用數形結合思想提升解向量題的能力

張宏翀 董義宏 安宏

在進行有關向量的運算時，可以將數與形有機地結合起來.通過數形轉化，將幾何知識與代數知識有機地結合在一起，能為多角度地展開解題思路提供廣闊的空間.

一、向量加減法幾何意義中的數形結合

向量的加減法與平行四邊形（或三角形）法則，是向量基本運算的數與形的兩種類型，這兩種類型的合理轉化是求解與此相關問題的重要方法.

分析 本題是向量的夾角問題，又有兩個向量的和的表達式，可以考慮用向量和的幾何意義，即平行四邊形法則及相關知識去處理.

解延長OA，與過點C且平行于OB的直線交于點D;延長OB，與過點C且平行于OA的直線交于點E，由題意可得△OCD為直角三角形，且∠COD=60°，∠OCD=90°，由OC=2，可得OD=

小結本題借助向量的平行四邊形法則，通過畫平行四邊形，發現了一個直角三角形，通過這個直角三角形得到最終結論.

例2已知C是線段AB上的一點，P為直線AB

小結此類題目往往需要從向量的減法入手轉化已知條件，巧妙地利用向量的投影、數量積、單位向量及向量的三角形法則或平行四邊形法則進行解答。

二、將幾何圖形問題轉化為向量運算的數形結合

有些向量問題是以幾何圖形為背景，綜合考查向量的有關知識，需要運用向量的運算將問題進行轉化，從而求解。

例3如圖2，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，圓C是直徑為2的圓，MN是圓C的直徑，求AM，BN的最大值及此時MN與AB的關系.

分析 此題以圖形為背景，要求AM，BN的最大值，可以考慮引入一個角變量，將問題用這個角變量表示出來，將形轉化為數，用函數概念去處理.

小結本題建立在形的基礎上，通過引入輔助角，將問題巧妙地轉化為三角問題，通過三角變換得到結論，實現形與數的轉化，也避免了對形的討論.

三、將向量問題轉化為幾何圖形的數形結合

在向量式的基礎上聯想可能涉及的圖形，通過這些圖形得到問題的結論，可以使問題直觀化.

小結 向量式都有它所表達的幾何意義，充分利用幾何意義，使代數問題圖形化、直觀化，便于問題得到解決.對平面向量應用性問題，常常要利用向量的坐標運算，當題中出現明顯的垂直和長度特征，優先考慮建立直角坐標系，用圖形表示出題中給定的條件，再利用幾何意義進行求解.