一類解析幾何典型題的解答與拓展運用

張芳

[摘? ?要]解析幾何是高考數學重點考查內容之一，解析幾何問題的本質是直線與圓錐曲線聯立后方程組的根，而求解時往往伴隨參數，不易直接求出點的坐標，且運算量大.利用方程同解，不僅將點的坐標完美避開，還繞開韋達定理，大大減少了運算量，提升了解題效率.研究解析幾何典型問題解法，可以開闊學生視野，提高學生的解題能力.

[關鍵詞]解析幾何;典型問題;解答;拓展

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2019）05-0033-02

解析幾何是高中數學中幾何部分的重點內容，也是高考數學重點考查內容之一，其核心本質就是通過坐標將幾何的問題轉化為代數問題，從而運算求解相應的結論.高考常會考查曲線與直線交點的問題，而該問題的本質其實就是直線與圓錐曲線聯立后方程組的根.而求解方程組的根往往會伴隨參數，不易直接求出點的坐標.多數學生（特別是文科生）在遇到解析幾何問題時頭腦中的第一感覺就是運算量大，常常會出現“方法思路都懂，可算算就錯”的現象.其實在具體運算中有時也會有些小“技巧”，可以避開煩瑣的運算，減少“無效運算”.下面筆者對一類解析幾何問題進行深入探討.

一、典型例題解答分析

[例1]已知橢圓O的中心在原點，長軸在x軸上，右頂點A（2，0）到右焦點的距離與它到右準線的距離之比為[32].不過A點的動直線[y=12x+m]交橢圓O于P、Q兩點.

（1）求橢圓的標準方程;

（2）過點A、P、Q 的動圓記為圓C，動圓C過不同于A的定點，請求出該定點的坐標.

分析：本題的困惑之處主要是在第（2）問中如何求出圓方程，從而解決圓過定點問題.三個點的圓方程，往往是設一般式，通過待定系數將圓方程表示出來.可本題的P、Q兩點是直線與橢圓的交點，如若要求出此兩點坐標則必須要利用求根公式來處理，這樣會使運算非常復雜，在有限時間內學生往往是不能完成的.

搜尋記憶，思路再探索.其實本題與2008年江蘇高考卷18題如出一轍.

2008年江蘇高考卷18題：在平面直角坐標系xOy中，設二次函數[f（x）=x2+2x+b（x∈R）]的圖像與兩個坐標軸有三個交點，經過這三點的圓記為C.（1）求實數b的取值范圍;（2）求圓C的方程;（3）問圓C是否經過某定點（其坐標與b無關）？請證明你的結論.

該題的第（2）問同樣需要求出圓方程，由于本題x軸上的兩交點易于算出，且結構相似，所以直接利用求根公式即可求出兩點坐標，通過待定系數也能輕松求解.

上述解題方式，雖然在求解D、E、F時運算較為復雜，但由于等式結構類似，所以通過兩式相減，就可求出D，運算并沒有想象中那樣復雜.但是通過仔細觀察可發現，二次函數與x軸的交點同圓C與x軸的交點完全一致，即x2+2x+b=0與x2+Dx+F= 0方程同解，這樣就可以得到D=2，F=b，所以圓C的方程為x2+y2+2x+Ey+b = 0，再代入D（0，b），可知E = -（b+1）.同樣也可得圓C的方程為x2+y2+2x-（b+1）y+b = 0.但這樣運算量就大大降低了.那么能否通過這樣的方程同解法來解決之前的問題呢？

二、類似問題的拓展運用

三、對問題的再思考

由于在解題過程中其運算量相對較大，所以每年高考所涉及的解析幾何問題，學生想拿滿分變得很困難.而且現階段教師的課堂教學也往往較為功利化，解題方式也變得機械化、固定化.教師在解題教學中常常會給學生灌輸這樣的思想：解析幾何的解答題實在不會做就將直線與橢圓聯立，韋達定理寫一下，基本上該有的分就到手了.殊不知，這樣的教學使得學生思維能力不斷弱化，導致學生遇到解析幾何問題也不會動腦思考了.

解析幾何中所謂的“韋達定理”可以解決直線與圓錐曲線的交點問題，往往運算量較大.其實這樣的固定模式并不能解決所有的問題，上面設計的解題方案就可以避開韋達定理，巧妙運用方程同解來處理相應交點的坐標，從而提高運算效率，達到事半功倍的效果，讓解題不再成為“煎熬”.

解題時不能“慌不擇路”，教師要讓學生明白，需要“先謀而后定”，急急忙忙制訂解題計劃，往往并不是好的思路，需要通過仔細地分析觀察，要做到“不發則已，一發必中”.解題的模式也不能固定，需要根據實際情況靈活改變，不能拘泥，通過問題的表面信息，抓住核心內容，深挖問題的本質，這樣才能逐步提升學生解題的能力.在學生遇到困難，束手無策時，教師也可以給予適當的提示，然后讓學生繼續按照提示步驟繼續思考.當然，教師的提示也不可過度，過細、過多的提示也會讓學生產生依賴性.

四、反思總結

解題有四重境界：會解（有思路，有方法）、解對（遵循思路方法將問題解決）、最優法（在若干思路中尋找最簡潔的解題方式）、學會反思歸類（總結經驗將問題進行歸類）.學習數學一定要追求最高的境界——學會反思歸類.上面所涉及的方程同解的方法，如果學生平時能夠做好積累的工作，對經典的題型能夠做到歸類總結的話，那么遇到這類難題就能夠快速地找到解題的突破口了.

面對生疏而又復雜的問題，首先要把問題的實質弄清楚，將一個復雜生疏的題目弄清楚，往往比做十多個普通的、熟悉的問題更有意義.數學教育的目的就是教會學生會思維，經常解題、思考，頭腦會越來越靈活;反之，若解題不思考，頭腦容易固化、僵化.當然所謂的難題往往是將若干個小題“混搭”而成的，學生如果要能夠處理這類問題，則需要基本功訓練扎實到位，于平時的學習中注重細節.如果忽視了這些細節，學生要提升數學運算能力自然就有困難.

解析幾何需要運算，但是如果能夠通過一些小的“技巧”，繞開煩瑣的運算，從而提高解題效率，減少運算過程中的錯誤環節，這不正是教師所期盼的么？

（責任編輯 黃桂堅）