數學教學方法創新的幾點嘗試

劉道貴

素質教育要求在基礎教育階段，要培養學生具有實現自我“可持續性發展”的意識和能力。要求我們的學生學會設問，學會探索，學會概括，學會合作，去解決面臨的問題，去適應環境。只有學會學習，才能學會生存，只有敢于創新，才能贏得發展。江澤民同志指出：“創新是一個民族進步的靈魂，是國家興旺發達的不竭動力”。培養學生的創新精神和實踐能力是實施素質教育的重點，也是我們教師的責任。

創新精神是每一個學生都具有的，在基礎教育階段主要是激發學生的好奇心、求知欲和想象力，培養學生創造性的思維品質、科學精神和人文精神，發展學生的探究、發現和初步的創造能力。在課堂教學中，如何培養學生大膽設想、敢于探索、善于創新的精神，是現代數學教學的一個重要課題。筆者根據多年的教育教學實踐，就數學教學方法創新，談談自己的做法與體會。

一、揭示數學知識的發展和本質，體會蘊含在其中的思想方法，是誘發創新意識的重要環節

學生的創新意識、創造能力，不是一朝一夕所能形成的，而是靠教師平時長期有意識地培養和點滴積累而形成的。平時教學中，教師要從學生的生活經驗和已有的知識背景出發，向他們提供充分的從事數學活動和交流的機會，構建自己有效的數學理解的場所，幫助他們在自主探索的過程中真正理解和掌握基本的數學知識與技能，要善于創設問題的情境，多角度激發學生去積極思維和操作，充分發揮學生的主體作用，使學生得到足夠的創造空間。

例如在新時代滬科版七年級（下）完全平方公式與平方差公式的導入，我是這樣引入的：先回顧多項式與多項式的乘法法則即：

。

（1）令 得：

.

（2）在（1）的基礎上用 去替換 得：

。

（3）令 得

。

（4）令 得：

。

以上的四種設問我認為才算是真正意義上的從學生已有的知識背景“多項式乘法法則”出發，同時又賦予了代數式中字母的真正含義，在不知不覺中將新的知識和數學思想方法滲透給了學生，實現了“和平演變”，通過隨堂檢測，達到了較好的教學效果。

又如，在學完立幾“直線和平面”這一章，進行章節復習中，我選取了如下例題：

例1：已知：AB⊥α，BC∈α，CD⊥BC且CD與平面α成30°角，若AB=BC=CD=2（如圖），

（1）求證：AD與BC是異面直線；

（2）求AB與CD兩異面直線間的距離；

（3）求平面BCD與平面α所成二面

角的大小；

（4）求A、D兩點問的距離；

（5）求AD與平面α所成角的正弦值；

（6）求點D到平面ABC的距離。

分析：（1）用反證法。（2）根據異面直線距離的定義可知，線段BC的長為其距離。（3）作DE⊥α，連結CE，由三垂線逆定理知，∠DCE為平面BCD與平面α所成二面角的平面角，且∠DCE=30°。（4）圖中四邊形ABED是直角梯形，通過Rt△CDE與Rt△BCE可求得DE=1，BE=，因為AB=BC=2，設F為AB的中點，連結DF，則AF=1，從而可在Rt△AFD中求出AD=。（5）因為DF∥BE，所以∠ADF為AD與平面α所成角的大小，不難求出sin∠ADF=。（6）由以上可知DE∥AB，故DE∥平面ABC，那么DE與平面ABC的距離就是點D到平面ABC的距離，而CE是DE與平面ABC的公垂線，所以線段CE的長是它們間的距離，可由Rt△CDE中求出CE=，即點D到平面ABC的距離為。

當上述輔助線DE作出后，并完成了上面六個問題，進而還可以向學生提出以下幾個問題。

（7）求證平面BCD⊥平面CDE；（8）求點A到CE的距離，A到CD的距離；（9）求異面直線DE與AC的距離；

（10）求點A到平面CDE的距離；（11）求BD與平面CDE所成角的大小。

以上通過一個題設，多個結論的典型例題示范，引導學生進行多角度思考，展開發散思維，這對于鍛煉學生思維的深度、廣度、靈活性都能起到積極的作用，從而培養他們良好的思維品質及綜合運用知識的能力。

二、創設問題背景，從多角度培養學生思維的發散性，是培養創新意識的核心。

蘇霍姆林斯基說：“在人的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，這就是希望自己是一個發現者、研究者、探索者。”因此，教師要善于挖掘問題存在的歷史背景及解決問題策略的多樣性，激勵學生從不同的知識體系中尋求不同的方法解決同一問題，讓學生從求異思維中進一步認識事物并且加深對與之相關的知識鞏固和理解。為思維的創新奠定基礎。

我們知道， 數學來源于現實生活， 數學的發展應歸結為現實所需. 當學生要學習某種新知識之前， 如果他們先了解這項知識在生活中的背景材料， 那么對知識的理解會自然， 接受也坦然， 記憶長遠， 運用自如。

例如學習兩個重要不等式時， 可通過如下兩個實際應用背景， 引導學生從中發現重要不等式的定理及其推論. 某商店在節前進行商品降價酬賓銷售活動， 擬分兩次降價. 有三種降價方案：甲方案是第一次打 折銷售， 第二次打 折銷售；乙方案是第一次打 折， 第二次打 折銷售；丙方案是兩次都打 折銷售. 請問：哪一種方案降價較多？

學生通過審題、分析、討論， 共同得出：甲乙方案給顧客的優惠率都是 ；

丙方案給顧客的優惠率是 ，最后歸結為比較 與 大小的問題.

用作差法即可得 ，另外通過平方展開或開方即可得重要不等式：

（1） ，

（2） 。這樣給出重要不等式的兩個定理， 已是水到渠成， 相當自然.

不等式（2）還可以從幾何的角度，利用數形結合思想加以證明：構造以長度為 為直徑的半圓（如上圖），

利用垂徑定理和其幾何性質很容易得出不等式（2）。

再如高中數學必修4關于“兩角差的余弦公式”的證明有三種不同的方法證明： 。

（1） 從幾何的角度，在單位圓里證；

如下圖，設角 為銳角且 >

，角 終邊是OA，則 。

OA= ，AP= ，并且 。于是

= .

（2）在單位圓中利用向量證；如圖（上圖）在平面直角坐標系 內作單位圓O，以 為始邊作角 ，它們的終邊與單位圓O的交點分別是A，B.則 ， .

由向量的數量積的坐標表示，有

.

設 與 的夾角為 ，則 .

而由題意知 ，

所以有 ，即公式的證。

（3）在直角坐標系中，利用兩點間的距離證。（證明略）

在中學數學中， 很多數學問題都具有生活的背景和意義. 從學生的角度來說， 這些生活實例構成了他們的新知識的基礎， 是獲取新知識的不可或缺重要組成部分. 所以， 在教學中要善于發掘問題的內在聯系， 抽象問題的本質， 進而用數學語言（符號）來表達問題的實質. 這個過程是學生親身體會、全面思考、分析問題的過程， 是培養學生思維的深刻性和創造性的必要手段.

三、對課本例題進行深入挖掘、拓展，培養學生思維的深刻性，是培養創新意識的重要方法。

荷蘭著名學者弗賴登塔爾說：“學習數學的唯一正確方法是實行‘再創造，也就是由學生本人把要學的東西自己去發現或創造出來，教師的任務是引導和幫助學生去進行這種創造工作，而不是把現成的知識灌輸給學生。”因此，我在教學中，引導學生對已解答的問題進行進一步的探究推廣和再創造，反思其題設與結論之間的關系，即已知這些條件能得出那些結論和要得出這一結論需要哪些條件。通過這樣有意識的引導，可使學生思考問題更深刻，抓住事物的規律和本質，對知識的理解達到舉一反三融會貫通，有助于創新意識的形成。

例2：一條小河的同旁有兩個村莊A、B，在河邊修一個抽水站，問該站應修在什么地方才能使它到兩村莊的距離之和最短？

這是一個經久不衰的老題，每次的課改版本中均保留了它。究其原因關鍵是代表了一種方法即利用對稱知識來解決問題的方法。因此每個學生都必須掌握（如上圖）。

如果我們能引導學生更深一步思考，大膽地將思維擴展一下：A、B兩村莊在小河的兩邊，情況會怎么樣？

變題1：小河兩岸（設兩岸是平行的）有兩個村莊A、B，要在河上修一座與河岸垂直的小橋，使兩村莊間的距離為最短，小橋應修在什么地方？（解答如下圖）

與變題1比較，僅改變了這么一個條件，就出現了一個“新”題。但它的實質和變題完全相同，這是思維上的一次飛躍和創新，是思維向高層次發展的結果。

如果將例2中的A、B兩點換成兩個圓，我們就得到：

變題2：設直線的同旁有兩個定圓⊙和⊙，試在⊙、⊙和上各找一個點A、B和C，使AC+CB最短。

問題的解答是簡單的，作⊙，使它關于直線與⊙對稱，連結交于C，交⊙于B，連交⊙于A，則A、B、C為所求的點，即AC+BC最短。因為對⊙，⊙和上的其他任意點A、B、C總有AC+CB>AC+CB（圖略）。

變題3：若河邊所在的直線改為X軸，A、B兩村莊為坐標平面內的兩個點，A（-1，2），B（3，5），問在X軸上是否存在一點C使得AC+BC最短？在Y軸呢？若存在，求出點C的坐標。

前面的問題都是在平面上討論的，如果將思維擴展到三維空間情況又怎樣呢？請看

變題4：在平面α上取一點P，使它到α同旁的兩定點A、B的距離之和為最小（如上圖）。

變題5：在二面角α-AB-β的兩個面α、β上各有一點P、Q，在AB上找一點O，使PO+OQ為最小（如上右圖）。

空間圖形中，我們接觸較多的有正方體和圓柱體等，這樣又有一個新的擴展。

變題6：如下圖，在圓柱形鐵桶的外側A處有一條小蟲，請為它設計一條最短的路線，使它沿桶外側爬到桶內壁的B處。

分析：將桶的側面展開為一矩形，取B點關于CD的對稱點 ，連結交CD于E，則E點為所求，即小蟲沿外側AE方向爬到E點，再從E點沿內壁EB方向爬到B點，此時路線最短。這不就是例2嗎？

象以上這樣的問題在教學中只要留心可以隨處找到而且很多，俗話說得好“處處留心皆學問”。從教學思想方法的角度來講，如果我們能經常有意識引導學生從多角度訓練、多方位去思考，使他們的思維不局限在某一點、某一個側面上或某一方法上，不僅滿足于解決問題，大膽擴充視野，而且要爭取更多信息，使其在結構、形式、材料、功能等方面充分地擴展引伸，從而不斷提高思維的深度和廣度，那么我們就一定會獲得更多具有創新性的成果，使學生的創新意識通過教學得到充分地培養。