葉片軸截面曲線擬合方法

郭子健

摘 ?要：渦輪葉片作為飛機(jī)發(fā)動(dòng)機(jī)的關(guān)鍵零部件，渦輪葉片和發(fā)動(dòng)機(jī)高溫區(qū)的零部件壽命往往是制約現(xiàn)代高性能航空器壽命周轉(zhuǎn)的決定性因素。航空發(fā)動(dòng)機(jī)零部件修復(fù)可謂是高投入、高附加值、高層次政策下的高技術(shù)產(chǎn)業(yè)，是一項(xiàng)軍民通用技術(shù)。其巨大的經(jīng)濟(jì)利益吸引了許多國家和地區(qū)紛紛涉足此領(lǐng)域。逆向工程是一種高效率、低成本的新型設(shè)計(jì)方式。該文基于逆向工程技術(shù)，通過對(duì)點(diǎn)云數(shù)據(jù)進(jìn)行測(cè)量，并對(duì)點(diǎn)云數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，進(jìn)而將曲面重構(gòu)等技術(shù)對(duì)渦輪葉片的軸截面特性進(jìn)行分析以及葉型進(jìn)行擬合，為飛機(jī)發(fā)動(dòng)機(jī)葉片的逆向重構(gòu)提供了前提。這為航空發(fā)動(dòng)機(jī)渦輪葉片損耗的有效降低和高效維修奠定了基礎(chǔ)，具有一定的理論價(jià)值和實(shí)際意義。

關(guān)鍵詞：葉片軸截面特性 ?葉片修復(fù) ?逆

中圖分類號(hào)：TP391 ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2019）12（b）-0001-05

1 ?緒論

1.1 葉片修復(fù)的發(fā)展現(xiàn)狀和經(jīng)濟(jì)意義以及該課題的意義和目的

1.1.1 航空發(fā)動(dòng)機(jī)葉片修復(fù)的發(fā)展現(xiàn)狀和經(jīng)濟(jì)意義

航空發(fā)動(dòng)機(jī)葉片，特別是渦輪葉片的工作環(huán)境非常惡劣，要承受高溫、高壓燃?xì)獾膰?yán)重腐蝕，還要承受發(fā)動(dòng)機(jī)高速轉(zhuǎn)動(dòng)所帶來的葉片自身的離心力、氣動(dòng)力、熱應(yīng)力以及振動(dòng)負(fù)荷;當(dāng)發(fā)動(dòng)機(jī)工況不斷變化時(shí)，葉片還要經(jīng)受冷熱疲勞。因此，渦輪葉片是發(fā)動(dòng)機(jī)各部件中受力和受熱最為嚴(yán)重的零件之一，也經(jīng)常出現(xiàn)一些失效的現(xiàn)象。失效原因一般包括斷裂、疲勞裂紋、伸長或縮短量超標(biāo)、外物打傷程度超過了修理允許量、葉冠變形、使用過熱或超溫、腐蝕、涂層破壞等。由于渦輪葉片是航空發(fā)動(dòng)機(jī)內(nèi)主要的損傷葉片，也是價(jià)格最為昂貴的部件。而且通過國內(nèi)各大航空公司（中國國際航空公司、中國南方航空公司等）以及發(fā)動(dòng)機(jī)維修廠（AMECO飛機(jī)維修公司、廈門太古飛機(jī)維修公司等）的調(diào)研而知，國內(nèi)對(duì)渦輪葉片的維修技術(shù)都只停留在非常低級(jí)的水平，甚至有些連渦輪葉片的清洗工作都沒有授權(quán)或者做不了。

最先于20世紀(jì)70年代中期，美國惠普公司就開始研究發(fā)動(dòng)機(jī)渦輪葉片的修理技術(shù)，并取得了顯著的成效，推向了市場。之后，英國、法國等歐洲國家也共同制定了COST50計(jì)劃，進(jìn)行了大量的基礎(chǔ)性研究，并對(duì)羅羅公司生產(chǎn)的RB211發(fā)動(dòng)機(jī)和其他渦輪部件的修復(fù)技術(shù)進(jìn)行研究。這些年來，隨著材料科學(xué)的研究、質(zhì)控技術(shù)以及零件生產(chǎn)制造工藝的迅速發(fā)展，發(fā)動(dòng)機(jī)渦輪部件維修也得到了很大的發(fā)展。雖然渦輪葉片的修復(fù)價(jià)格高昂，但是她可以顯著提高葉片的使用壽命，從而使葉片的每小時(shí)使用費(fèi)顯著降低。比如，預(yù)防性維修可以在渦輪葉片服役3500h之后進(jìn)行，則維修費(fèi)用為葉片成本的5%，葉片的維修后還可以服役3500h，則分?jǐn)偟饺~片每個(gè)工作小時(shí)的成本僅為新葉片價(jià)格的0.015%;如果對(duì)服役3500h后的葉片進(jìn)行大修，并對(duì)其進(jìn)行熱等靜壓處理，此修理成本為新葉片價(jià)格的20%。一般認(rèn)為若葉片修復(fù)的成本小于新葉片價(jià)格的70%則修復(fù)工作是經(jīng)濟(jì)可行的[1]。

1.1.2 該課題的意義和目的

該課題基于逆向工程技術(shù)，通過對(duì)點(diǎn)云數(shù)據(jù)進(jìn)行測(cè)量，并對(duì)點(diǎn)云數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)處理，進(jìn)而將曲面重構(gòu)等技術(shù)對(duì)渦輪葉片的軸截面特性進(jìn)行分析以及葉型進(jìn)行擬合，以實(shí)現(xiàn)飛機(jī)發(fā)動(dòng)機(jī)葉片的逆向重構(gòu)，為飛機(jī)發(fā)動(dòng)機(jī)葉片的高效修復(fù)奠定了基礎(chǔ)，具有一定的經(jīng)濟(jì)意義和實(shí)際價(jià)值。

1.2 論文主要研究的內(nèi)容

該文所需討論研究的內(nèi)容主要是對(duì)葉片軸截面的曲線進(jìn)行擬合和分析。

在葉片設(shè)計(jì)時(shí)，雖然有很多可以解決強(qiáng)度、剛度和振動(dòng)問題的先進(jìn)設(shè)計(jì)方法，但是葉片的燒蝕和損傷在發(fā)動(dòng)機(jī)中仍然很常見，為了解決葉片損壞的故障就必須在計(jì)算它的動(dòng)態(tài)靜態(tài)應(yīng)力和應(yīng)變場分布振動(dòng)特性的同時(shí)深入了解葉片的動(dòng)態(tài)靜態(tài)特性。為了計(jì)算葉片的力學(xué)性能，首先必須了解葉片幾何特性，而葉片的幾何特性指的是與葉片形狀和尺寸有關(guān)的數(shù)據(jù)，如葉片的截面面積、質(zhì)心坐標(biāo)、葉片的最大厚度、葉片的弦長等，而曲線的擬合是計(jì)算以上參數(shù)的必備前提。

2 ?葉片點(diǎn)云的輸入與處理

點(diǎn)云模型的獲取是一切研究的開端，也是逆向工程的開端。該章主要會(huì)詳細(xì)介紹點(diǎn)云從獲取、初步處理、數(shù)據(jù)擬合等方面的具體過程，以及相關(guān)的概念，為接下來的軸截面幾何特性奠定基礎(chǔ)。

2.1 點(diǎn)云的輸入

先提取出葉片坐標(biāo)點(diǎn)數(shù)據(jù)，對(duì)于復(fù)雜曲面數(shù)據(jù)的獲取方法初步計(jì)劃為才用數(shù)字化測(cè)量，可分為兩大類：接觸式測(cè)量和非接觸式測(cè)量[5]。

其主要原理和特點(diǎn)如下。

2.1.1 觸發(fā)式數(shù)據(jù)測(cè)量的原理

當(dāng)采樣探頭首先接觸到樣品表面時(shí)，探頭尖端因?yàn)楫a(chǎn)生力發(fā)生細(xì)微形變，從而使采樣開關(guān)被觸發(fā)，這也就可以讓探頭記錄下當(dāng)前的坐標(biāo)，并通過每一個(gè)點(diǎn)逐次采樣移動(dòng)來采集樣品表面的坐標(biāo)數(shù)據(jù)。這個(gè)方式具有非常高的精確度，但是效率低下，用來測(cè)算軟性材料通常具有巨大誤差，并且不宜測(cè)量凹型曲面，該方法常用于測(cè)量回轉(zhuǎn)體的表面數(shù)據(jù)。

2.1.2 連續(xù)式數(shù)據(jù)測(cè)量的原理

使用模擬開關(guān)探頭來進(jìn)行連續(xù)數(shù)據(jù)的測(cè)量，其實(shí)是利用懸掛在三維彈簧系統(tǒng)中的探針位置偏移所產(chǎn)生的電感或者電容的變化，與此同時(shí)對(duì)機(jī)電模擬量進(jìn)行轉(zhuǎn)換。當(dāng)探針以切向速度沿樣品表面移動(dòng)時(shí)，它就會(huì)發(fā)出與坐標(biāo)位置相關(guān)偏移量相對(duì)應(yīng)的電流信號(hào)或者電壓信號(hào)。由于采集過程是連續(xù)的，所以這個(gè)方法的速度比點(diǎn)出探針要快很多，所以會(huì)有比較高的采樣精度，可以用來進(jìn)行大量的數(shù)據(jù)采集工作。另外，因?yàn)榻佑|壓力很小，小直徑探頭可以掃描模型的細(xì)小零件或者軟材料模型。

該文所研究的點(diǎn)云大概提取到了137萬個(gè)點(diǎn)，之后便可以對(duì)收集到的葉片點(diǎn)云利用Solidwork或者Imageware進(jìn)行初步的還原并且可初步觀察一下葉片的形狀和與坐標(biāo)軸的位置關(guān)系。

2.2 點(diǎn)云的降噪（誤差點(diǎn)的處理）

點(diǎn)云取樣時(shí)產(chǎn)生的誤差點(diǎn)（即指噪點(diǎn)，以下稱作誤差點(diǎn)）關(guān)系到葉片截面幾何特性計(jì)算的精度，也直接影響在截面幾何特性修復(fù)過程之后的維修工作，決定了修復(fù)之后的飛機(jī)發(fā)動(dòng)機(jī)葉片的空氣動(dòng)力學(xué)性能。該章將對(duì)獲取點(diǎn)云時(shí)產(chǎn)生的誤差以及誤差對(duì)截面幾何特性計(jì)算時(shí)的影響進(jìn)行分析。

2.2.1 誤差點(diǎn)產(chǎn)生的主要形式

（1）采集數(shù)據(jù)發(fā)生缺失或者數(shù)據(jù)的密度不符合要求。利用這種不完整的數(shù)據(jù)來進(jìn)行擬合會(huì)出現(xiàn)較大的誤差，很難達(dá)到所需測(cè)量精度的要求。

（2）當(dāng)被測(cè)物體是大工件或透明件時(shí)，通常會(huì)發(fā)生同一個(gè)表面采集的數(shù)據(jù)結(jié)果得到的是多層復(fù)合點(diǎn)云。

（3）單次的數(shù)據(jù)采集不準(zhǔn)確而對(duì)整體的測(cè)量精度產(chǎn)生影響。

（4）由于誤差的過量積累而導(dǎo)致錯(cuò)誤的測(cè)量結(jié)果。

（5）點(diǎn)云在幾何分析上的錯(cuò)誤拼接而導(dǎo)致測(cè)量誤差出現(xiàn)。

（6）測(cè)量數(shù)據(jù)中的噪點(diǎn)過多。

2.2.2 誤差點(diǎn)對(duì)葉片截面幾何特性分析的影響

誤差點(diǎn)會(huì)導(dǎo)致截面曲線擬合上的出錯(cuò)，以至于無法完成平滑曲線的擬合。在面積的插值算法上也會(huì)導(dǎo)致輸出面積結(jié)果錯(cuò)誤。此外，在定量分析中，其分析結(jié)果一般不是直接通過一步測(cè)算就可以得到的，而是在經(jīng)過多次的測(cè)量后通過計(jì)算得到的。每次的測(cè)量都存在一定的誤差，這些誤差均會(huì)帶入分析結(jié)果中并產(chǎn)生影響，這些誤差是由傳遞性的，這將導(dǎo)致點(diǎn)云失真而導(dǎo)致所有計(jì)算的幾何參數(shù)失去可信度。所以，在點(diǎn)云處理之前需要進(jìn)行消除誤差點(diǎn)的預(yù)處理。

2.2.3 誤差點(diǎn)的識(shí)別和去除

在所獲取的點(diǎn)云中存在的“跳點(diǎn)“以及”壞點(diǎn)“對(duì)點(diǎn)云數(shù)據(jù)使用MATLAB進(jìn)行葉片軸截面幾何特性運(yùn)算的結(jié)果影響相當(dāng)大。如果不把這些誤差點(diǎn)去除將會(huì)使計(jì)算結(jié)果還有誤差分析的結(jié)果的可信度大打折扣。一般的，誤差點(diǎn)的判斷方法有以下幾個(gè)。

（1）直接觀察法。通過圖形終端將偏離點(diǎn)云圖像較大的點(diǎn)或者明顯的孤立點(diǎn)直接去除。此方法比較適合作點(diǎn)云數(shù)據(jù)的初步檢查，可以從點(diǎn)云點(diǎn)集中直接篩選出一些有著明顯誤差的異常點(diǎn)。

（2）利用曲線擬合檢查的方法。通過提取出分析的截面點(diǎn)云的起點(diǎn)和終點(diǎn)而得到的曲線采用最小二乘法來進(jìn)行擬合，曲線擬合所需的階次可根據(jù)飛機(jī)發(fā)動(dòng)機(jī)葉片的具體形狀來選取（一般情況選取3～4階）然后分別計(jì)算中間數(shù)據(jù)點(diǎn)到擬合曲線的歐氏距離，若點(diǎn)P的∣e∣≥[ε]，其中[ε]為給定的允差，則認(rèn)定點(diǎn)P是壞點(diǎn)，應(yīng)給去除。

（3）弦高差法。連接要檢查的前后兩個(gè)點(diǎn)，計(jì)算P到弦的距離，若點(diǎn)P的∣e∣≥[ε]，其中[ε]為給定的允差，則認(rèn)為P是壞點(diǎn)，應(yīng)該去除。這種方法適合用于點(diǎn)云均衡分布但是分布比較密集的情況，特別是在點(diǎn)云曲率明顯較大的情況。

2.3 點(diǎn)云的初步處理

在點(diǎn)云數(shù)據(jù)獲取之后，將點(diǎn)云數(shù)據(jù)導(dǎo)入Imageware可初步觀察到點(diǎn)云姿態(tài)。之后在Imageware中利用斜線的梯度化現(xiàn)象以地面為基準(zhǔn)擺正工件的榫頭（即擺正葉片點(diǎn)云）。擺正時(shí)要從正視圖、左視圖、右視圖分別調(diào)整，最終得出一個(gè)擺放工整的工件點(diǎn)云。

由于后續(xù)工作都要在正位點(diǎn)云的狀態(tài)下進(jìn)行的，所以正位之后的點(diǎn)云的坐標(biāo)尤其重要。在微調(diào)擺正之后利用Imageware導(dǎo)出正位點(diǎn)云坐標(biāo)，并另存為Blade.txt格式文本文檔等待后續(xù)處理。

在Imageware環(huán)境下觀察葉片點(diǎn)云的具體形狀，并確定整個(gè)葉片點(diǎn)云中的葉片部分還有底座榫頭部分。通過Imageware對(duì)點(diǎn)云邊界點(diǎn)的分析功能可知，該葉片樣品在Z軸坐標(biāo)15.00以上的部分為葉片部分，其以下的部分為榫頭部分。我們主要的研究任務(wù)是以葉片的軸截面的幾何特性作為研究對(duì)象，所以我們以Z軸坐標(biāo)15.00及其以上部分作為主要的研究對(duì)象來進(jìn)行分組以及處理。

之后我們利用SPSS數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)軟件的篩選數(shù)據(jù)的功能對(duì)點(diǎn)云數(shù)據(jù)進(jìn)行篩選。SPSS有著強(qiáng)大的數(shù)據(jù)管理功能，其中包括數(shù)據(jù)的排序、篩選和轉(zhuǎn)置等，其中篩選功能非常強(qiáng)大，可以根據(jù)用戶的需要進(jìn)行自定義篩選，也可以根據(jù)各類函數(shù)、條件進(jìn)行數(shù)據(jù)篩選并且進(jìn)行刪除，轉(zhuǎn)存等工序，而且還可以自動(dòng)輸出數(shù)據(jù)處理日志以便進(jìn)行數(shù)據(jù)操作分析。

2.4 葉片軸截面曲線的擬合

2.4.1 數(shù)據(jù)點(diǎn)的分組

將之前用SPSS提取出來的一個(gè)點(diǎn)云薄片除去Z軸坐標(biāo)之后近似看作一個(gè)平面上的點(diǎn)，這樣就可以對(duì)該提取點(diǎn)云進(jìn)行擬合處理。實(shí)際上，葉片的截面曲線是由兩條型線組成的，分別是上型線和下型線，這個(gè)曲線結(jié)果通常是由流場分析得出的。

因此，在進(jìn)行曲線擬合之前必須要把之前得到的數(shù)據(jù)對(duì)分成兩組，也就是一組上型線點(diǎn)和一組下型線點(diǎn)。具體的實(shí)施方式如下所述。

（1）利用SPSS篩選出所截取的數(shù)據(jù)點(diǎn)中，X坐標(biāo)的兩個(gè)極點(diǎn)，即最大和最小的兩個(gè)點(diǎn)，此兩點(diǎn)分別記為Dmax和Dmin。

（2）再利用點(diǎn)到距離的算法篩選出到Dmax和Dmin的連線的距離最遠(yuǎn)的點(diǎn)Dfar。

（3）根據(jù)坐標(biāo)分別推算出Dmax和Dfar的連線的直線方程以及Dmin和Dfar的連線的直線方程。

（4）對(duì)（1）所篩選出來的點(diǎn)云的其余點(diǎn)與（3）中所聯(lián)立出的兩條直線方程分別進(jìn)行比較，這兩條線上方的點(diǎn)屬于葉片剖面輪廓線的上輪廓即上型線，而此兩線下方的點(diǎn)屬于葉片剖面輪廓線的下輪廓即下型線。Dfar是位于截面輪廓上型線的點(diǎn)，Dmax和Dmin既是上型線的點(diǎn)又是下型線的點(diǎn)，它們是葉片截面上型線和下型線的分界點(diǎn)。

如此便可將提取出來的數(shù)據(jù)點(diǎn)分為兩組，以便接下來對(duì)整個(gè)葉片截面曲線進(jìn)行擬合研究。

2.4.2 葉片截面曲線的擬合

對(duì)于飛機(jī)發(fā)動(dòng)機(jī)葉片截面曲線擬合一般才用的方法有兩種，分別如下。

（1）最小二乘多項(xiàng)式法。

當(dāng)在研究兩個(gè)自變量（x，y）之間的關(guān)系時(shí)，我們通常能夠得到一系列數(shù)據(jù)對(duì)（x1，y1，x2，y2...xn，yn）;在把上述數(shù)據(jù)對(duì)在X-Y直角坐標(biāo)系里繪制時(shí)，如果這些數(shù)據(jù)點(diǎn)在一條直線附近時(shí)，就可以得出線性方程式，如式（1）。

（1）

其中：a0、a1是任意實(shí)數(shù)。

為了建立這個(gè)線性方程，我們必須確定a0和a1，那么我們就可以應(yīng)用“最小二乘法原理”，把實(shí)測(cè)值Yi和使用方程式（1）的計(jì)算值Yj=a0+a1X的離差（Yi-Yj）的平方和小作為“優(yōu)化準(zhǔn)則”。

令：φ= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（2）

把方程式（1）代入方程式（2）中得：

φ= ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（3）

在的值為最小值時(shí)，可以用上述函數(shù)式（1-003）計(jì)算其對(duì)a0、a1的偏導(dǎo)數(shù)，使這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)的數(shù)值為0。

（4）

（5）

亦即： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?（6）

（7）

如此我們就得到了兩個(gè)關(guān)于a0、a1兩個(gè)方程組，通過對(duì)這兩個(gè)方程組求解，我們可以得到以下結(jié)果：

（8）

（9）

此時(shí)，將a0、a1代進(jìn)式（1）式子里去，那么式（1）便為回歸的元線性方程，也就是數(shù)學(xué)模型。

在回歸過程中，其回歸本身的相關(guān)性也不會(huì)精準(zhǔn)地通過每個(gè)回歸數(shù)據(jù)點(diǎn)（x1，y1，x2，y2...，xm，ym），為了確定其關(guān)聯(lián)性的質(zhì)量，可以用相關(guān)系數(shù)“R”、統(tǒng)計(jì)量“F”以及剩余的標(biāo)準(zhǔn)差“S”進(jìn)行判斷;“R”的值越接近1越佳;“F”的絕對(duì)值越大越適合;“S”越逼近0越相關(guān)。

（10）

在方程式（1）中，m是樣本本身的體量即容量的大小，也就是實(shí)驗(yàn)進(jìn)行的次數(shù)，而Xi、Yi是任意一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的X、Y的值[6]。

（2）正交多項(xiàng)式配合回歸曲線法。

設(shè)存在一組觀察值（xt，yt）t=1，2，…，n，那么如果該觀察值存在非線性關(guān)系，那么其多項(xiàng)式回歸方程為：

（11）

為了讓離回歸平方和，也就是SSQ=∑（y-）2最小，可以從最小二乘法原理推導(dǎo)出下面的正規(guī)方程組：

（12）

解上述方程組可得：b0，b1，b2，…，bp。

若令x1=x，x2=x2，…，xp=xp，或φ1（x）=x，φ2（x）=x2，…，φp（x）=xp，則（11）可改寫成 ：

（13）

（14）

如此，將xi或Φi（x）視為一個(gè)新變量，（13）或（14）方程式就為一個(gè)元數(shù)為p的多元線性回歸方程，每一個(gè)偏回歸系數(shù)di仍然可以根據(jù)下列正規(guī)方程組求得相應(yīng)的解。

（15）

其中，（i，j=1，2，…，p）。

或

同樣，對(duì)于多元多項(xiàng)式回歸，也可以化為多元線性回歸來分析，例如，對(duì)于多變量的任意多項(xiàng)式回歸方程：

（16）

只要令x1=z1，x2=z2，x3=z12，x4=z1z2，x5=z22…可化為多元線性回歸方程：

（17）

其偏回歸系數(shù)的計(jì)算，回歸方程的顯著性檢驗(yàn)，各偏回歸平方和的計(jì)算及顯著性檢驗(yàn)，都與多元線性回歸分析相似。

一般來講對(duì)于飛機(jī)發(fā)動(dòng)機(jī)葉片截面的擬合，一般才用的是最小二乘多項(xiàng)式法擬合，也有才用正交多項(xiàng)式配合回歸發(fā)動(dòng)機(jī)性能曲線擬合以減少計(jì)算工作量。因?yàn)橛?jì)算和測(cè)量所存在的誤差是不可避免的，我們獲得的數(shù)據(jù)也不可能準(zhǔn)確地反映真實(shí)的結(jié)果。因此，用上述方法擬合實(shí)驗(yàn)結(jié)果曲線或者是流場計(jì)算結(jié)果是合理的。所以最小二乘法是相對(duì)較好的處理選擇，最小二乘法準(zhǔn)則可以使測(cè)量值與其擬合值之差的加權(quán)平方和最小，如此可以盡量消除誤差的影響。擬合的曲線是一條盡可能平滑地連接每個(gè)測(cè)量點(diǎn)的曲線。假定擬合曲線必需準(zhǔn)確經(jīng)過型值點(diǎn)，則最小二乘多項(xiàng)式是有點(diǎn)艱難的。因?yàn)橹挥挟?dāng)擬合的階數(shù)很高時(shí)，我們所擬合出的曲線才能穿過全部的類型值點(diǎn)，但該擬合曲線在相鄰的類型值點(diǎn)之間會(huì)劇烈波動(dòng)，所以由此得到的擬合曲線也不合理。因此，在需要精確傳遞類型值點(diǎn)的曲線擬合中，最常用的是三次樣條函數(shù)。三次樣條函數(shù)是一種分段代數(shù)多項(xiàng)式，它簡單易擬合，擬合能力強(qiáng)。它可以通過平面上任意數(shù)量的類型點(diǎn)，保證曲線的第一導(dǎo)數(shù)和第二導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性。所以對(duì)于某些曲線，擬合三次插值的效果可能優(yōu)于三次樣條插值 。

在曲線擬合中，MATLAB給出了多種擬合措施，以便于積分計(jì)算，同時(shí)并考慮了曲線擬合的精度，所以我們使用傅里葉級(jí)數(shù)極限逼近曲線擬合。葉片截面點(diǎn)云分布非常復(fù)雜，所以我們利用傅立葉級(jí)數(shù)逼近式：

f（t）=a0+（b1sinωt+a1cosωt）+（b2sin2ωt+a2cos2ωt）+…+（bksinkωt+akcoskωt） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （18）

作為葉片截面曲線擬合的依據(jù)。多次試驗(yàn)并且取誤差最小的擬合方程，最后選擇了有限項(xiàng)傅里葉級(jí)數(shù)作為擬合的方法，并且根據(jù)這種擬合方法編寫了MATLAB程序，利用cftool工具箱對(duì)截面輪廓的上型線進(jìn)行了擬合（如圖2-11）。

由于下型線近似為一條直線，所以我們用兩條直線來進(jìn)行擬合，上下型線共同構(gòu)成封閉的截面曲線。

采用上述的方法，我們就可以對(duì)之前分組的葉片截面曲線進(jìn)行擬合（如圖2-12）。

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