解析幾何常見定點問題的分類例析

定點問題是解析幾何考查重點，也是近年來高考命題的熱點.此類問題常與軌跡問題，曲線系問題等相結合，考查直線與圓、圓錐曲線、直線和圓錐曲線位置關系等相關知識，命題具有綜合性強、難度大、運算量大的特點，其中蘊含著化歸與轉化、函數和方程等很多數學思想方法.

解題的關健在于尋找題中用來聯系已知量與未知量的垂直關系、中點關系、方程、不等式，然后將已知量與未知量代入上述關系，通過整理，變形轉化為過定點的直線系、曲線系來解決.但是定點問題類型很多，方法技巧也很雜，下面選擇解析幾何中的常見定點問題的經典案例加以分類闡述.

一、直線過定點問題

例1 已知A，B是拋物線y2=2px（p>0）上異于原點O的兩個不同點，直線OA和OB的傾斜角分別為α和β，且α+β=π4時，證明：直線AB恒過定點，并求出該定點的坐標.

二、圓過定點問題

例3 平面直角坐標系xOy中，如圖，已知橢圓C：x24+y21=1的上、下頂點分別為A、B，點P在橢圓C上且異于點A、B，直線AP、BP與直線l：y=-2分別交于點M、N.

（1）設直線AP、BP的斜率分別為k1，k2，求證：k1k2為定值;

（2）當點P運動時，以MN為直徑的圓是否經過某定點？請證明你的結論.

當然，定點問題也還有很多其他的類型，上述案例可能不能全部囊括，然而其求解方法應該都加以了闡述.特別要強調的是，當直線方程或者一些條件難以化簡時，要想到首先運用特殊法，找到定點，然后加以證明，以達到簡化運算的目的.

（作者：范習昱，鎮江市丹徒高級中學）