靜水中懸臂同軸圓柱殼的流固耦合振動分析

張德春，魯 麗，李 鵬，楊翊仁

(西南交通大學 力學與工程學院，四川 成都 610031)

0 引 言

目前，同軸圓柱殼在反應堆結構中得到廣泛的應用，而其在水中的振動頻率是結構設計中重要的指標，科研人員對此做了大量研究[1-9].例如，Krajcinov-

ic[5]計算了無限長同軸圓柱殼在水中的振動頻率，并分析了間隙對頻率的影響；駱東平[6]研究了任意邊界圓柱殼振動問題，得到了圓柱殼頻率和振型的精確表達式；Naumann[7]假設圓柱殼徑向振型為梁振型，計算并討論了無加筋和加筋圓柱殼的振動頻率；Kwak[8]對部分浸在無限大域和環形域流體中的懸臂圓柱殼頻率進行了分析.綜合分析可知，目前解決圓柱殼振動的思路有兩種：其一是從殼體的運動方程出發，通過時頻域變換或模態展開及伽遼金離散來求解殼體的振動頻率，該方法比較直觀，但計算過程比較復雜；其二是先計算結構的能量，再通過變分的方法對殼體的振動進行分析，該方法計算過程簡單，但在考慮流體黏性作用時該方法不易列出能量方程，故只適用于無黏流體.在些基礎上，本研究考慮內外殼的相互作用，通過能量方法對浸入在理想流體中的懸臂同軸圓柱殼的振動頻率進行了分析和討論.

1 力學模型及計算方法

作為研究對象的同軸圓柱殼結構如圖1所示，其結構一端固定一端自由，且完全浸沒在靜止流體中.其內殼的密度、彈性模量、泊松比、厚度、中面半徑分別為ρ1、E1、ν1、h1；外殼的彈性模量、泊松比、厚度、中面半徑分別為ρ2、E2、ν2、h2；內外殼的長度均為L.流體考慮為無黏不可壓縮的理想流體，其密度為ρF.

圖1液體中同軸圓柱殼示意圖

對圓柱殼體，假設其徑向、周向、軸向的位移分別為u，v，w，則圓柱殼體的動能和勢能分別為，

(1)

(2)

對于所研究的殼體，若h?R，則認為該殼體為薄殼.對于薄殼，可忽略殼體的橫向剪切變形、橫向擠壓變形和橫向擠壓應力，由此可推導出Flügge殼體本構關系[10].

基于該本構關系方程可得出殼體勢能為，

(3)

應用文獻[4]的模態展開法，進一步假設，

(4)

式中，Xm(x)為第m階梁振型.對于懸臂梁，有，

Xm(x)=(cos(βmx)-ch(βmx))+

(5)

式中，βm為cos(βl)ch(βl)=-1的第m個解.

將式(4)分別代入到式(2)和式(3)中可得，

(6)

式中，x1=[ABC]T，

參數E、F、G、H為與振型有關的常值，分別為，

對于外殼，同樣假設其振型為，

(7)

代入到式(2)和式(3)中得到，

(8)

需要注意的是，由于結構的對稱性，n=n′，且Φ只能取0和π，其分別意味著同相和反相.

2 流體附加質量

對于本研究考慮的理想流體，設其勢函數為，φ=y(x)f(r)cos(nθ)eiωt，其滿足拉普拉斯方程，

(9)

變換上式，得，

(10)

同時，考慮端部的邊界條件，

(11)

(12)

式中，c(t)由內外殼體的端部運動條件確定，設，

(13)

經推導，方程(10)的解為，

(14)

殼體上的邊界條件是，

(15)

由式(4)、(15)，可得到，

y(x)=Xm(x)

(16)

對于區域II的流體，其勢函數只與內殼運動有關.根據式(16)可得到，

(17)

對于區域I的流體，其勢函數可寫為，

φI=φIi+φIe

(18)

式中，φIi表示內殼振動外殼不動引起的流體勢，φIe表示外殼振動內殼不動引起的流體勢，由式(16)，其二者分別為，

(19)

(20)

獲取流體速度勢后，計算得到流體動能為，

(21)

其α、β、γ由數值計算得到.

由式(6)、式(8)和式(21)，計算得到系統動能和勢能分別為，

式中，

對能量取變分，有δ(T-V)=0，即，

(22)

為使式(22)有非零解，必然有，

(23)

根據式(23)可求出耦合結構的頻率.

3 間隙對頻率的影響

由式(23)可以看出，結構頻率受外殼密度、彈性模量、厚度、半徑和長度以及流體的密度和間隙影響.本研究重點關注間隙對頻率的影響，暫不考慮其他因素的影響.

1)考慮內外殼材料相同的情況，ρ=7 850 kg/m3，E=2e11 Pa,h1=h2=0.01 m,R1=1 m,R2=1.2 m,L=5 m.流體為水，ρF=1 000 kg/m3.

此情況下，計算的前五階振動頻率與ANSYS的計算結果的對比如表1所示.圖2給出了第一階模態計算結果.

圖2一階模態圖

從圖2可以看出，對于第一階模態，內外殼環向的峰值均有2個，即n=2，而軸向無拐點，即m=1.另外，從圖2還可以看出，內外殼的最大值位置并不相同，此意味著反相.依據此思路對前五階模態進行分析即得到表1.

表1 頻率對比表

由表1可知，本方法得到的解與數值解吻合較好，表明了本方法的準確性.

2)為分析間隙對頻率的影響，視間隙值為連續變量，計算其較低階頻率隨間隙變化情況如圖3所示.

圖3振動頻率隨間隙變化圖

由圖3可以看出，懸臂同軸圓柱殼結構的振動頻率隨著間隙的減小而減小，而且減小得越來越劇烈.當間隙接近0時，結構的頻率也趨于0，這是因為對于理想流體，當間隙為0時附加質量無窮大[13]的緣故.事實上，當間隙很小時，理想流體的假設不再成立.

4 結 論

本研究提出了一種基于能量法求解懸臂同軸圓柱殼結構頻率的普適方法，并分析了間隙對水中同軸圓柱殼結構頻率的影響.本方法也可以用于計算內外殼支撐形式不同的情況，當內外殼長度不同時，選取適當的勢函數，可以計算出結構的頻率.