高中函數建模教學設計

曹倩倩

[摘? ?要]看似簡單的數學函數卻包含了很多限制條件與現實問題的模型，函數的教學是高中數學教學的重點和難點.將函數教學融入現實的生活中，形成建模思想，并展開建模教學，既能幫助學生深刻理解函數概念，又能幫助學生靈活運用所學的函數知識解決問題，具有極其重要的教學意義.

[關鍵詞]函數;建模教學;高中數學

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2019）05-0021-02

函數教學是高中數學教學的重點也是難點，同時還是學生解決生活問題和將來學習大學應用數學的基礎.因此，學好函數知識具有極其重要的意義.但是函數比較抽象，對中學生來說有一定的理解難度，是學習的難點.為此，本文擬將函數教學與數學建模相結合，以期使學生對函數知識的理解能力和應用能力得到有效提升.

一、高中函數與數學建模

數學建模是聯系數學理論知識和實際問題的橋梁.將數學建模思想融入高中函數教學中，能夠強化學生對抽象概念與性質及其應用的理解.在函數教學中，函數與對應案例的選取，模型的建立與限制條件的確定，是決定建模成功與否的關鍵要素.在很多應用案例中，所建立的模型往往會求出兩個或以上的解，其中部分解要根據限制條件舍去.對一些函數與案例建立的模型求出的解進行代入驗證時，發現這些解毫無意義，這說明模型的選擇是錯誤的.

函數教學應該選擇合適的建模案例，這是學生運用函數知識解決問題的關鍵所在，它能夠促進隱性知識和定義理論不斷轉化并逐步完善，加深學生對數學概念的理解.一些文獻中提出了用以加深學生對函數定義與性質理解的數學建模案例，但這些案例多是經過一定程度的數學建模加工得到的“成品”或“半成品”，問題的提法也已經是數學化和理想化，具有條件清楚準確、結論唯一、結果符合實際等特點，甚至可以說是已經建立了完善的數學模型.

函數建模是將實際問題蘊含的函數關系巧妙地、恰當地運用函數解析式反映出來，然后對所建立的函數進行研究，以達到解決實際問題的目的.函數建模需注意以下幾點.

（1）關注建立模型的合理性，即需要進行合理的假設;

（2）將所求得的結果進行合理化驗證，根據實際情況對所求的值進行修改和完善，使之更加符合要求;

（3）一個函數模型可能會運用多個函數表達式.

目前，中學數學中涉及應用性較強的函數類型有冪函數、三角函數等.故本文擬以冪函數、三角函數為例，介紹相關函數建模的教學設計.

二、冪函數建模教學設計

在日常生活中，我們經常會遇到一些數學問題，這些問題和中學數學函數有著密切的聯系.比如，在商店購買商品時，如何買商品既劃算又不會造成物品使用的浪費，這類問題的解決與冪函數有緊密關聯.不同規格的商品的價格是確定的，各個生產要素決定了商品的價格.

例如，某火腿腸廠家生產火腿腸出售，其中60 g的火腿腸售價為1.15元，而150 g的火腿腸售價為2.5元，現有某施工單位為了滿足職工需求，生產180 g的火腿腸，該如何確定該火腿腸的定價.

（1）假設各要素對應的參數

y、y1、y2分別為火腿腸的出廠價、火腿腸的生產成本、火腿腸的包裝費用;w表示火腿腸的重量;[S]表示火腿腸的包裝面積.

（2）合理假設，建立模模

根據日常生產經驗，火腿腸的出廠價格是由火腿腸的生產成本、包裝成本和人工成本決定的，為了將模型理想化，將人工成本假設為0或固定值，不參與計算.

當生產量較大時，火腿腸的生產成本和火腿腸的重量成正比例關系，系數為k1;

當生產量較大時，火腿腸的包裝成本和火腿腸的包裝面積成正比例關系，系數為k2;

當生產量較大時，火腿腸的包裝面積和火腿腸的質量成正比例關系，系數為k3;

火腿腸包裝表面積的計算公式為[Sw=k3w23].

（3）建立數學結構

假如上述假設是合理的，那么可以求得：

（4）合理修正結果

求得火腿腸的出廠價格約為2.93元，考慮整箱包裝費用、其他細節費用以及銷售便利程度等因素，零售定價應為3.00元.

（5）案例啟示

本次建立的數學模型將很多環節進行理想化，例如火腿腸的生產成本和質量并不是完全成正比，嚴格來講，應該是一次函數關系;實際生產過程中人工成本占有很大的比例;等等.本次建模為了便于計算，均進行了理想化.在計算過程中，火腿腸的體積和對應的表面積是按照規則形狀計算的，但實際上存在偏差，在實際生產中應該進一步校正.

上述實際問題就是函數與模型建立之間的關系，根據實際問題提取其中的重要信息，結合不同火腿腸的質量所對應的各項成本建立冪函數關系，進而建立數學模型并進行分析與求解.

三、 三角函數建模教學設計

三角函數較為抽象，如果不與實際問題相結合，學生是很難理解的.因此，三角函數教學中，教師應在現實實物的基礎上建立數學模型，以此來激發學生的學習興趣.三角函數與現實生活密不可分，三角函數在現實中的應用也十分廣泛.如現實生活中的“輪子問題”就與三角函數關系密切.

復雜的三角函數問題往往是由簡單的三角函數問題組合而成，簡單的三角函數問題往往通過直角坐標系來解決.

以上簡單的三角函數問題如果單憑想象很難解決，但是如果把問題放置到直角坐標系中來，問題即可迎刃而解.

對于比較復雜的三角函數問題，需要一一分解，再將分解出來的每個問題逐個建立數學模型，再將其組合在一起，從而解決問題.

例如，某游樂園為了吸引顧客，打算建造一個在一定時間內在水下經過的摩天輪，已知摩天輪的半徑為L（如圖3），摩天輪的圓心用O表示，摩天輪的圓心O在水面之上，且距離水面的距離為l，已知摩天輪每分鐘逆時針轉動n圈，當游客箱處于點A位置時進行計時，假設水深為h，那么P點距離水底的高度與時間T的關系式該如何表達？

如果直接回答此問題很困難，但若將其分解為幾個小問題，再逐級對每個小問題建立模型求解，此問題的解答就相對容易了.

首先，將此問題放入平面直角坐標系中，建立具體模型;其次，將問題分解為點P距離水面的距離與時間的函數關系.點P到達最高點所需要的時間是多少？點P到達最高點的時間節點分別是什么？點P潛入水面以后距離水面的距離與時間的關系是什么？一個圓周內點P共在水下持續多長時間？等等.如果將以上問題按照順序逐一回答，熟悉點P在整個圓周運動內每個點的情況，那么點P位與t的函數關系式就非常簡單了.

綜上可知，函數教學與數學建模密不可分，尤其是類似于冪函數和三角函數等較為抽象的函數.教師在函數教學中要不斷引導學生將簡單的函數關系與生活實際相結合;在解決問題的過程中，教師應引導學生將現實中的問題進行理想化，進而歸結到函數關系中，并將求得的結果進行驗證和合理地取舍.這樣，既讓學生能進到模型中去，又能回到現實中來，真正實現活學活用.

[? 參? ?考? ?文? ?獻? ]

[1]? 賈晨. 數學模型思想在中專生函數教學中的應用研究[D].合肥：合肥師范學院，2018.

[2]? 馮愛美. 數學建模思想融入函數教學的實踐研究[D].西安：陜西師范大學，2015.

[3]? 徐園園. 高中數學建模教學策略[D].西安：西北大學，2015.

[4]? 岳海彥. 崇禮區一中初中生函數建模問題案例分析[D].石家莊：河北師范大學，2017.

[5]? 紀雪穎. 高中學生數學建模能力水平研究[D].上海：華東師范大學，2010.

（特約編輯 安 平）