解析幾何中數形結合思想運用的三個途徑

文／張紅紅

解析幾何的實質是通過建立坐標系，用代數方法研究幾何問題.數形結合正是解決解析幾何問題的一種重要的數學思想方法，主要分為兩條思維可逆的主線：第一，將代數問題幾何化，即以形助數，運用圖形的幾何性質來解決問題：第二，將幾何問題代數化，運用代數特征進行運算來解決問題，即以數助形.當然，數與形并不是孤立的，常常在一道題中既有數向形轉化，也有形向數轉化，兩者相得益彰.

一、形向數轉化——重在代數運算

以數助形，突出問題的代數特征，通過合理簡捷的運算來解決問題，思維量不大，但是對代數運算能力要求較高.這類題型體現了用代數方法研究解析幾何問題，是最基本的題型.

小結 線段的長度和三角形的高是“形”，由兩點間的距離公式和點到直線的距離公式得到的代數式是“數”，設出動點Q的坐標后，就可以將形轉化為數，利用基本不等式得到定值，

二、形與形互化——重組幾何量

突出問題的幾何特征，通過幾何量的重新組合，思維量較大，常常需要融入等量代換等化歸思想.這類題型的理解層次較高.

例2已知A（1，1）為橢圓 內的一點，F，為橢網的左焦點，P為橢圓上的一動點，求PF1+PA的最大值和最小值.

分析 解這道題常有三種思路.思路1：設點P的坐標為（x0，y0），由F1（-2，0），A（1，1），將幾何量PF1+PA表示成接下來求該式的最值時考生往往會陷入困境.思路2：由PF1+PA≥AF1，即三角形的兩邊之和大于第三邊，當點P落在線段AF1上時等號成立，此時PF1+PA取得最小值.可是P為橢圓上的一動點，無法落在線段AF1上，所以常規思路受挫.思路3：PF1為焦半徑，不妨通過橢圓的定義將其轉化成2a-PF7，即6-PF2，則原式轉化為PFi+PA =6+PA-PF2，再通過三角形的兩邊之差小于第三邊來求解.

解 由題設可得a=3，6=5，c=2，左焦點F1的坐標為（-2，0），右焦點F2的坐標為（2，0）.