基于整體最小二乘的空間直線(xiàn)擬合算法

崔立魯，楊 蓉，錢(qián)江宇，張惠妹，陳科潔

(1.成都大學(xué) 建筑與土木工程學(xué)院，四川 成都 610106； 2.武漢大學(xué) 測(cè)繪學(xué)院，湖北 武漢 430079)

0 引 言

關(guān)于利用測(cè)量數(shù)據(jù)如何對(duì)物體進(jìn)行擬合的研究已成為工業(yè)測(cè)量系統(tǒng)發(fā)展的難題，其中常遇到的就是三維空間直線(xiàn)擬合問(wèn)題[1].通常二維平面直線(xiàn)擬合可以直接利用最小二乘方法(Least squares,LS)和整體最小二乘方法(Total least squares,TLS)進(jìn)行參數(shù)計(jì)算，但對(duì)于三維空間直線(xiàn)擬合由于其方程并不是一個(gè)簡(jiǎn)單的線(xiàn)性關(guān)系，因此無(wú)法直接采用LS方法和TLS方法[2]，而需要對(duì)該方程進(jìn)行一定的轉(zhuǎn)換.目前，常用的空間直線(xiàn)擬合方法有LS方法、牛頓—梯度最優(yōu)化算法、無(wú)迭代算法、特征分解和選權(quán)迭代算法和結(jié)構(gòu)總體最小二乘擬合等[3-7].本研究通過(guò)一定方式將空間直線(xiàn)方程轉(zhuǎn)變?yōu)門(mén)LS方法中的系數(shù)矩陣含有誤差(Error-in variable,EIV)模型，從而可以直接利用TLS方法進(jìn)行參數(shù)擬合，且在計(jì)算過(guò)程中充分考慮了X、Y和Z坐標(biāo)分量的測(cè)量誤差，最后利用工程測(cè)量中的大型構(gòu)件的實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)對(duì)上述方法進(jìn)行參數(shù)擬合處理，并與其他幾種方法的結(jié)果進(jìn)行了比較.

1 擬合算法

1.1 模型轉(zhuǎn)換

假設(shè)空間上的一條直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P0(x0,y0,z0)，其方向向量為(D，E，F(xiàn)),則其空間直線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程為，

(1)

可改寫(xiě)為，

(2)

式中，k=A/C，g=x0-A/Cz0，h=B/C，e=y0-B/Cz0.

將式(2)寫(xiě)成矩陣形式，即，

(3)

(4)

即為間接平差模型的形式.

1.2 LS方法

對(duì)式(2)的方程組進(jìn)行改寫(xiě)，其改正值如下，

(5)

當(dāng)Vx和Vy取最小時(shí)，k、g、h與e即為方程的系數(shù).因此，對(duì)式(5)中2個(gè)方程式分別求偏導(dǎo)數(shù)，其值等于0.經(jīng)整理可得，

(6)

(7)

X=[x1…xn]T，B=[he]T，

Y=[y1…y2]T，

則改寫(xiě)式(6)和式(7)成矩陣形式為，

(8)

對(duì)式(8)求解得到矩陣A、B的值，即為k、g、h與e的值.

1.3 TLS方法

1.3.1 基本思路.

TLS方法不僅考慮了觀(guān)測(cè)值的誤差，而且還顧及了系數(shù)矩陣的誤差，因此在理論上比LS方法更加嚴(yán)謹(jǐn)，其參數(shù)估值是最優(yōu)的.建立顧及系數(shù)矩陣和觀(guān)測(cè)值誤差的EIV模型，即，

(9)

目前，針對(duì)EIV模型的求解，主要有SVD法、QR法和迭代法[10-11].其中，SVD法是認(rèn)為系數(shù)矩陣B中的所有元素都是帶有誤差的，但是只有元素z才具有誤差，其他元素都是0或者1，因此從理論上來(lái)說(shuō)沒(méi)有考慮完整而不夠嚴(yán)密.而迭代法計(jì)算簡(jiǎn)單，又適用于編程計(jì)算，因此本研究采用迭代法來(lái)求解空間直線(xiàn)參數(shù)擬合中的EIV模型[12].

1.3.2 TLS的迭代法求解.

本研究提出的方法在式(6)的基礎(chǔ)上引入了平差準(zhǔn)則，

(10)

將式(6)代入上式并對(duì)系數(shù)矩陣B和參數(shù)向量X中的各個(gè)元素求導(dǎo)，得到迭代法的方程式為，

(11)

迭代法的計(jì)算流程如圖1所示.

2 擬合精度評(píng)定

衡量空間直線(xiàn)擬合精度的指標(biāo)主要是直線(xiàn)度和點(diǎn)到直線(xiàn)的距離和.直線(xiàn)度是指實(shí)際直線(xiàn)與理論直線(xiàn)之間的變動(dòng)量，即點(diǎn)到直線(xiàn)的距離最大差值，是最基本也是比較重要的評(píng)價(jià)指標(biāo).

圖1迭代法流程圖

(12)

(13)

式中，(x0,y0,z0)是所有空間直線(xiàn)擬合點(diǎn)(xi,yi,zi)的平均值；(α，β，γ)為空間直線(xiàn)的方向向量，即式(1)中的(D，E，F(xiàn)).

3 算例分析

為了驗(yàn)證本研究所提出的算法的正確性，采用工業(yè)測(cè)量中大型構(gòu)件的測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，共計(jì)10個(gè)點(diǎn)，實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)如表1所示[1].

表1 空間直線(xiàn)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)

根據(jù)TLS方法和LS方法的基本原理，分別利用此2種方法對(duì)上述實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，得到計(jì)算結(jié)果如表2所示.

表2 空間直線(xiàn)參數(shù)擬合結(jié)果

由表2可知，TLS方法和LS方法擬合得到的4個(gè)參數(shù)基本一致，其中第3個(gè)參數(shù)完全一樣.將上述結(jié)果代入式(2)可得到關(guān)于4個(gè)參數(shù)的方程組分別為，

(14)

(15)

由于空間直線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程式的表達(dá)不是惟一的，所以同一組數(shù)據(jù)得到的參數(shù)形式是多樣的.根據(jù)式(1)和式(2)得到相應(yīng)的空間直線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程式為，

(16)

(17)

表3 2種方法計(jì)算結(jié)果的Δi統(tǒng)計(jì)

表4 2種方法的直線(xiàn)度比較

表3將文獻(xiàn)[3]方法、TLS方法和LS方法計(jì)算結(jié)果中每個(gè)點(diǎn)的點(diǎn)到直線(xiàn)距離誤差進(jìn)行了比較.從表3可知，文獻(xiàn)[3]方法和本研究提出的TLS方法計(jì)算結(jié)果基本一致，這是因?yàn)楸狙芯坎捎玫氖俏墨I(xiàn)[3]中的方法.因此，表3的計(jì)算結(jié)果從側(cè)面驗(yàn)證了本研究編程計(jì)算結(jié)果的正確性，同時(shí)也證明了TLS方法精度高于LS方法.而表4的結(jié)果表明TLS方法的各項(xiàng)精度指標(biāo)均優(yōu)于LS方法，與表3結(jié)果得到的結(jié)論完全一致.

表5將文獻(xiàn)[1]、[3]、[5]和[7]的結(jié)果和本研究的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了比較.從表5可知，本研究的結(jié)果精度高于文獻(xiàn)[1]，與文獻(xiàn)[5]和[7]基本一致，略低于文獻(xiàn)[3]，同時(shí)，本研究方法計(jì)算出來(lái)的方向向量和此4個(gè)文獻(xiàn)里計(jì)算得到的方向向量都非常接近(1∶2∶3).因此，表5的比較結(jié)果也充分證明了本文算法的正確性、可行性和有效性.

表5 各種方法計(jì)算結(jié)果的比較

4 結(jié) 語(yǔ)

鑒于TLS方法和LS方法不能直接應(yīng)用于空間直線(xiàn)擬合計(jì)算，因此，本研究采用參數(shù)變換的方式將三維問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二維問(wèn)題，構(gòu)建出TLS方法中的EIV模型，并利用迭代法對(duì)EIV模型的結(jié)果進(jìn)行求解[13-14]，然后分別利用TLS方法和LS方法對(duì)工業(yè)測(cè)量中的大型構(gòu)件的實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)擬合處理，并對(duì)2種方法的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，以及本研究方法的結(jié)果與文獻(xiàn)中的結(jié)果進(jìn)行詳細(xì)對(duì)比，充分驗(yàn)證了本研究所提方法的正確性、可行性和有效性.