平面幾何Menelaus和Ceva定理簡介

摘要：學習數學中三角形三點共線的性質，即梅涅勞斯定理。還有三角形三線共點性質，即塞瓦定理。學習這兩個定理可以對初中的數學學習起到很大幫助，可以幫助我們進行幾何中共線、共點、平行、比例等等相關定理的證明。

關鍵詞：梅涅勞斯;塞瓦;共線共點

Menelaus和Ceva定理在數學中用處很大！

可以很容易地解決幾何中共線，共點，平行，比例，……以及相關定理的證明等問題。

故有必要介紹一下Menelaus（梅涅勞斯）定理和Ceva（賽瓦）定理

Menelaus定理：1直線截△3邊（或其延長線）所得（起點到分點線段分點到終點線段）總積=1

Ceva定理：1點與△3頂點所在直線截對邊的分點，所得（起點到分點線段分點到終點線段）總積=1

這兩個定理表達式驚人的雷同。所以把它們合在一起介紹。

先來介紹起點，終點，分點。

如：線段AB（從A到B）A→B，點A為起點，點B為終點。

線段BA（從B到A）A←B，點B為起點，點A為終點。

當點C在線段AB所在直線上時，把點C叫線段AB的分點。

點C可能在線段AB內（內分），也可能在線段AB外（外分）。

一般不考慮點C與A，B重合的情況。如下圖：

情況1

情況2

情況3

在△ABC中，一般按照字母順序循環排列，如圖：

如A→B→C→A，

在線段AB中，點A為起點，點B為終點。

在線段BC中，點B為起點，點C為終點。

在線段CA中，點C為起點，點A為終點。

現在再來看看Menelaus（梅涅勞斯）定理中截△的直線。

該直線可能在三角形外，也可能在△上，還可能在△內。

這三種情況都是差不多的。我們先看看該直線在△內的情況。

該直線在△內可能過頂點，也可能不過頂點。

這兩種情況也差不多。現在看該直線在△內不過頂點的情況。

如圖：直線DEF截△ABC三邊分別于D，E，F。

在線段AB中，點A為起點，點B為終點，點D為分點（內分）。

在線段BC中，點B為起點，點C為終點。點F為分點（外分）。

在線段CA中，點C為起點，點A為終點，點E為分點（內分）。

根據：（起點到分點線段分點到終點線段）的總積=1由此可得：ADDB×BFFC×CEEA=1

有了以上基礎，現在再來看看Ceva（賽瓦）定理：

一點與△的三頂點所在直線截對邊一分點，所得的（起點到分點線段分點到終點線段）總積=1

這點可能在△內，也可能在△上，還可能在△外。這三種情況都差不多。現在介紹該點在△外的情況。

如圖：點D在△ABC外，

AD交BC于E（外分），

BD交CA于G（外分），

CD交AB于F（內分）。

在線段AB中，A為起點B，為終點，F為分點（內分）。

在線段BC中，B為起點C，為終點，E為分點（外分）。

在線段CA中，C為起點A，為終點，G為分點（外分）。

根據（起點到分點線段分點到終點線段）總積=1可以得到：AFFB×BEEC×CGGA=1

現在證明：Menelaus（梅涅勞斯）和Ceva（塞瓦）定理的正確性。

Menelaus（梅涅勞斯）定理：一直線截△3邊（或其延長線）

所得（起點到分點線段分點到終點線段）總積=1

如圖：直線DFE截△ABC三邊分別為D，E，F，

求證：ADDB×BEEC×CFFA=1。

欲證：ADDB×BEEC×CFFA=1，連接BF，DC。由面積公式得：

①S△ADFS△BDF=ADDB②S△CDFS△ADF=CFFA③S△BDFS△CDF=0.5DF×點B到DF距離0.5DF×點C到DF距離=BEEC

由此可得：ADDB×BEEC×CFFA=S△ADFS△BDF×S△BDFS△CDF×S△CDFS△ADF=1

現在來看看Ceva（賽瓦）定理的證明。

Ceva（賽瓦）定理：

一點與△的3頂點所在直線截對邊一分點。所得的（起點到分點線段分點到終點線段）的總積=1

如圖：點D在△ABC外，AD交BC于E，BD交CA于F，CD交AB于G。

求證：AGGB×BEEC×CFFA=1

證明：由圖可知：直線DGC截△ABE于G，C，D三點。

由Menelaus（梅涅勞斯）定理可得：AGGB×BCCE×EDDA=1

再由圖可知：直線FDB截△CAE于F，D，B三點。

由Menelaus（梅涅勞斯）定理可得CFFA×ADDE×EDBC=1AGGB×BEEC×CFFA=1

上下兩式相乘得：AGGB×BCCE×EDDACFFA×ADDE×EBBC=1

經過化解整理得：AGGB×BEEC×CFFA=1問題得以證明。

現在來看看Menelaus（梅涅勞斯）和Ceva（塞瓦）逆定理

Menelaus（梅涅勞斯）逆定理：在△三邊上取三分點（要求1或3個外分點）。

如果所得的（起點到分點線段分點到終點線段）的總積=1那么：這三分點共線。

Ceva（塞瓦）逆定理：在△三邊上取三分點（要求0或2個外分點）。

如果所得的（起點到分點線段分點到終點線段）的總積=1

那么：這三分點與所對頂點構成的三直線共點（或平行）。

現在來證明Menelaus（梅涅勞斯）和Ceva（塞瓦）逆定理

Menelaus（梅涅勞斯）逆定理：

如圖：在△ABC中，D內分AB于D，E內分BC于E，F外分AC于F，且：ADDB×BEEC×CFFA=1。

求證：D，E，F三點共線。

證明：假設D，E，F三點不公線。延長FE交AB于G。（G內分AB）

由假設得：直線FEG截△ABC于G，E，F

由Menelaus（梅涅勞斯）定理可得：AGGB×BEEC×CFFA=1

比較已知ADDB×BEEC×CFFA=1可得：AGGB=ADDB→AGGB+GBGB=ADDB+DBDB→ABGB=ABDB→GB=DB，由于G，D都內分AB，故G和D重合。

由于G，E，F共線，所以D，E，F三點共線。問題得證。

現在來證明Ceva（塞瓦）逆定理

如圖：E內分AB于E，F外分BC于F，G外分CA于G，且：AEEB×BFFC×CGGA=1。

求證：AF，BG，CE三線共點。（或平行）

證明：設AF和CE相交于D，連接BD交CA于H。（BDH共線）

由圖可知：在△ABC中，AD交BC于F（F外分BC）

BD交CA于H（H外分CA）

CD交AB于E（E內分AB）

由：Ceva（塞瓦）定理可得：AEEB×BFFC×CHHA=1

比較已知AEEB×BFFC×CGGA=1可得：CHHA=CGGA→CH+HAHA=CG+GAGA→CAHA=CAGA→AH=AG。由于H，G都是CA的同向的外分點。

所以H與G重合，B，D，H共線，故B，D，G共線。

因為AF，CE交于D，故AF，BG，CE三線共點。

特別的：當AF和CE的交點D在無限遠處（也就是AF∥CE）。

此時AF∥BG∥CE。限于篇幅證明從略。

知道了Menelaus（梅涅勞斯）和Ceva（塞瓦）定理及其逆定理。對于解決有關共線、共點的性質以及共線、共點的判斷，比例線段，以及相關的幾何定理的證明問題等有很大的幫助。

可以解決諸如判斷△三垂線共點，判斷△三角平分線共點，判斷△三中線共點等諸多問題。

現在出四道關于這方面的題：

1. 已知：AM為△ABC中線，過M的直線交AB于D，交AC于E。

求證：AB×DEAD×EM=定值。

2. 已知：BE為△ABC內角平分線，AD為△ABC外角平分線，CF為△ABC外角平分線。

求證：直線AD，BE，CF共點。

3. 求證：不等邊△的三條頂角的外角平分線與對邊所在直線的三交點共線。

4. 求證：過圓內接△的三頂點做該圓切線與對邊相交的三交點共線。

作者簡介：

劉勰佺，四川省內江市，四川省內江市東興區新廟小學。