化歸思想方法在中學數(shù)學教學中的應用
——以解方程（組）為例

廣東省清遠市清城區(qū)清城中學 向金華

近年來，教學實踐顯示，中學生在數(shù)學知識學習的過程中若加強對于化歸思想的運用，往往能夠實現(xiàn)學生數(shù)學思維邏輯能力的提升，促進中學生數(shù)學解題能力的培養(yǎng)以及鍛煉。中學數(shù)學教師在實際的教學過程中加強了對于新型教學理論以及方法的運用，本文分析探討數(shù)學教師在解方程（組）教學過程中如何采用化歸思想，并論述了化歸思想的內涵。

一、化歸思想的概述

把尚未解決或難以解決的問題，通過適當?shù)霓D化，逐步歸結為已經解決或易于解決的問題，從而使原來的問題最終獲解，這種思想稱為化歸思想。它是一種常用的重要的數(shù)學思想，它的運用往往能夠實現(xiàn)對于復雜性較強的數(shù)學問題的解決，通過采用轉化的方式，教師以及學生能夠將復雜的數(shù)學題目簡單化處理，幫助學生掌握相關知識點，從而實現(xiàn)對于各類問題的快速解答。總而言之，化歸思想在數(shù)學解答過程中的實質就是通過轉化的方式將新知識轉化為已知的知識。

二、化歸思想的應用

關于化歸思想的應用，筆者以解方程（組）為例進行了相關總結，具體內容如下：

1．化繁為簡——代入法、加減法

學生在進行方程問題解答時，需要將復雜的問題進行轉換，將其轉變?yōu)樽晕夷芰邮芊秶鷥鹊暮唵螁栴}。解二元一次方程組中的代入法和加減法就是實現(xiàn)化歸的最為典型的方法。通過轉化，把“二元”轉變?yōu)椤耙辉保盐粗D變?yōu)橐阎狗匠探M化為簡單的一元一次方程，以便使用已有的方法求解。但是，在教學實踐中，許多數(shù)學教師往往把教學側重于二元一次方程組如何求解上，過分強調求解的步驟和注意事項，卻忽視了“化歸”思想的滲透，讓學生錯誤地認為只要按部就班地解好方程組就學會“化歸”了，這樣的教學得不償失。如果我們能將“化歸”思想在教學中突顯出來，落到實處，那么學生的分析能力、思維能力、推理能力等將大大提高。

對于解這個方程組，我們用代入消元法和加減消元法都不難求得正解。但深刻領悟到“化歸”精髓的學生，便能想到把方程②變形為3（x+y）+y=14 ③，再把x+y 看作一個整體，將方程①整體代入③得3×4+y=14，解得y=2，從而快速求出方程組的解為。這樣解方程組，豈不妙哉！

2．化生為熟——換元法

在借助化歸思想進行方程題目解答的過程中，教師多采用換元法。它的內核就是借助一個變量將未知式子代替，從而促進題目的有效解答。換元法能將陌生的知識點題目轉換為學生已經熟練掌握的知識，從而將陌生問題進一步轉換為簡單的題目，降低了問題解答難度，在最大程度上保障學生對于陌生知識習題的解答，實現(xiàn)解題效率的提升。換元法是解一些較復雜的分式方程時的一種常用方法，它還可以起到降次的作用，把高次整式方程降為低次整式方程，簡化計算過程，減少計算量，是一種很重要的化歸方法。

對于這個分式方程，如果用常規(guī)的方法去分母，原方程整理后就會變成于是，方程中未知數(shù)x 的次數(shù)變成了4 次，用現(xiàn)有的知識無法解答，求解就陷入死胡同了。但是，只要我們再觀察這個方程的特點，就會發(fā)現(xiàn)各個部分的相互聯(lián)系，根據(jù)方程中是互為倒數(shù)的關系，可設，則原分式方程就變形為比較熟悉的分式方程再進一步去分母化為學生已經熟練掌握的一元二次方程y2-2y+1=0，解得y1=y2=1。最后由即可求出原分式方程的解為x1=2，x2=-1。

3．化難為易——巧用韋達定理

對學生而言，與解方程（組）有關的各種題目中，計算難度最大的莫過于一元二次方程的題目了。而韋達定理為我們巧妙地展示了一元二次方程根與系數(shù)的關系，讓我們不解方程也能得出方程兩根和與兩根積的值，簡化了計算過程。因此，它在我們求一元二次方程中參數(shù)的值或取值范圍時有著重要的作用，同時也可反過來構造一元二次方程，將非一元二次方程的問題轉化為一元二次方程，另辟蹊徑，峰回路轉，化難為易。

例3：m,n 為不相等的兩實數(shù)，且m2-3m+1=0,n2-3n+1=0，求的值。

在解答過程中，可以將m2-3m+1=0 進行移項、取倒數(shù)等方式轉換為，故而能夠將題目轉化為從而將復雜的題目轉換為學生熟悉操作的一元二次方程的根與系數(shù)的關系問題，即可使問題迎刃而解。

解：假設m，n 分別為x2-3x+1=0 的兩個根，故而m+n=3，mn=1。

4．化一般為特殊——特殊值法

有些問題或者要考慮的情況較多，或者思路紛繁，或者計算量大，不易獲得解決，此時可以轉而研究相對較為容易解決的特殊情況，從特殊中尋找解決方法。通過特殊化，能夠幫助猜測有待尋找的結論，也容易獲得有關解決問題方法的啟示。

例4：已知當x 為任何實數(shù)時，x2-2x+5=a（x+1）2+b（x+1）+c 都成立，求a，b，c 的值。

解決這個問題的突破口就在于把方程右邊的部分進行化簡，再根據(jù)方程左右兩邊的各項系數(shù)應相等而建立方程組求解。用這種常規(guī)的方法解決會花費較多的時間，思考、推理、演算較為費勁。而運用特殊值法“偷懶”解題，反而會事半功倍，見效神速。我們可以將x 分別取-1，0，1 這三個特殊，值代入原方程中可得：c=8，a+b+c=5，4a+2b+c=4，再將它們聯(lián)立成三元一次方程組求解即可。

通過解方程（組）學習解題，是提高化歸能力的重要途徑。學生善于利用數(shù)學對象之間的相互聯(lián)系，促成了數(shù)學問題的轉化，通過轉化，化繁為簡、化生為熟、化難為易、化一般為特殊，運用有效的思維策略促進了問題的解決，提高了解題的效率。筆者相信，隨著化歸思想方法的落實到位，中學數(shù)學必將獲得長足的發(fā)展，而學生在此過程中也能夠實現(xiàn)對于各類初中數(shù)學知識的把握，實現(xiàn)其自身邏輯思維能力的培養(yǎng)以及鍛煉，促進初中數(shù)學教學效果的顯著提升。