移動最小二乘法在電機(jī)試驗數(shù)據(jù)處理中的應(yīng)用

龔春忠 張政 張李俠

（浙江合眾新能源汽車有限公司試制試驗中心）

作為電動汽車核心的三電技術(shù)成為眾多新能源汽車制造商的競逐技術(shù)。電機(jī)效率MAP 通常用于整車動力性經(jīng)濟(jì)性仿真開發(fā)與整車動力性經(jīng)濟(jì)性標(biāo)定領(lǐng)域。當(dāng)前階段，電機(jī)MAP 的數(shù)據(jù)處理方法相對粗糙，通常使用2 種方法：一是臨近網(wǎng)格點(diǎn)法，邊界使用等曲率延拓；二是使用高次曲面最小二乘擬合法[1]。2 種方法都有各自的缺點(diǎn)：第1 種方法在實測點(diǎn)非網(wǎng)格均勻化分布時，誤差會很大；第2 種方法在邊界延拓上，失真率過高，整體曲面精度低。文章采用移動最小二乘法（MLS）[2]對電機(jī)效率MAP 數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，獲取高精度的網(wǎng)格化MAP 數(shù)據(jù)。相對于網(wǎng)格插值而言，MLS 插值計算量較大，不適合直接應(yīng)用于整車控制器程序燒錄或仿真模型中。因此，文章僅使用其做電機(jī)試驗數(shù)據(jù)的網(wǎng)格化處理。

1 電機(jī)效率MAP試驗

依據(jù)《GB/T 1029—2005 三相同步電機(jī)試驗方法》[3]，電機(jī)效率測試需要在臺架中進(jìn)行。電機(jī)試驗臺架結(jié)構(gòu)原理，如圖1所示。試驗時，驅(qū)動電機(jī)與控制器冷卻裝置的冷卻效果與汽車中的實際使用條件盡可能相同。

圖1 電機(jī)試驗臺架結(jié)構(gòu)原理圖

效率MAP 測試過程為：給測功機(jī)加載，使得驅(qū)動電機(jī)運(yùn)行在某一恒定轉(zhuǎn)速，要求轉(zhuǎn)速測試點(diǎn)在10 個以上。在驅(qū)動電機(jī)實際運(yùn)行轉(zhuǎn)速穩(wěn)定時設(shè)定扭矩指令值。

在測功機(jī)和驅(qū)動電機(jī)之間使用轉(zhuǎn)速扭力儀測量得到驅(qū)動電機(jī)的轉(zhuǎn)速（N/（r/min））、扭矩（T/N·m）和輸出功率（P3/kW）；使用電壓探頭、電流傳感器測試控制器輸入功率（P1/kW）和控制器輸出功率（P2/kW）。驅(qū)動狀態(tài)和能量回收狀態(tài)的效率計算，分別如式（1）和式（2）所示。

式中：ηD_MCU，ηD_MOT，ηD_SYS——驅(qū)動狀態(tài)的電機(jī)控制器、電機(jī)、電驅(qū)動系統(tǒng)效率；

ηR_MCU，ηR_MOT，ηR_SYS——能量回收狀態(tài)的電機(jī)控制器、電機(jī)、電驅(qū)動系統(tǒng)效率。

由以上方法測得電機(jī)工作特性點(diǎn)（N，T，ηD_SYS）和（N，T，ηR_SYS）等效率工作點(diǎn)，用于生成網(wǎng)格化效率曲面，并進(jìn)一步應(yīng)用于整車動力性經(jīng)濟(jì)性仿真開發(fā)與整車動力性經(jīng)濟(jì)性標(biāo)定等領(lǐng)域。

2 移動最小二乘法及其緊支域與權(quán)函數(shù)

移動最小二乘法相對于最小二乘法的優(yōu)點(diǎn)有：1）點(diǎn)云分布不均勻時有更好的擬合性能，包括延拓性；2）具有連續(xù)平滑過渡的特性；3）當(dāng)曲面細(xì)節(jié)劇烈變化時，移動最小二乘法具備更精確的細(xì)節(jié)刻畫能力。

2.1 移動最小二乘法基本原理

為敘述方便，文章描述移動最小二乘法時，不再描述普適公式，而是直接以電機(jī)效率MAP 數(shù)據(jù)應(yīng)用為實例。效率MAP 是一張曲面，因此需要選用二維基。而電機(jī)測試中0 轉(zhuǎn)速、0 扭矩的效率點(diǎn)無法測試，因此選用線性基，以利于擬合過程的可延拓性。

現(xiàn)有三維散亂點(diǎn)云{（xi，yi，zi）｜i=1，2，…，n}，需要將其網(wǎng)格化插值。與局部最小二乘法擬合相似，在擬合區(qū)域的一個局部子域上，擬合函數(shù)f（x，y）表示為：

式中：x——基平面上的坐標(biāo)，對應(yīng)于電機(jī)的轉(zhuǎn)速，r/min；

y——基平面上的坐標(biāo)，對應(yīng)于電機(jī)的扭矩，N·m；

f（x，y）——擬合函數(shù)對應(yīng)電機(jī)的效率；

a1，a2，a3——擬合函數(shù)的待定系數(shù)。

構(gòu)建移動最小二乘法目標(biāo)函數(shù)：

式中：w（si）——權(quán)函數(shù)；

zi——測試出的效率。

si用于計算參與擬合點(diǎn)與局部擬合中心點(diǎn)的距離：

為確定系數(shù)值，式（4）對系數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，得：

其中：

解式（6）得：

式中：α——擬合函數(shù)的待定系數(shù)，α=（a1，a2，a3）；

z——網(wǎng)格化后的效率。

由此獲得（x，y）處的函數(shù)表達(dá)式（式（3）），從而確定該點(diǎn)的值。如果（x，y）是網(wǎng)格化定義的值，則可以計算出網(wǎng)格化曲面（x，y，z）。

2.2 緊支域與權(quán)函數(shù)

MLS 與最小二乘法最大的區(qū)別是引入了緊支域與權(quán)函數(shù)的概念。權(quán)函數(shù)通常有三次樣條曲線[4]和高斯曲線2 種形式。而電機(jī)效率MAP 中，邊界處需要延拓處理，經(jīng)測試，選用高斯權(quán)函數(shù)更有利于邊界延拓性。為了滿足延拓性需求，參與擬合的點(diǎn)越多越好，因此不設(shè)置支撐域截斷，而是選擇控制高斯函數(shù)中緊支域半徑（σ）的大小。此方法相對于三次樣條曲線權(quán)函數(shù)精度較高，計算量較大，但對于電機(jī)MAP 點(diǎn)數(shù)不多的情況，當(dāng)前的計算機(jī)能力是足夠的。權(quán)函數(shù)表達(dá)，如式（11）所示。

式中：s——點(diǎn)云與局部擬合中心點(diǎn)的距離。

σ 越大時，高權(quán)值參與擬合的點(diǎn)越多，精度越低，可延拓性增加；σ 越小時，高權(quán)值參與擬合的點(diǎn)越少，精度越高，但可延拓性減弱。綜合精度與延拓性，在電機(jī)效率MAP 的MLS 擬合時，σ 取值為0.25。

3 電機(jī)效率MAP的MLS擬合

電機(jī)測試結(jié)果的（N，T，ηD_SYS）等三維點(diǎn)云即對應(yīng)MLS 方法中的點(diǎn)云{（xi，yi，zi）｜i=1，2，…，n}。針對電機(jī)效率MAP 數(shù)據(jù)的處理，需要做數(shù)據(jù)縮放處理與支撐域半徑的選擇。

3.1 數(shù)據(jù)縮放與緊支域半徑選擇

原始數(shù)據(jù)量綱一般為轉(zhuǎn)速和扭矩。轉(zhuǎn)速測量分布范圍為0～12 000 r/min，扭矩分布范圍為0～300 N·m，若直接使用圓形緊支域，會因點(diǎn)云分布的非均勻性結(jié)果呈現(xiàn)誤差偏大的現(xiàn)象。因此，要對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行縮放處理。由電機(jī)試驗方法可知，若每個轉(zhuǎn)速下測試的扭矩點(diǎn)有a個，共測試了b組轉(zhuǎn)速，則為了選用圓形緊支域，需將轉(zhuǎn)速坐標(biāo)比例縮小為：ρ=bNmax/aTmax。

因為選擇二維線性基，所以支撐區(qū)內(nèi)至少應(yīng)能包含3 個點(diǎn)。文章中示例的效率測試點(diǎn)近似為陣列分布，支撐區(qū)半徑（r）選擇為：r=Tmax/a。

若以后改進(jìn)試驗方法，為了綜合精度和測試成本，選擇非均勻式陣列測試時，支撐域選擇自適應(yīng)方法確定[5]，則在精度要求相同時，可以減少測試點(diǎn)數(shù)量，節(jié)約測試成本。

3.2 MLS擬合實例

某款型號電機(jī)基本參數(shù)如下：Nmax=9 500 r/min，Tmax=170 N·m，最大功率Pmax=55 kW。非均勻化地測試了28 組轉(zhuǎn)速，每組轉(zhuǎn)速下扭矩測試步長為10 N·m。

在直流母線電壓為355 V 時，測試電機(jī)驅(qū)動系統(tǒng)效率獲得點(diǎn)云：{（Ni，Ti，ηD_SYSi）｜i=1，2，…，391}和{（Ni，Ti，ηR_SYSi）｜i=1，2，…，382}。使用MLS 方法擬合以下網(wǎng)格化區(qū)域：轉(zhuǎn)速在0～9 500 r/min，每200 r/min 為1 個間隔；扭矩在0～170 N·m，每10 N·m 為1 個間隔。處理后的原始點(diǎn)云與擬合曲面，如圖2所示。

圖2 電機(jī)效率MAP使用MLS網(wǎng)格化擬合與實測點(diǎn)云

4 精度對比分析

使用MLS 方法獲取的誤差曲面與原始網(wǎng)格化數(shù)據(jù)之間的誤差分布，如圖3所示。從圖3 可以看出，誤差較大的區(qū)域依然是邊界處，最大誤差約為1%。而中間大部分區(qū)域誤差不超過0.1%。本實例中的曲面擬合平均誤差為0.335%。

圖3 電機(jī)效率MAP 誤差分布分析

5 結(jié)論

通過移動最小二乘法擬合曲面，可以獲得高精度的電機(jī)效率MAP 網(wǎng)格化曲面。適當(dāng)?shù)剡x擇緊支域和權(quán)函數(shù)，可以改善其精度和邊界延拓性。但需要注意，當(dāng)原始數(shù)據(jù)中點(diǎn)云噪聲較大時，使用移動最小二乘法擬合出的曲面會反映噪聲分布情況，起不到消噪效果，此時需要結(jié)合最小二乘法先對曲面進(jìn)行濾波處理。實例分析表明，該方法制作網(wǎng)格化電驅(qū)動系統(tǒng)效率MAP 高效可靠，在整車動力性經(jīng)濟(jì)性仿真與整車動力系統(tǒng)標(biāo)定等領(lǐng)域有積極的應(yīng)用價值。