優化《三角形內角和定理的證明》教學設計

劉國鋒 蔣曉云 楊起群 鄺佰燕

【摘要】本文以《三角形內角和定理的證明》一課為例，針對學生課后沒有真正理解邏輯規則的思維方式、背后的數學思想和數學證明本質的現狀，論述優化教學設計的途徑，提出通過“三段論”推理規則引導學生對證明過程進行分段分析的教學建議，以期提高學生分析證明、有序書寫的能力，進而逐步形成嚴密的邏輯思維。

【關鍵詞】《三角形內角和定理的證明》 三段論 演繹推理 數學證明

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2019）01A-0032-04

在以“基于核心素養培養的初中數學課例研究”為主題的教學研討和展示平臺“寶賢課堂”上，劉國峰老師展示了《三角形內角和定理的證明》一課。本課中“定理證明”的教學片段引導學生分析已知，讓學生在“拼一拼”中找到證明的思路，了解演繹推理規則中最常用、最重要的“三段論”，加深學生對邏輯推理的理解，提高邏輯推理能力。證明的過程應體現嚴格的邏輯推理論證，事實上學生這方面做得還不夠，往往是敘述性證明。通過課后訪談，我們發現學生并沒有真正理解邏輯規則的思維方式、背后的數學思想和數學證明的本質。于是我們在課后對學生進行問卷調查和訪談的基礎上，對這個教學片段進行了反思，優化了教學設計，劉國鋒老師指導漓江學院的實習教師鄺佰燕重新演繹了這一節課，取得了較好的效果。

一、“原行為”，真實錄

師：讓我們一起來思考“如何用我們所學過的知識來證明‘任意三角形的內角和為180°”。首先用語言表述出來。

（學生回答，教師板書——已知：如圖，△ABC.求證：∠A+∠B+∠C=180°）

師：分析已知和求證之間的關聯，聯系我們已經學過的知識，有哪些可能用得上，大膽猜想和嘗試。大家不難想到我們熟悉的“平行線的性質”，結合之前的同學到講臺拼的兩個拼圖，得到一些啟發（見圖1）。

（經過教師的引導，學生把圖1中的兩個圖形抽象出來得到了兩種畫輔助線的方法，見圖2）

師：用數學符號語言將推理過程寫出來如下。

證明：（如圖3）延長BC到D，過點C作CE∥AB

∴∠1=∠A（兩直線平行，內錯角相等）

∠2=∠B（兩直線平行，同位角相等）

∵∠BCA+∠1+∠2=180°（平角的定義）

∴∠BCA+∠A+∠B=180°（等量代換）

師：同學們，大家看得懂我寫的這個推理過程嗎？

生（齊聲）：看得懂。

師：這個推理過程其實隱含著邏輯推理的一種重要規則，這種規則是中學數學最常用的推理方法，叫三段論。三段論必定包含大前提、小前提和結論三部分，以上面的證明過程為例，“兩直線平行，內錯角相等”是大前提，“CE∥AB，∠1和∠A是內錯角”是小前提，“∠1=∠A”是結論。但是，在書寫幾何邏輯推理過程時，為了簡潔明了，我們通常把“大前提”以理由（備注）形式寫在“結論”的后面。所以才有了上面簡潔的推理過程。

二、“微調查”，尋癥結

《義務教育數學課程標準》（2011年版）對核心素養“推理能力”作了如下要求（見下表）。它將《全日制義務教育數學課程標準》（實驗稿）提出的“發展合情推理能力和初步的演繹推理能力”的要求刪去“初步”二字，提高了對“演繹推理能力”的要求，又因為“邏輯推理”被列為六大數學核心素養之一，因此，初中階段培養“推理能力”的核心目標是培養學生的演繹推理能力。

“推理能力”課程目標學段分布表

本課中的“數學證明”教學片段，引導學生分析已知，讓學生在“拼一拼”中找到證明的思路，體會通過合情推理探索數學結論、運用演繹推理加以證明的過程。同時也讓學生了解演繹推理規則中最常用、最重要的“三段論”，加深學生對邏輯推理的理解，提高學生的邏輯推理能力。

課后，我們及時開展現場限時問卷調查，調查對象為課堂上的八年級學生，問卷內容如下。

問題1：推理過程“因為一切奇數都不能被2整除，2007是奇數，所以2007不能被2整除”是必然推理（或有效推理，即前提為真時就能確保結論一定為真）嗎？它與課堂上推理過程（如圖3）“延長BC到D，過點C作CE∥AB，∴∠1=∠A（兩直線平行，內錯角相等）”的推理形式（或者“規則”）相同嗎？為什么？

問題2：亞里士多德所創立的古典邏輯體系的主要內容是三段論，最經典、最著名、最標準的“三段論”推理案例如下。

大前提：所有的人都會死，

小前提：蘇格拉底是人，

結論：蘇格拉底也會死。

問：（1）說一說，上述推理案例是必然推理（或有效推理）嗎？

（2）課堂上的推理過程“延長BC到D，過點C作CE∥AB，∴∠1=∠A（兩直線平行，內錯角相等）”是“三段論”的推理形式，請寫出亞里士多德式的“三段論”推理格式。

問題3：如圖4，已知△ABC，過A作輔助線AD∥BC，

求證：∠A+∠B+∠C=180°

請寫出完整的證明過程。

問題4：如圖5，已知在四邊形ABCD中，∠A=∠C=90°，

∠ABE=∠CBE，∠ADF=∠CDF，

求證：（1）∠ABE+∠CDF=90°;

（2）BE∥DF.

問題1學生做題的正確率為28%，問題2學生做題的正確率為16%，說明學生并沒有真正理解“三段論”的邏輯規則的表達形式、正確有效性、思維方式和數學思想。問題3學生做題的正確率達到86%，說明學生能模仿教師的寫書過程，甚至能舉一反三，學生對模仿書寫證明過程掌握得較好。問題4學生做題的正確率為68%，說明學生是會做這道題的，按平時考試的評分標準，得分率還是比較高的，但是邏輯結構和書寫步驟混亂，說明多數學生未能把握證明題的條理性和規范性。

數學證明就是由已知（前提），通過有效推理，得出有效的結論。因此，數學證明的教學核心是教學生演繹規則（有效推理規則）。本課的重點就是用“三段論”的演繹推理規則來證明“三角形內角和定理”，它屬于邏輯思維中最“燒腦”的一環，對部分初中生而言，這部分知識又是學習中的難點。

三、循“規則”，明道理

初中階段培養“推理能力”的核心目標是培養學生演繹推理能力。《義務教育數學課程標準》（2011年版）對演繹推理定義如下：“演繹推理是從已有的事實（包括定義、公理、定理等）和確定的規則（包括運算的定義、法則、順序等）出發，按照邏輯推理的法則證明和計算。”推理是邏輯思維的基本形式之一：由一個或幾個已知的判斷（前提）推出新判斷（結論）的過程——設A1，A2，……，Ak是幾個已知的判斷（前提），判斷B（結論）。當A1，A2，……Ak都為真時，B也為真，則稱由前提A1，A2，……，Ak推B的推理有效或推理正確，并稱B是有效的結論。

演繹推理有三段論、假言推理、選言推理、關系推理等形式。小學二年級數學《推理》一課就教給學生“選言推理”，這是一個有效的邏輯推理規則。初中數學教師應該明明白白告訴學生亞里士多德所創立的古典邏輯體系的最重要“三段論”規則是必然推理。據此，我們優化了“證明過程的分析與表述”片段的教學設計。

（一）學生在生活情境和已有知識中感悟“三段論”

亞里士多德所創立的古典邏輯體系中的最重要的“三段論”推理規則，是人類最基本的邏輯推理方法。教師首先帶領學生看一些最典型、最標準的“三段論”推理案例。

案例一 大前提：所有的人都會死;

小前提：蘇格拉底是人;

結 論：蘇格拉底會死。

案例二 大前提：所有的金屬都能導電;

小前提：銅是一種金屬;

結 論：銅能導電。

案例三 大前提：一切奇數都不能被2整除;

小前提：2007是奇數;

結 論：2007不能被2整除。

案例四 大前提：所有個位上是0的整數都是5的倍數;

小前提：1050個位上的數是0;

結 論：1050是5的倍數。

隨后，教師為學生講解三段論的相關知識。三段論是演繹推理的一般模式，它包含大前提——已知的一般原理，小前提——所研究的特殊情況，結論——根據一般原理對特殊情況做出的判斷。三段論蘊含著“從一般到特殊”的推理思想。事物有共性，必然蘊藏著個別，所以“一般”中必然能夠推演出“個別”。因此，若大前提和小前提正確，則演繹推理得到的結論一定正確。而三段論推演出來的結論是否正確，取決于大前提和小前提是否正確、是否合乎三段論邏輯規則。

（二）劃分邏輯推理段，循規、守則、明理

[已知：△ABC（如右圖）.

求證：∠A+∠B+∠C=180°.

證明：如圖6，過點A作直線l，使l∥BC.

∵l∥BC，

∴∠2=∠4（兩直線平行，內錯角相等）.

同理 ∠3=∠5.

∵∠1，∠4，∠5組成平角，

∴∠1+∠4+∠5=180°（平角定義）.

∴∠1+∠2+∠3=180°（等量代換）.

以上我們就證明了任意一個三角形的內角和都等于180°，得到如下定理：

教師出示課本上的證明過程（如圖6）并引導學生，教學片段如下。

師：證明過程是由若干個推理組成的，每個推理過程，我們將它看成“一段”，下面我們將課本上的證明過程劃分為四個邏輯推理段進行分析。

1.第一段推出結論：∠2=∠4

（大前提：任意兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等;小前提：l∥BC且被AB所截，∠2和∠4是同位角;結論：∠2=∠4）

師：從思維過程來看，任何三段論都必須包含大、小前提和結論，缺一不可。但是，在具體的語言表述中，無論是口頭表述還是書寫證明過程，為了簡潔明了，我們常常把三段論中的某些部分省去不說，或是大前提，或是小前提。我們從圖中可以得出小前提是“l∥BC且被AB所截，∠2和∠4是同位角”，把“大前提”以備注形式寫在“結論”的后面，于是才有了課本上的簡潔的表述，你看懂了嗎？

2.第二段推出結論：∠3=∠5

師：第二段推理得出的結論是“∠3=∠5”，請同學們自己寫出亞里士多德式的“三段論”推理格式，并簡化。

3.第三段推出結論：∠1+∠4+∠5=180°

（大前提：所有的平角都是180°;小前提：∠1，∠4，∠5組成的“和角”是平角;結論：∠1+∠4+∠5=180°）

師：第三段推理的簡潔表達如圖所示，∵∠1，∠4，∠5組成平角。∴∠1+∠4+∠5=180°（平角的定義）。

4.第四段推出結論：∠1+∠2+∠3=180°

[大前提：所有的等式，它里面的數（量）用相等的數（量）來代替，它仍為等式（等量代換）;小前提：∠1+∠4+∠5=180°，∠2=∠4，∠3=∠5;結論：∠1+∠2+∠3=180°]

師：第四段推理得出的結論是∠1+∠2+∠3=180°，簡潔表達為∠1+∠2+∠3=180°（等量代換）。

師：把這四個邏輯推理片段整合寫在一起就是課本上的證明過程，同學們讀懂了嗎？下面同學們自己寫出用另一種添輔助線的方法證明這一結論的過程。

師：證明思路明確以后，證明是否正確，就看每一個邏輯推理過程是否為“有效推理”（或演繹推理）。請同學們采取“逐段分析推理過程”的方法，看看你的證明是否正確。

（三）學會書寫證明并自我分段診斷

[教師再次出示問題四并將其作為練習，“四邊形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE，DF分別是∠ABC，∠ADC的平分線。求證：（1）∠1+∠2=90°;（2）BE∥DF”，學生自主解答、教師巡堂，隨后教師進行講解]

師：我們來看看這名同學證明第（1）問的過程（展示圖7）。他的證明過程中沒寫理由，我們仍用逐段分析推理的方法幫他分析診斷一下。

師：上面的第①②句作為一個邏輯推理段，怎樣表達？

生1：大前提——角平分線將角平分為兩個相等的角（角平分線的定義），小前提——BE，DF分別是∠ABC，∠ADC的平分線（已知），結論——∠1=∠3=[12]∠ABC，∠2=∠4=[12]∠ADC。

生2：簡潔表達是，∵BE，DF分別是∠ABC，∠ADC的平分線（已知），∴∠1=∠3=[12]∠ABC，∠2=∠4=[12]∠ADC（角平分線的定義）

生3：第④句作為一個邏輯推理段的結論，明顯使用了四邊形內角和公式。大前提——所有四邊形內角和為360°（公式），小前提——圖形ABCD是四邊形（已知），結論——∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°，簡潔表達是，在四邊形ABCD中，∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°（四邊形內角和公式）。

師：同學們說得非常好！完整的證明過程應該是這樣的（出示圖8）。

（四）課后小結

教師在課堂的最后帶領學生進行課堂小結，總結處理幾何證明題目的關鍵步驟如下。

（1）分析“已知”和“求證”，兩邊推進，尋找思路;

（2）羅列證明中關鍵的邏輯節點，思考以哪些已有的事實 （包括定義、公理、定理等）和確定的規則（包括運算的定義、法則、順序等）為前提，用什么樣的演繹推理規則;

（3）復查推理過程：前提是否真確，是否合乎演繹的邏輯規則，書寫時做到理由充分、簡潔表達。

研究者事后對學生進行了訪談，結果表明：新的教學設計對提高學生的分析證明、自我診斷證明過程、快速地從別人的證明中識別出無效推理、分段組合及有序書寫證明過程的能力有明顯的幫助。

作者簡介：

劉國鋒（1981— ），男，漢族，廣西博白人，中學一級教師，2006年至今在廣西師范大學附屬中學寶賢中學擔任班主任和數學教學工作，教學成績突出，研究方向：中學數學教育。

蔣曉云（1963— ），男，漢族，廣西全州人，桂林師范高等專科學校教授，理學學士，研究方向：數學教育和基礎教育。

楊起群（1970— ），女，漢族，湖南雙峰人，桂林師范高等專科學校教授，理學學士，研究方向：數學教育和教育管理。

鄺佰燕（1997— ），女，漢族，廣西欽州人，廣西師范大學漓江學院數學與應用數學專業學生。