整體思想在代數(shù)中的應(yīng)用

馬興緒

【摘要】初中代數(shù)很多問題表面上看很抽象，不容易把握住問題的實質(zhì)和關(guān)鍵，但是應(yīng)用一些數(shù)學(xué)思想去思考和分析，那么問題就迎刃而解了。

【關(guān)鍵詞】整體思想 代數(shù) 應(yīng)用

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2019）09-0142-01

在代數(shù)解題中，對于有些看起來較為復(fù)雜的問題，如果用整體的思想去觀察分析，那么問題就變得非常簡便，可以使之迅速得到解決。

下面，不妨舉幾個例子來說明。

例1：設(shè) a-b=2+ b-c=2-

求a2+b2+c2-ab-bc-ca的值。

分析：從已知條件是無法求出a、b、c之值的，注意到：

a2+b2+c2-ab-bc-ca= [（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2]

故只要求出c-a的值即可。

解：由已知可得：

c-a=-[（a-b）+（b-c）]

=-[（2+ ）+（2- ）]

=-4

∴原式= [（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2]

= [（2+ ）2+（2- ）2+（-4）2]

=15

例2：解方程組x2-y2-3x+2y=10 （1）x+y=7 （2）

分析：這是由一個二元一次方程和二元二次方程組成的一個簡單的二元二次方程組，可用代入法來解，但如果把（1）稍作變形，應(yīng)用整體代入的方法，則解法顯得很巧妙。

解：由（1）得：（x+y）（x-y）-3（x+y）+5y=10 （3）

把（2）代入（3）得：7（x-y）-3×7+5y=10

整理得：7x-2y=31 （4）

由（2）、（4）組成方程組7x-2y=31x+y=7

解之得：x=5y=2

∴原方程組的解為x=5y=2

例3：如果x2+5x+3=0，那么x2+5x+5的值是多少。

分析：通常情況下，要求x2+5x+5的值，首先解出已知方程x2+5x+3=0的未知數(shù)x的值，再把x的值代入x2+5x+5中去，如果把方程x2+5x+3=0變形為x2+5x=-3，則x2+5x+5的值迅速得解。

解：把x2+5x+3=0變形，得

x2+5x=-3

∴x2+5x+5=-3+5=2

例4：若2x+5y+4z=0，3x+y-7z=0，則x+y-z的值等于（ ）

A.0 B. 1

C.2 D.不能求出

分析：此題的一般思路是視三個字母中一個為常數(shù)，通過解二元一次方程組求出解，再代入x+y-z求值，若直接將x+y-z這個整體視為未知數(shù)，可得下面簡捷解法：

解：由2x+5y+4z=0，可得2（x+y-z）+3（y+2z）=0 （1）

由3x+y-7z=0可得3（x+y-z）-2（y+2z）=0 （2）

（1）×2+（2）×3，得x+y-z=0

故選A。

練習(xí)：

1.解方程組：（x-y）2-（x-y）-2=0 x-y=4

2.解方程：（x2-2x）2-2（x2-2x）-3=0

3.計算：（- + + ）（ - + ）（

+ + ）（ + - ）