均勻面陣跳頻信號2D-DOA快速估計算法

廖 穎， 陳江漢

(1.眉山職業技術學院，四川 眉山 620010；2.武漢大學 計算機學院，武漢 430072)

0 引 言

跳頻通信系統是指在相同的同步算法和偽隨機跳頻圖案算法的控制下，射頻頻率在約定的頻率范圍內偽隨機且同步跳變的通信方式。跳頻通信是現代通信中最為重要的一種抗干擾技術手段，在軍事和民用通信領域得到廣泛應用。同時，也給通信對抗偵察帶來了嚴峻挑戰[1-3]。

跳頻信號的參數估計指的是在通信接收機檢測到跳頻信號后，對檢測到的跳頻信號的跳時刻、跳周期、頻率集合、DOA參數等進行估計。針對跳頻信號的參數估計問題，現有算法大多集中在時頻域的參數，較少關注空域參數。跳頻信號空域參數估計主要分為稀疏重構法和空時頻分析法，其中稀疏重構法算法復雜。文獻[4]中提出一種已知信源個數的跳頻信號DOA估計算法，但是該算法只適用于超定條件下，并且算法復雜度較高。文獻[5-6]中第1次提出了空時頻概念，并將其用于非平穩信號的DOA估計；由于空時頻發具有較好的信號選擇性以及抑制噪聲特性，因此，取得了比傳統方法更優的估計效果。文獻[7]中提出一種基于空時頻分析法的跳頻信號DOA估計算法，思路新穎，取得了良好的估計性能。文獻[8-9]中將波達方向上升到二維空間，提出一種空間極化時頻分布與ESPRIT算法結合的跳頻信號二維DOA估計算法，這種算法能夠實現目標的三維定位，但是對陣列的要求較高；文獻[10-11]中提出了一種基于2D-MUSIC的跳頻信號2D-DOA估計算法，這種算法對陣列沒有特殊要求，方法簡單易于實現，但是算法復雜度較高。綜合以上問題，本文提出一種基于求導的降維MUSIC的均勻面陣跳頻信號2D-DOA快速估計算法。該算法將二維DOA估計問題轉化為兩級一維DOA估計問題，避免了峰值搜索與配對，降低了算法復雜度。同時，在DOA參數求解過程中始終保持了方向向量各元素間的相關性，提高了算法的估計性能。

1 跳頻信號與空時頻矩陣模型

1.1 跳頻信號模型

假設第n個跳頻信號sn(t)的跳周期為Tn，在觀測時間內共有K個完整跳，第k(k=1,2,…,K)個完整跳的中心頻率為fnk，初相為φnk，最開始非完整跳的持續時間為Δtn0，中心頻率為fn0，初相為φn0，則

(1)

式中，rect(t)表示單位矩形脈沖函數。假設在觀測時間(0,T]內共有N個跳頻信號，則接收信號可表示為

(2)

式中：sn(t)表示第n個跳頻信號；cn表示第n個跳頻信號的幅度；v(t)表示均值為零，方差為σ2的高斯白噪聲。

假設陣列結構為均勻面陣，x軸方向有N個陣元，y軸方向有M個陣元，陣元間距為d，并且滿足d

圖1 入射角度示意圖

假設陣元噪聲為高斯白噪聲，坐標原點處的陣元為參考陣元，則均勻面陣中任一陣元的輸出可以表示為[12]：

(3)

式中：yknm表示x軸位置為n，y軸位置為m的第k個跳頻信號的陣元輸出；δknm表示x軸位置為n，y軸位置為m的第k個跳頻信號的接受增益；

τknm=d(ncosθksinφk+msinθksinφk)/λ

λ為入射波的波長，表示x軸位置為n，y軸位置為m的第k個跳頻信號相對于參考陣元信號的時延；vnm(t)表示噪聲信號。

由圖1的入射角度示意得到：

(4)

推導出θk與φk的表達式為：

(5)

x軸上N個陣元的導向矢量

Αx=

[a1(θ1,φ1),a2(θ2,φ2),…,an(θk,φk)]

(6)

式中，

an(θk,φk)=an(αk)=

[1,ej2πdcos αk/λ,…,ej2πd(N-1)cos αk/λ]T

y軸上M個陣元的導向矢量

Αy=[b1(θ1,φ1),b2(θ2,φ2),…,bm(θk,φk)]

(7)

式中，

bm(θk,φk)=bm(βk)=

[1,ej2πdcos βk/λ,…,ej2πd(M-1)cos βk/λ]T

根據式(6)、(7)可得，由導向矢量組成的陣列流型矩陣為：

A=

[ΑxD1(Αy),ΑxD2(Αy),…,ΑxDM(Αy)]T

(8)

式中，Dm(·)表示由矩陣Αy的m行構造的一個對角矩陣。

因此，將跳頻信號表示成矢量形式，陣列的快拍矢量模型為：

X(t)=Y(t)+V(t)=AS(t)+V(t)

(9)

式中：X(t)表示陣列接收信號的數據矢量；S(t)表示信源的數據矢量；V(t)表示陣列的噪聲數據矢量。

1.2 跳頻信號協方差矩陣的構造

跳頻信號是載頻隨機跳變的寬帶信號，因此構建的均勻面陣的流型矩陣也隨著載頻跳變而變化，但是只考慮某一跳持續時間內時，每個跳頻信號的載頻都是恒定的，因此流型矩陣也是固定的，可以將其簡化為窄帶信號處理。因此，本文首先采用文獻[8]中介紹的組合時頻法將跳頻信號分解為一個個跳，然后選擇時頻圖上一跳來構造空時頻矩陣。

跳頻信號xi(t)與xj(t)離散形式的Cohen類互時頻分布定義為[13-14]：

(10)

因此，跳頻信號x(t)的空時頻分布定義為：

XH(t+l-τ)e-j4πfτ

(11)

式中，

[DXX(t,f)]ij=Dxixj(t,f)

為各陣列輸出信號之間的互時頻分布。因此，跳頻信號的時頻域協方差矩陣為：

E[DXX(t,f)]=E[DYY(t,f)]+E[DNN(t,f)]=

ADSS(t,f)AH+E[DNN(t,f)]

(12)

2 跳頻信號2D-DOA的估計

2.1 基于2D-MUSIC算法估計2D-DOA

(13)

式中：US為K個大特征值對應的特征向量張成的信號子空間；UN為(NM-K)個小特征值對應的特征向量張成的噪聲子空間；Ξ為E[DXX(t,f)]特征值組成的對角矩陣。

因此，根據正交子空間原理，由噪聲子空間UN構造的2D-MUSIC算法空間譜函數P2D-MUSIC可以表示為[15-16]：

P2D-MUSIC=

(14)

根據P2D-MUSIC，通過二維搜索，使得P2D-MUSIC取得極值的(θ,φ)即為跳頻信號的二維DOA參數。這種方法雖然簡單有效，但是需要在跳頻信號的方位角和俯仰角的所有定義域內進行譜峰搜索，使得算法運算量較大。

2.2 基于求導RD-MUSIC算法估計2D-DOA

根據P2D-MUSIC定義檢測量

Ψ(αk,βk)=[an(αk)?bm(βk)]HUN·

(15)

可以進一步變形為：

企業建立先進的經濟管理制度之后，管理者如果沒有將管理制度落實，加之企業內部不同的管理部門職責沒有真正落實，員工的實際工作就沒有落實，以上因素都是造成企業無法適應經濟體制發展的阻礙，甚至對企業的正常發展造成影響。為了實現管理制度的實際作用，建立對應的制度，企業要關注經濟制度的具體落實情況，不同部門的員工和管理者要明確經濟制度的含義和價值，將經濟制度落實在日常工作中，保證企業發展的穩健。

(16)

(17)

假設αk為固定值，βk為待計算的值，檢測量Ψ(αk,βk)對βk求導并令其導數等于零，即：

?Ψ(αk,βk)/?βk=0

(18)

根據式(18)將αk作為搜索對象最終得出βk的值。式(18)的具體求解過程為：令ck=ej2πdcos βk/λ，則

式(18)可以轉化為：

(19)

(r11+r22+…+rMM)+

(20)

根據式(19)、(20)可以進一步得到：

(r12+r23+…+r(M-1)M)+

(21)

根據多項式求根可知，式(21)存在2(M-1)個根，但是只有落于單位圓上的根才是ck真正的解。由于噪聲的影響，根據式(17)可以求得αk的估計值為：

(22)

根據式(22)對αk進行搜索，搜索出的K個峰值即為αk的估計值，然后進一步可以得到βk的估計值為：

(23)

根據式(22)、(23)的αk、βk的估計值結合式(4)即可以得到跳頻信號的方位角θk與俯仰角φk。

綜上所述，本文所提算法只需要在αk估計時進行一維搜索，并且βk的估計值與αk的值一一對應，不需要角度匹配。

3 算法步驟

根據上述的理論推導，基于求導的降維MUSIC的均勻面陣跳頻信號2D-DOA快速估計算法的步驟可以歸納為：

步驟1根據式(8)構建跳頻信號陣列的快拍矢量模型；

步驟2根據式(11)得到跳頻信號的時頻域協方差矩陣；

步驟3根據式(13)構建跳頻信號2D-DOA估計的空間譜函數；

步驟4根據式(21)對αk進行搜索估計出αk，然后根據式(22)求解得到βk的估計值；

步驟5根據估計出的αk和βk，運用式(4)計算出跳頻信號的2D-DOA參數。

4 仿真與分析

假設陣列為圖1所示的均勻面陣，陣元間距d=10 m；入射信號為4個跳頻信號(FH1～FH4)，跳周期均為10 μs，采樣率為50 MHz；其方位角和俯仰角參數(θ,φ)分別為(20°,40°)，(80°,75°)，(40°,60°)，(70°,70°)。

采用方位角和俯仰角估計的均方根誤差來衡量算法的有效性。方位角和俯仰角的RMSE定義為：

(24)

4.1 實驗1

為了驗證算法性能隨噪聲的信噪比變化的影響，假設均勻面陣的x、y軸方向的陣元數均為7個，每跳的快拍數均為1 500，信噪比從-5 dB以2 dB為步進遞增至15 dB，求導RD-MUSIC算法和2D-MUSIC算法的方位角和俯仰角的RMSE如圖2所示。

(a) RMSEθ

(b) RMSEφ

從圖2可以看出，隨著信噪比的增加，求導RD-MUSIC算法和2D-MUSIC算法的跳頻信號方位角和俯仰角的估計精度都越來越高，但是信噪比達到一定值時估計精度趨于穩定；求導RD-MUSIC算法的估計精度整體上要高于2D-MUSIC 算法；低信噪比條件下，求導RD-MUSIC算法和2D-MUSIC算法的估計性能相差不大，高信噪比條件下性能相差較大。

4.2 實驗2

為了驗證快拍數對算法性能的影響，假設均勻面陣的x、y軸方向的陣元數均為7個，信噪比為5 dB，每跳的快拍數從1 000以200為步進遞增到2 000，求導RD-MUSIC算法和2D-MUSIC算法的方位角和俯仰角的RMSE如圖3所示。

(a) RMSEθ

(b) RMSEφ

由圖3可以看出，隨著陣元數的增加，求導RD-MUSIC算法和2D-MUSIC算法的方位角和俯仰角的估計精度都逐漸增加，但是當快拍數達到2 400左右時，估計精度趨于穩定；不同快拍數下求導RD-MUSIC算法的估計精度要高于2D-MUSIC算法。

4.3 實驗3

為了驗證陣元數對算法性能的影響，假設每跳的快拍數均為1 500，信噪比為5 dB，均勻面陣的x、y軸方向的陣元數從5個以1為步進遞增至15個，求導RD-MUSIC算法和2D-MUSIC算法的方位角和俯仰角的RMSE如圖4所示。

由圖4可以看出，隨著陣元數的增加，求導RD-MUSIC算法和2D-MUSIC算法的估計精度都越來越高；求導RD-MUSIC算法的估計精度整體上要高于2D-MUSIC算法，陣元數小于10時，兩種算法的估計精度相差不大，陣元數大于10后，求導RD-MUSIC算法的估計精度要遠高于2D-MUSIC算法。

5 結 語

本文提出一種基于求導降維MUSIC的均勻面陣跳頻信號2D-DOA快速估計算法，該算法將二維波達方向估計問題轉化為兩級一維波達方向的估計問題。相比較傳統2D-MUSIC算法，所提算法避免了二維角度搜索與配對，大大降低了算法復雜度。同時，在求解過程中始終保持了方向向量各元素間的相關性，提高了算法的估計性能。仿真結果表明，本文算法不僅可以提高運算時間還可以提高估計精度。

(a) RMSEθ

(b) RMSEφ