函數奇偶性的工具作用

賀祝華

函數的奇偶性是函數的一個重要性質，其幾何表現是圖像的對稱性.對具有對稱性特征的函數問題，我們可以借助函數奇偶性的工具作用來解答.

一、利用奇偶性研究函數圖像的對稱性

一般地，若函數y= （x+a）-b為奇函數，則其圖像關于原點對稱，從而函數y=f（x）的圖像關于點（a，6）對稱;若函數y=f（x+a）為偶函數，則其圖像關于y軸對稱，從而函數y= f（x）的圖像關于直線x=a對稱.

小結 先對f（x）的解析式進行適當變形，再找一個與f（x）相關聯的偶函數，利用偶函數的圖像關于γ軸對稱，通過圖像變換求f（x）圖像的對稱軸.

二、利用奇偶性研究兩函數交點或函數零點的關系

奇函數的圖像關于坐標原點對稱，偶函數的圖像關于γ軸對稱，若奇函數或偶函數有零點，則所有零點的和為零.

小結 此類問題求解的關鍵是找到兩個函數共同的對稱中心，靈活運用對稱性求解，或者構造一個奇函數，利用奇函數的零點之和為零求解.

解 由函數解析式可知兩函數的圖像都關于直線x=l對稱，作出兩函數的大致圖像如右圖所示.由圖可知兩函數圖像共有6個交點，則兩個關于直線x=l對稱的交點的橫坐標之和等于2.故所有交點的橫坐標之和等于6.選B.

小結 本題需要利用函數的性質判斷函數的圖像特點，其中函數圖像的對稱性是非常重要的性質，與函數奇偶性密切相關.

三、利用奇偶性研究函數值的相互關系

例5已知函數f（x）=（x-1）3+l，則f（-4）+f（-3）+…+f（0）+…f（5）+f（6）=____.

小結 此類問題需要判斷出該函數是由什么樣的奇函數或偶函數通過平移變換所得，再借助圖像的對稱性解決問題.“y=f（X）的圖像關于點P（a，6）成中心對稱圖形”的充要條件為“y=f （x+a）一6是奇函數”.

例6 （2012年高考全國新課標文科卷第16題）設函數f（x）=的最大值為M，最小值為m，則M+m=____.

由f（x）=1+g（x），可知f（x）的圖像可由g（x）的圖像向上平移1個單位長度得到，f（x）的圖像關于點（0，1）對稱.若當x=xo時，函數f（x）取得最大值M，則由對稱性可知，當x=-xo時，函數f（x）取得最小值m.所以M+m= f（xo）+f（-xo）=2.

小結 通過將已知的奇函數的圖像平移，使得新函數圖像仍具有點的對稱性.

我們可以從這三類問題中發現，對與圖像對稱性相關的問題，要學會借助函數奇偶性的工具作用，抓住問題的本質，制訂解題方案，從而快速解決問題.