數分布偏向小氣泡時, 小氣泡的數量比較大, 小氣泡對應的高頻共振衰減的抑制效果較小; 雖然大氣泡的數量較小, 但是大氣泡的特征量的抑制效果本來就弱, 因此大氣泡對應的低頻共振衰減的抑制效果也較小. 結果是衰減峰帶寬比較大.

4 結 論

本文運用有效介質理論研究了含混合氣泡液體中聲波的共振傳播特性, 得出的主要結論概括如下.

1)在含混合氣泡的液體中存在聲波共振傳播的抑制效應. 這是一個普遍的現象, 具體的表述是：和含單一種類氣泡的液體相比, 在含混合氣泡的液體中, 聲波的共振衰減系數和聲速都會明顯地變小. 這種抑制效應的本質是液體中氣泡的共振振動被抑制了.

2)在含混合氣泡的液體中, 聲波共振傳播的抑制效應的主要特征有： 小氣泡共振特征量的抑制效果遠比大氣泡的大; 當氣泡數分布越偏向大氣泡時, 衰減峰的帶寬越小, 反之則越大; 抑制效果隨的增加而增加, 但是存在飽和效應, 即當很大時聲波共振傳播的抑制效果趨于穩定.

3)在含混合氣泡的液體中, 各種因素對聲衰減譜和聲速譜的主要影響有： 在聲衰減譜的衰減峰處黏性對聲衰減起抑制作用, 而在衰減峰之間的區域內黏性對聲衰減起促進作用; 在衰減峰處空化率對聲波的共振衰減和聲速的影響是不同的, 前者隨空化率的增加而單調增加, 后者卻是先增加而后減少; 在衰減峰之間的區域內相對衰減隨空化率的增加而增加, 但是這種增加具有飽和性, 即空化率達到較大值時, 相對衰減趨于穩定; 在衰減峰之間的區域內聲速隨空化率的增加而減少.