坐標變換在建筑限界測量中的應用

趙夢，范宇，楊赫，丁道祥，崔高峰

（中國鐵路沈陽局集團有限公司科學技術研究所，沈陽110013）

1 引言

鐵路沿線建筑限界是直接影響行車安全的基礎數據，是保證鐵路運輸安全的基本要素。隨著高鐵車站的建設、既有站場改造工程的實施，客運車站高站臺的普及，原有線路上的測量方式不僅存在操作難、誤差大等問題，且線路上檢測限界容易造成人身安全隱患繼而影響行車安全。若能開發一項檢測技術既能實現在軌道線路外側測量鐵路建筑限界又能滿足鐵路標準TB/T 3308—2013《鐵路建筑實際限界測量和數據格式》中對測量中數據的各項要求，則可以實現在安全距離內測量鐵路建筑限界的方法，從而達到在不影響列車正常運行的情況下對站臺、雨棚等建筑進行測量的目的。

2 應用理論與可行性研究

數學中為考慮同一圖形在不同坐標系下的關系，出現了坐標變換的問題。根據鐵路標準TB/T 3308—2013《鐵路建筑實際限界測量和數據格式》中對測量的量及輸出標準有詳細的規定，故可將該實際問題看作同一點在不同坐標系中的坐標問題，又因其為靜態測量，故僅考慮平面直角坐標系中的坐標變換。直角坐標變換可以分解成移軸和轉軸2個步驟。具體如下。

如果 2 個標架（O，i，j）和（O′，i′，j′）的原點O與O′不同，O′在（O，i，j）中的坐標為（x0，y0），但 2 個標架的坐標基向量相同，即有i′=i，j′=j，那么標架（O′，i′，j′）可以看成是由標架（O，i，j）將原點平移到O′點而得來的（見圖1），這種坐標變換叫做移軸。

若 2 個標架（O，i，j）和（O′，i′，j′）的原點相同，即O=O′，但坐標基向量不同，且有∠（i，i′）=α，則標架（O′，i′，j′）可以看成是由標架（O，i，j）繞O點旋轉 α 角而得來的（見圖 2），這種由標架（O，i，j）到標架（O′，i′，j′）的坐標變換叫做轉軸。

圖1 移軸詳圖

圖2 轉軸詳圖

圖 1 中，設P是平面內任意一點，它對標架（O，i，j）和（O′，i′，j′）的坐標分別為（x，y）與（x′，y′），則有

圖 2 中，設P是平面內任意一點，它對（O，i，j）和（O′，i′，j′）的坐標分別為（x，y）與（x′，y′），即有

式中，α為坐標軸的旋轉角。

式（2）也可看成是由標架（O′，i′，j′）繞圓點旋轉 α 角變到（O，i，j）的轉軸公式。

在一般情況下，由舊坐標系xOy變成新坐標系x′O′y′，總可以分2步完成。即先移軸使坐標原點與新坐標系的原點O′重合，變成坐標系x″O′y″，然后再由輔助坐標系x″O′y″轉軸而成新坐標系x′O′y′（見圖3）。

圖3 坐標轉換

設平面上任一點P的舊坐標與新坐標分別為（x，y）與（x′，y′），而在輔助坐標系x″O′y″中的坐標為（x″，y″），那么由式（1）與式（2）分別得：

3 實際問題的解決

測量環境如圖4，將設備置于坐標系xOy中坐標原點O點位置，測量限界時設備輸出數據分為2種情況：

輸出數據為待測物體某點距離原點O的兩點距離r和該兩點所在直線與x軸角度α；坐標系x″O′y″左側鋼軌測量點距離原點O的兩點距離a所在直線與x軸角度β；

輸出數據為待測物體某點在坐標系xOy的坐標值（x，y）；坐標系x″O′y″左側鋼軌測量點在坐標系xOy的坐標值（x1，y1）；

根據鐵路標準TB/T 3308—2013《鐵路建筑實際限界測量和數據格式》要求，若根據已知數據得出上述描述中某點在坐標系x″O′y″中的坐標值（x′，y′）即為所求。

通過以上理論測量鋼軌數據確定坐標系x″O′y″中坐標原點O′坐標系xOy的數據，從而確定2個坐標系的變換數據。在推導得出公式為：

式（4）為第1種情況計算公式，式（5）為第2種情況計算公式。理論上坐標存在正負值，而實際檢測中以設備返回數據符號為準調整符號。

圖4 現場測量環境簡圖

在該測量技術的應用中，設備儀器的精度，測量人員的操作習慣，計算方式及步驟產生的誤差等均影響測量精度，若欲達到標準中要求的精度需在設備選型與模型建立上進行研究改進。