等壽命曲線的變截面鋼板彈簧可靠性分析方法

張 潔，盧劍偉，王翔宇，李海波

（1.合肥工業大學 汽車與交通工程學院，合肥 230009；2.江淮汽車股份有限公司 技術中心，合肥 230601）

鋼板彈簧是汽車懸架中常見的彈性元件，由于其結構簡單，成本較低，被廣泛應用于載貨汽車和部分采用非獨立懸架的客車上[1]。鋼板彈簧主要分為普通多片鋼板彈簧、變截面鋼板彈簧、兩級變剛度鋼板彈簧和兩級變剛度復式鋼板彈簧等[2]。同等質量下，變截面鋼板彈簧能夠儲存更多的彈性勢能，從而節省材料，使用更為廣泛[3]。

為了研究變截面鋼板彈簧的彎曲應力分布并預測其疲勞壽命，將有限元方法廣泛用于鋼板彈簧的分析和設計優化中[2-5]。在不同的載荷工況下，簧片的幾何特征可能會發生較大變化，其應力分布也將改變。而且，結構參數對應力分布和疲勞壽命有很大影響，設計者要反復改變結構參數并建立有限元模型從中尋找最優簧片參數值，模型建立和計算的工作量大從而延長了研發周期[3,6]。因此，提出簡化計算模型對于研究變截面鋼板彈簧的彎曲應力分布和預測其疲勞壽命具有重要意義。

本文在前期研究的基礎上提出一種簡化的計算方法，可以較為便捷地計算分析變截面鋼板彈簧彎曲應力的分布情況，并分別以彎曲簧片和平直簧片在不同載荷工況下的彎曲應力分析為例，通過算例對該計算分析方法進行了對比驗證。結合Goodman直線修正公式和鋼板彈簧材料的P-S-N曲線繪制出不同交變力下的疲勞壽命等值線圖。通過算例驗證了結果的準確性，且提出的計算分析方法精度較高、計算快速便捷，充分滿足了工程應用的要求，相關研究方法有助于縮短變截面鋼板彈簧的設計研發周期。

1 考慮變截面鋼板彈簧彎曲時的應力分布

變截面鋼板彈簧初始彎曲時所承受的均布載荷如圖1所示，其中簧片中部板簧座承受U型螺栓夾緊力。本文將U型螺栓承受的力簡化為均布載荷和集中載荷兩種情況，基于Timoshenko梁理論計算沿簧片長度方向的彎曲應力分布。其中簧片兩端卷耳處鉸接可沿水平方向自由運動，簧片中間受到U型螺栓夾緊后等效載荷。鋼板彈簧詳細數據見表1。

表1 鋼板彈簧參數表 mm

假設梁的縱向對稱面內只作用大小相等、轉向相反的一對力偶，使梁產生純彎曲變形，此時梁的橫截面上只有彎矩，所以只存在與彎矩相關的正應力[7]。為了簡化模型，忽略梁的剪切應力，只考慮與彎矩相關的彎曲正應力。

圖1 變截面鋼板彈簧初始彎曲時承受的均布載荷

如圖1所示，簧片弧高為H，簧片總長為L，U型螺栓夾緊區域為轉角?α1至+α1且受到均布載荷q的壓力。因簧片為對稱結構，取圖中對稱結構右側區域，當0＜?α1＜?α1時（圖2），簧片截面厚度h為定值；當?α1＜?α1＜?α13時，簧片截面厚度h為變量，即簧片出現變截面性質；當?α13＜?α1＜?α14時，簧片截面厚度h為定值。

圖2 鋼板彈簧截面示意圖

由材料力學可知，截面處的彎曲正應力為：

式中：M(x)為橫截面上的彎矩；W為抗彎截面系數，與截面的幾何形狀有關。簧片為左右對稱結構，現分別計算當?α4＜α＜??α14時，簧片所受到的剪力Fs。

當?α4＜α＜?α1時，

當?α1＜α＜??α1時，

當?α1＜?α1＜?α14時，

因為，

所以，當?α4＜α ＜?α1時，

當?α1＜α ＜?α1時，

當?α1＜?α1＜?α14時，

由于該鋼板彈簧的變截面性質，當α ∈ (? α4,?α3)∪(α3,α4)時，矩形截面的高度h(α ) =tmin； 當α∈(? α1,α1)時，h(α ) =tmax。其它區域鋼板彈簧截面高度可以利用多項式擬合得出，方法不再贅述。由此得到鋼板彈簧隨轉角α變化時的彎曲正應力分布的數學表達式。

取0＜α＜ α14的板簧右側二分之一模型為例。

當0＜α ＜ α1時，

當α1＜α ＜α2時，

當α2＜α ＜α3時，

當α3＜α＜α4時，

簧片左側區域彎曲應力分布與上述求解方法一致。至此，彎曲簧片受到均布載荷夾緊力的彎曲應力分布數學表達式已建立。同理，當U型螺栓夾緊簧片時，假設簧片承受集中力P，作用點為板簧座中部。按上述方法，同樣可以得到隨轉角α變化時簧片彎曲正應力的表達式。不同于簧片承受均布載荷，當?α1＜α＜?α1時，彎矩值與上述模型不同。

當 ?α1＜ α1＜ 0時，

當0＜α＜ α1時，

所以，當?α1＜α＜0時，

當0＜α＜ α1時，

其它區域彎曲應力表達式與簧片承受均布載荷時一致。

2 考慮變截面鋼板彈簧平直時的應力分布

鋼板彈簧在制造過程中常被加工成彎曲梁形式，受到外載時，板簧由于形變會導致初始弧高發生變化[1]。現建立平直鋼板彈簧及其板簧座處承受均布載荷時的計算模型，以探究簧片初始平直時的彎曲應力分布情況。變截面鋼板彈簧平直時承受的均布載荷力如圖3所示。由于該簧片的變截面特性，所以將簧片沿長度變化方向分為數段，便于研究其彎曲應力分布。與上述求解初始彎曲時的方法相同，經理論推導可知該簧片不同位置處的彎矩值和應力分布。

當0＜x＜l3時，

當l3＜x＜l4時，

當l4＜x＜L時，

圖3 變截面鋼板彈簧平直時承受均布載荷力

同理，由于每段板簧的截面高度不同，所以每段彎曲應力由分段給出。

當0＜x＜l1時，

當l1＜x＜l2時，

當l2＜x＜l3時，

當l3＜x＜l4時，

當l4＜x＜l5時，

當l5＜x＜l6時，

當l6＜x＜L時，

3 變截面鋼板彈簧有限元仿真與模型驗證

將上述建立的計算分析模型與有限元模型結果進行對比。由供應商處獲得鋼板彈簧的材料性質參數，具體值見表2。

表2 鋼板彈簧的材料性質參數

有限元模型的約束采用兩端卷耳可沿水平方向自由移動的方式。網格為六面體，網格尺寸為5 mm。在ANSYS軟件中建立有限元模型，并通過板簧座施加U型螺栓均勻分布的夾緊力P，求解鋼板彈簧彎曲主應力，其結果如圖4所示。

圖4 變截面鋼板彈簧的有限元彎曲應力結果

在Matlab中依次繪制出上述計算分析模型和有限元模型的彎曲應力值，如圖5所示。

圖5 計算模型和有限元模型的彎曲應力值

由圖5可知，簧片承受的均布載荷顯著降低了板簧座應力集中現象處的應力峰值。四種結果都表明，在距卷耳約230 mm、630 mm和645 mm處均出現明顯的應力集中現象，經查證，該處同為簧片的變截面過渡區域。為了降低應力集中處的應力峰值，簧片的設計加工應為較平緩的截面過渡，這與實際情況吻合。

分別將建立的各個數學公式模型應力結果與有限元模型應力結果進行對比（表3～5）。

表3 有限元與彎曲簧片均布載荷應力值對比

表4 有限元與彎曲簧片集中載荷應力值對比

表5 有限元與平直簧片均布載荷的應力值對比

由表可知，建立的數學表達式求解彎曲簧片均布載荷的應力值和有限元應力值相對誤差較小，其中，在距卷耳100 mm處，兩者相對誤差為-2.24%，在距230 mm、500 mm和645 mm處的相對誤差分別為-1.19%、-0.63%和0.84%，而且兩者在應力集中處的結果也十分接近。因此，建立的計算分析模型可代替該簧片的有限元模型并用于后續分析。

彎曲簧片受到等效集中力在距卷耳645 mm處（此處為應力集中點）的相對誤差為2.13%，整體應力分布有明顯的應力集中現象，精度稍遜于均布載荷工況下的彎曲簧片。

對比發現簧片平直狀態下的整體應力分布值顯著高于簧片彎曲狀態下的應力值，這也間接表明彎曲情況下的鋼板彈簧有較好的儲存彈性勢能的能力[3]。在設計初始應考慮自由狀態下弧高對彎曲應力分布的影響。因此，通過改變模型中弧高數據，可快速得到簧片中任意一點應力值的變化。距一端卷耳230 mm、630 mm和645 mm處的應力值隨弧高變化情況如圖6所示。

圖6 10 000 N載荷下應力值與弧高變化情況

由圖6可知，不同點的應力值與弧高有明顯非線性關系，當弧高變大時應力值逐漸變小。

4 鋼板彈簧疲勞可靠性分析與等壽命圖繪制

由于疲勞壽命本身具有統計意義，所以根據材料在不同存活率下的S-N 曲線來估算零件在此存活率下的使用壽命[8]。該簧片采用的材料是60Si2Mn，根據該材料的 P-S-N 試驗曲線，以雙對數線性函數擬合如下：

式中：P為存活率；σ為對稱應力幅；Np為在此應力水平作用下存活率為p時的疲勞壽命；ap、bp為擬合參數。各存活率下具體參數見表6[9]。

表6 不同存活率下S-N曲線擬合參數

材料的S-N曲線是基于均值為0的載荷確定的，平均應力對疲勞損傷計算結果有較大的影響。本文采用工程中應用較為廣泛的Goodman直線修正法進行修正計算[10]。

由圖5可知，不同模型均表明簧片在距卷耳230 mm、630 mm、645 mm處時有明顯的應力集中現象。現取3處有應力集中現象的點，再加上板簧座中心（該處距卷耳725 mm）共4處疲勞熱點，預測其疲勞壽命。

根據Goodman直線修正公式和鋼板彈簧材料的P-S-N曲線得出某一循環次數下的應力均值和幅值，再根據上文建立的計算分析模型中載荷與應力的對應關系，得出4處疲勞熱點在某一應力下的載荷均值和幅值響應。由此得出當存活率為50%、循環50萬次的疲勞壽命，如圖7所示。

經核算，距卷耳630 mm、承受相等交變力時的疲勞壽命是4處疲勞熱點中的相對最低點。以該點為疲勞熱點，當存活率為90%和50%時，得出該簧片在不同循環次數下的等壽命曲線圖，如圖8和圖9所示。

圖7 四處疲勞熱點在50%存活率下50萬次循環壽命圖

圖8 90%存活率下的鋼板彈簧等壽命曲線

圖9 50%存活率下的鋼板彈簧等壽命曲線

同理，可得出當循環次數為20萬次時不同存活率下的鋼板彈簧壽命曲線，如圖10所示。

在有限元軟件ANSYS中建立疲勞分析模型，以驗證上述等壽命曲線的正確性。在部分載荷均值和幅值的加載下，計算距卷耳630 mm處的循環次數，并與等壽命曲線圖結果對比，見表7。

圖10 20萬次循環不同存活率下的鋼板彈簧等壽命曲線

表7 等壽命曲線圖循環次數與有限元壽命循環次數對比

由表7可知，等壽命曲線圖得到的循環次數比有限元計算結果略小。原因是前文推導的彎曲應力公式計算值比有限元計算結果小，因此由式（27）和Goodman直線修正公式計算得出的循環次數比有限元計算結果偏小。有限元計算結果也表明整個簧片最低壽命點為距卷耳630 mm的變截面處，這與前文分析吻合。從本次的對比結果可知，等壽命曲線圖和有限元分析的誤差約在10%左右，表明等壽命曲線圖結果偏于保守，這也進一步證明了等壽命曲線圖的合理性和準確性，由此可見計算分析模型可滿足工程應用精度要求并大幅降低計算時間。

5 結論

本文建立變截面鋼板彈簧計算模型求解彎曲簧片和平直簧片在不同載荷工況下的彎曲應力，并與有限元分析結果進行對比。根據疲勞壽命準則和建立的計算分析模型，繪制出該鋼板彈簧的疲勞壽命等值線圖，可以得到以下結論：

（1）提出了一種適用于變截面鋼板彈簧的等疲勞壽命分析方法，并給出了具體流程，算例與計算結果表明該方法精度較高。該疲勞壽命分析方法既能正確反映鋼板彈簧的疲勞性能，又能大幅度降低計算時間、縮短設計周期，是類似零部件可靠性分析的有效手段。

（2）建立精度滿足要求的變截面鋼板彈簧彎曲應力計算分析模型，利用此模型可精確獲得鋼板彈簧任意點的應力與簧片結構參數、應力與載荷之間的對應關系。

（3）利用P-S-N曲線進行疲勞分析，得到鋼板彈簧等壽命圖，獲取在給定載荷工況下的簧片循環次數，相關結論可為臺架試驗提供理論基礎。