如何巧妙利用化歸法解決高中數學三角函數題

瞿良彥

【內容摘要】順應著新課程改革的洪流，創新成了現代教育的核心內容。各行各業都無時無刻在發生著新的變革，當然教育行業自然也要跟上時代的發展和科技的進步。隨著我國教育大環境的更新換代，在教學的方式方法方面也產生了不小的變革，就高中階段數學課程中三角函數這一部分就有多種教學方式，數學在高中階段可謂是讓大多數學生感到頭疼的一門學科，而三角函數作為數學課程中重要的一部分自然也在高中階段占有重要的位置，同時它具有一定的復雜性、抽象性，也正因如此成為了學生們眼中的難點、教師教學工作中的重點。本文就如何利用化歸法巧妙解決高中數學中的三角函數題進行簡要論述。

【關鍵詞】高中數學? 三角函數? 化歸法

引言

對于高中階段的學生來說，他們已經經歷過九年義務教育的考驗來到高中，這就證明他們已經學習過有關各個學科的基礎知識也掌握了一定的學習方法、技巧，但是到了高中，學生將更加深入地學習數學、物理、化學這些自然學科。就數學來講，高中學習的內容更加寬泛也更加深入，初中掌握的學習方法并不一定能夠在高中階段有效發揮，單一的刷題也不一定能夠讓學生們在考試當中做到行云流水，這時就要求學生不僅具有扎實的數學基礎，還要在這扎實基礎上掌握一定的技巧。化歸法是數學方法論中的方法之一，在數學的教學當中也隨處可見到它的影子。

一、化歸法解決問題

在發現已有問題并處理問題的這一過程里，數學一般不會直接橫沖直撞去正面處理問題，遇到難題對其進行轉化、變形，就像是鎖孔里的一些彎曲，直至能夠到達解決問題的那一個點。把所要解決的問題，進行一些變化，使之轉化為另一個問題x，再對問題x進行求解，把得到的答案運用到初始問題上，從而使原有問題得解，這種解決問題的方法，我們稱之為化歸法。化歸法是一種對問題進行分析并處理的基本方法。在數學中的一般的做法是：把一個非一般的問題通過分解、變形、代換……，或平移、旋轉、伸縮……等多種方式，將它化作一個一般問題，從而能夠較為方便的求出答案①。例如，在學習平面幾何中多邊形內角和時，我們能夠直接了解的是三角形的內角和是180°，而不知道七邊形、八邊形內角和計算方法，這時就可以利用化歸法將多邊形劃分為若干個三角形進行求解。

二、化歸法在三角函數中的實際應用

1.三角函數以及同角關系式

在三角函數的學習過程中會對三角函數是什么和同角關系式有所考察，在這一類別的題目當中需要著重關注的點是三角函數的“誘導公式”以及函數中sin、cos、tan等符號所代表的含義和規律，所以在遇到這一類型的三角函數題目時需要學生著重關注解決問題時的分類討論，還要對函數運算符號的選擇多加考慮。想要對三角函數和同角關系式有更加熟練的掌握就要將三角函數運算中所用到的基本公式完全記住，從而進一步掌握函數變形技巧。例如：已知cos（-80°）=k，求解tan100°。在這一例題中就涉及到誘導公式和同角三角函數中對符號的準確選取，同時也涉及到了余弦和正切這兩者相互轉化這一化歸法的運用。在這一類型題目的求解過程中一定要著重關注化歸法的應用，經過合理的變形、轉化，將看似難以處理的問題變得簡單，在具有一定數學基礎的前提下了解化歸思想、掌握化歸法，不論是在日常練習還是考試中都能準確解題。

2.三角函數的化簡求值

在三角函數這一重點章節中，對函數的化簡和求值也是數學考試中會考查的重點，這一部分內容需要學生對三角函數變化這個知識點的掌握程度有很高的要求，面對這類題目要仔細審題、對題目中給出的重要的數據和符號進行分析，并加以靈活運用，必要時運用所學習到的公式對三角函數式進行變形處理，進一步運算得到答案。例如：已知角a是第三象限角，cos2a=-3/5，求tan（π/4+2a）。對于這一題目進行分析，我們可以知道本題考查同角三角函數關系以及倍角公式的運用，通過采用倍角公式對原式的變形，將其變為能夠正常運算的一般形式進行求解，這類題目對學生數學綜合能力的考查較為明顯②。

3.三角函數中y=Asin（ωx+ψ）的圖象以及性質

在三角函數中除了同角關系式、化簡求值還有一個經常考到的內容就是函數的圖象變化，它與前兩者一樣是應當重點學習的內容，想要沉著應對這一類型題目就需要對正弦函數圖象有一個深入的了解和深刻的記憶，在能夠準確記憶的前提下去了解它的變化規律以及特點，查清楚、弄明白這其中ψ、ω、A 符號的意義，只有明白公式中每一個符號的含義才能掌握函數變換中的規律、才能把控變換后的結果、才能準確的解出答案。例如：探究y=sinx，y=sin2x，y=2sinx，y=sin（x+π/3）這四個函數的圖象。這一題目的探究就需要充分理解ψ、ω、A這幾個符號所表示的內容才能理解其圖象的由來。

結束語

綜上所述，三角函數是普通高中階段數學課程中的重難點，困難并不可怕，重要的是掌握方法，在學習三角函數這一章節時充分利用化歸法在解題上所能夠帶來的便利，通過轉化、變形將看似無解的難題變得可以計算，只要方法正確就能夠化繁為簡，解答三角函數中的一系列問題。

【注釋】

① 段瑋潔. 如何巧妙利用化歸法解決高中數學三角函數題[J]. 教育，2016（12）：220-220.

② 馬聆風. 如何巧妙利用化歸法解決高中數學三角函數題[J]. 明日風尚，2017 （23）：202-202.

（作者單位：云南省保山市昌寧縣第一中學）