基于混合加權距離的畢達哥拉斯模糊TOPSIS多屬性決策方法研究

曾守楨，穆志民

(1.寧波大學商學院，浙江 寧波 315211；2.復旦大學管理學院，上海 200433；3.天津農學院基礎科學學院，天津 300384)

1 引言

距離測度是最常用的信息測度工具之一，主要用于反映變量或指標之間的差異程度或相似性，目前已在模糊識別、醫療診斷、聚類分析、圖像處理和決策分析等多個領域得到廣泛的應用。例如醫生為病人診斷病情, 需要先查看病人的病情, 再與某種疾病的癥狀進行測度比對, 從而對癥下藥；再如，在群體共識中，通常需要計算個體偏好值與群體意見之間的距離，然后根據距離偏差程度確認個體與群體的共識程度。常見的距離測度主要是基于加權平均視角而構建的，如加權平均漢明距離、加權平均歐氏距離等[1]。而最近基于有序加權視角的距離測度方法引起了廣大學者的興趣，如基于有序加權平均(OWA)算子[2]的思路，Xu Zeshui和Chen Jian[1]首先提出了有序加權距離(OWD)測度，并研究了一種基于OWD的群體共識達成法，該方法的特點是專家可以根據實際問題的需要設置OWD測度的權重，進而增強或者緩解或大或小的差異在集成結果中的影響，從而能得到較理想的結果和較快達成共識。Merigó和Gil-Lafuente[3]則提出了有序加權平均距離測度，研究了其優良的特性和特殊形式，并將其應用于金融投資方案的決策中。在此基礎上，諸多學者將OWD方法應用于不同的決策場景，如Xu Zeshui和Xia Meimei[4]將OWD方法應用于猶豫模糊情形中，提出了猶豫模糊OWD(HFOWD)測度；Merigó和Casanovas[5]將之與誘導變量相結合，提出了出了基于誘導變量的有序加權測度方法，得到了誘導有序加權平均測度，并研究了該測度方法在群體決策中的應用。Zeng Shouzhen和Su Weihua[6]則提出了直覺模糊OWD(IFOWD)測度及研究了其在金融決策中的應用；Zeng Shouzhen等[7]研究了基于概率的有序加權距離測度方法及其在區間多屬性決策中的應用。Liu Huchen等[8]研究了基于二維區間信息的混合OWD測度并將之應用于醫療故障風險評價與分析。Zhou Ligang等[9]從連續性方面研究了OWD測度。更多關于有序加權測度的理論和應用研究可見文獻[10-15]。

為改進傳統模糊集[16]中僅考慮隸屬度的缺陷，Atanassov在文獻[17]中對傳統的模糊集進行了拓展，提出了直覺模糊集的概念，其優點是可以同時考慮隸屬度、非隸屬度和猶豫度這三個方面信息的直覺模糊集。與傳統模糊集相比，直覺模糊集更符合決策者對被評估對象表現出肯定、否定和猶豫的思維習慣，在處理模糊性和不確定問題方面更具靈活性和實用性。近20年來，直覺模糊集引起了眾多研究者的重視和關注，相應的理論和應用研究成果也較豐富[18-22]。然而在直覺模糊決策的過程中, Yager[23]發現專家所給出的方案滿足屬性的隸屬度和非隸屬度之和往往會出現大于1的情況，此時，直覺模糊信息將無法正確地描述專家的偏好信息。為此，Yager提出了一種新的模糊集—畢達哥拉斯模糊集[23]，其特征是允許隸屬度和非隸屬度之和可以超過1, 但其平方和不超過1，從而使得專家不必因重新修改其直覺模糊評價值而中斷決策過程。基于此優點，眾多學者從不同角度對畢達哥拉斯模糊集進行了深入的拓展研究。較具代表性的，如Zhang Xiaolu和Xu Zeshui[24]提出了畢達哥拉斯模糊運算規則，并給出了基于畢達哥拉斯模糊信息的TOPSIS方法；劉衛鋒等[25]提出了一系列畢達哥拉斯模糊環境下的擬加權平均和擬加權幾何集成方法；Zeng Shouzhen等[26]從平均加權和有序加權視角研究了達哥拉斯模糊距離測度方法及其在多屬性決策中的應用。Peng Xindong和Yang Yong[27-28]分別研究了基于Choquet積分和基于區間值的畢達哥拉斯模糊集及其應用。Gou Xunjie等[29]從連續性方面研究了畢達哥拉斯模糊集的特征及其應用。Zhang Xiaolu[30-31]從相似度等方面對畢達哥拉斯模糊集進行了深入研究。

由以上文獻可以看出，畢達哥拉斯模糊集理論和應用的研究成果日趨豐富，但目前尚未從有序加權視角研究畢達哥拉斯模糊距離測度方法，同時畢達哥拉斯模糊多屬性決策方法體系也有待進完善研究。為此，本文將從有序加權視角研究畢達哥拉斯模糊距離測度及其多屬性決策方法。本文的結構安排如下：首先, 提出畢達哥拉斯模糊有序加權距離(PFOWD)測度，并給出了其權重確認方法；其次，在PFOWD的基礎上，提出了畢達哥拉斯模糊混合加權距離(PFHWD)測度，研究了其優點及其特殊形式；最后，提出了一種基于PFHWD-TOPSIS的畢達哥拉斯模糊多屬性決策方法, 并通過案例應用說明其可行性和有效性。

2 預備知識

2.1 畢達哥拉斯模糊集

定義1[23]。設X為論域，則稱

A={〈x,μA(x),vA(x)〉|x∈X}

(1)

(2)

表示X中元素x屬于A的猶豫度或不確定度。特別地，若πA(x)=0，?x∈X，則A退化為Zadeh的傳統模糊集。為便于表述，稱α=(μα,vα)為畢達哥拉斯模糊數(PFN)[24]， 其中，

(3)

且設全體PFN的集合為Ω。

(1)若s(α1)

(2)若s(α1)=s(α2), 則

?若h(α1)

?若h(α1)>h(α2), 則α1>α2；

定義3[24]. 設α=(μα,vα),α1=(μα1,vα1) 和α2=(μα2,vα2)為任意三個PFN,λ>0，則其運算規則定義為:

定義4[24]. 設α1=(μα1,vα1)和α2=(μα2,vα2)為兩個PFN，則稱

dPFD(α1,α2)=

(4)

為α1和α2的距離測度。

2.2 有序加權距離測度

基于OWA算子[2]的思路，Xu和Chen[1]提出有序加權距離(OWD)測度，定義如下：

定義5. 對于實數集A={a1,a2,…,an}和B={b1,b2,…,bn}，記aj與bj之間的距離為d(aj,bj)=|aj-bj|，則

(5)

特別地，當λ=1和λ=2時，OWD測度分別稱為有序加權平均(OWAD)[3]測度和有序加權Euclidean距離(OWED)測度：

(6)

(7)

OWD測度的特點在于它能通過分配或高或低的權重進而增強或者緩解或大或小的差異在集成結果中的影響。然而，上述有序距離測度只適用于所給信息為實數值時的情形，下面研究基于畢達哥拉斯模糊信息的有序加權距離測度。

3 主要結果

在畢達哥拉斯模糊數距離定義的基礎上，我們首先定義畢達哥拉斯模集之間的加權距離。

(8)

顯然，PFWD測度僅考慮待集成指標的重要性，沒有體現出其所在位置的重要。為此，我們提出畢達哥拉斯模糊有序加權距離(PFOWD)測度，定義如下：

(9)

如何確定與PFOWD測度相關聯的權重是一個非常關鍵的問題，從定義可以看出，PFOWD與OWA算子和OWD測度一樣，其實質都是一種有序加權方法，因此關于OWA算子和OWD測度的權重求解方法同樣適用于PFOWD測度，如最小二乘法和正態分布法[32]。根據PFOWD的特性，下面我們另外給出一種PFOWD的權重確定方法，設

(10)

和

(11)

并設

wj=

(12)

容易證明PFOWD算子具有一般集成算子的數學特征，如單調性、有界性、冪等性和交換性等。

由定義6和定義7可以看出，PFWD測度與PFOWD測度的本質區別在權重向量的確定，前者中的權重分配側重于反映評價者對指標屬性重要程度的判斷，而后者則強調待集成數據的序權重。兩者均僅考慮了權重分配的某一方面，都有一定的片面性。為克服上述缺點，筆者提出畢達哥拉斯模混合加權距離測度，定義如下：

(13)

特別地，當λ=1和λ=2時，對應的PFHWD測度分別稱為畢達哥拉斯模糊混合加權漢明距離(PFHWHD)測度和畢達哥拉斯模糊混合加權歐氏距離(PFHWED)測度。可以證明PFWD和PFOWD都是PFHWD的特例。

定理1PFWD是PFHWD測度的一個特例。

證明：令w=(1/n,1/n,…,1/n)T和λ=1，則

定理證畢。

定理2PFOWD是PFHWD測度的一個特例。

證明：令ω=(1/n,1/n,…,1/n)T, 則

nωj(dPFD(ασ(j),βσ(j)))λ=(dPFD(ασ(j),βσ(j)))λ

定理證畢。

由定理1和定理2可知，PFHWD測度改進了PFWD和PFOWD測度的缺點，不僅能考慮每個數據的自身重要性程度，而且還體現了該數據所在位置的重要性程度。

4 基于PFHWD的畢達哥拉斯模糊TOPSIS多屬性決策方法

則基于PFHWD-TOPSIS畢達哥拉斯模糊多屬性決策方法步驟如下：

步驟1.構造畢達哥拉斯模糊決策矩陣R=(cj(xi))m×n，其中矩陣中的元素cj(xi)(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)是一個畢達哥拉斯模糊數，為決策者給出的方案xi∈X關于屬性cj∈C下的評估值。

步驟2. 利用公式(14)和(15)計算方案的畢達哥拉斯模糊正理想解A+和負理想解A-:

(14)

(15)

步驟3. 利用方程(13)分別計算方案xi(i=1,2,…,m)與正理想解A+和負理想解A-的混合加權距離PFHWD(xi,A+)和PFHWD(xi,A-)。

步驟4. 現有文獻的TOPSIS方法中一般采用傳統的貼進度函數來對方案進行排序[26,33-36]。然而文獻[24,37]指出，傳統貼近值最大的方案有時并不能同時滿足與正理想解最近和與負理想解最遠。基于此，本文提出一種新的計算方案xi的貼近度函數ζ(xi)(i=1,2,…,m):

(16)

其中

及

步驟5. 根據貼近度ζ(xi)的大小對方案xi(i=1,2,…,m) 擇優排序，ζ(xi)越大，相應的方案xi(i=1,2,…,m)則越優。

注：Zhang Xiaolu和Xu Zeshui在文獻[24]中提出了一種基于加權平均距離(PFWD)測度的畢達哥拉斯模糊TOPSIS (PFWD-TOPSIS)方法，即在上述步驟3中利用PFWD來計算方案xi(i=1,2,…,m)與正理想解A+和負理想解A-的距離。由于PFWD測度是PFHWD測度的一種特殊形式，因此Zhang Xiaolu和Xu Zeshui[24]的PFWD-TOPSIS方法也是我們本文提出的PFHWWD-TOPSIS方法的一種特殊形式。事實上，根據PFHWD的參數λ和權重的取值變化，我們可以得到PFHWD的一系列特殊形式，從而可得到一系列基于PFHWD特殊形式TOPSIS方法，如PFWD-TOPSIS方法、PFHWHD-TOPSIS方法和PFHWED-TOPSIS方法等。

5 實例分析

近年來中國的高速鐵路發展迅速，由于其快速便捷越來越受到乘客的歡迎，對國內航空市場造成了巨大的挑戰。特別是在2008年全球經濟低迷之后，越來越多的航空公司都試圖通過降低價格來吸引顧客。但不幸的是，他們很快就發現這不是一個雙贏的局面，只有良好的服務質量才是競爭生存的關鍵和基本要素。為了提高國內航空公司的服務質量，民用航空局建立了一個決策委員會來研究國內主要的四大航空公司[24]：北方航空公司(x1)、南方航空公司(x2)、東方航空公司(x3)、廈門航空公司(x4)。假設委員會根據以下四個主要指標屬性來評估這四大航空公司：訂票與售票服務(c1)、安檢與登機服務(c2)，客艙服務(c3)和響應性服務(c4)。通過對四個評價指標重要性的問卷調查，確定屬性指標的權重向量為ω=(0.15,0.25,0.35,

0.25)T。由于決策環境的復雜性和決策者自身知識、經驗的有限性，本文假設該決策委員會用畢達哥拉斯模糊形式來表達他們對四大航空公司在其各個屬性下的評估值，具體見表1。

依據上述決策信息，我們首先計算出畢達哥拉斯模糊正理想解A+和負理想解A-:

表1 畢達哥拉斯模糊決策矩陣

A+={(0.9,0.3), (0.9,0.2), (0.8,0.1), (0.7,0.4)}

A-={(0.4,0.7), (0.7,0.6), (0.5,0.8), (0.6,0.6)}

假設與PFHWD測度相關聯的權重向量W=(0.1,0.35,0.3,0.25)T，且不失一般性，設λ=2，則可利用PFHWD計算方案xi(i=1,2,…,m)與正理想解A+和負理想解A-的混合加權距離PFHWD(xi,A+)和PFHWD(xi,A-)，并在此基礎上利用公式(16)計算方案xi的貼近度ζ(xi)(i=1,2,…,m)，結果如下表2所示：

表2 基于PFHWD-TOPSIS方法的評價結果

因為ζ(x4)?ζ(x2)?ζ(x3)?ζ(x1)，故四大航空公司的服務質量排序為：

x4?x2?x3?x1，

即廈門航空公司(x4)為航空服務質量評價最高的航空公司。

下面我們采用Zhang Xiaolu和Xu Zeshui[24]的PFWD-TOPSIS(λ=2)方法對本例題進行分析，計算結果如表3所示：

表3 基于PFWD-TOPSIS方法的評價結果

根據ζ(x3)?ζ(x2)?ζ(x4)?ζ(x1)，航空公司的服務質量排序為：x3?x2?x4?x1，由此可得東方航空公司(x3)為航空服務質量評價最高的航空公司，和本文提出的方法得出的結果不同。其主要原因是PFWD-TOPSIS方法中的PFWD測度只考慮了屬性指標的重要性，并不能體現屬性指標所在位置的重要性，從而得出有偏差的結果。

我們可進一步分析PFHWD測度中的參數λ的變化對貼近度函數和決策結果的影響，如圖1所示，隨著參數λ的變化，方案的貼近度函數也在變化，從而排序結果也會發生相應的變化。從圖1可以看出當λ∈(0,1.55)時，南方航空公司(x2)可視為航空服務質量評價最高，當λ∈[1.55,6.02)，廈門航空公司(x4)可選為最優方案，而當λ≥6.02，東方航空公司(x3)的貼近度函數都比其他方案的都大，從而x3可作為最優方案。根據PFHWD中參數λ的數學特征可發現，λ的大小主要可用于體現決策者決策風險偏好的程度。

圖1 候選方案的貼近度函數(基于參數λ的 PFHWD-TOPSIS)

由以上分析可知，本文提出的PFHWD-TOPSIS方法具有良好的性質，主要體現在：(1)該方法不但考慮了集成數據的重要性，而且能體現數據所在位置的重要性，從而可以增加或減低偏差過大或者過小的數據對集成結果的影響；(2)提出的新的貼進度函數可以改進現有方法的缺陷，能夠同時滿足最優方案距正理想解最近和與負理想解最遠；(3)專家可根據實際需要和偏好選擇合適的參數λ，從而為決策者提供了更多的選擇機會，與其他方法相比更具決策柔性，其適用范圍也更廣泛。

6 結語

本文從有序加權視角研究了畢達哥拉斯模糊距離測度方法及其應用。首先，定義了畢達哥拉斯模糊有序加權距離測度，該距離測度能有效地消除過大或過小的不合理信息造成的誤差，從而提高了測度方法的科學性與合理性。其次，在有序加權距離測度的基礎上進一步提出了畢達哥拉斯模糊混合加權距離(PFHWD)測度，PFHWD不僅能體現每個數據的自身重要性程度，而且還突出了該數據所在位置的重要程度。再者，提出了一種基于PFHWD測度的畢達哥拉斯模糊TOPSIS多屬性決策方法(PFHWD-TOPSIS)，其核心是利用PFHWD度量備選方案與正負理想解的距離，從而得到方案的貼近度，并根據其大小對方案進行排序與擇優。該方法不僅計算簡單，而且拓展了PFHWD的應用范圍，豐富了已有的畢達哥拉斯模糊測度的研究成果。最后，案例分析結果也體現了本文所提方法具有很強的決策柔性和靈活性，決策者可以依據風險偏好和實際問題需要調節參數值λ，這一特性使該方法的適用范圍更加廣泛。

值得注意的是，本文提出的PFHWD不僅能有效與TOPSIS方法結合，改進現有TOPSIS方法的缺陷，而且還可廣泛應用于各種群體決策與評價問題中，具有一定的推廣價值。如在大規模群體決策活動中，由于專家的知識背景等差異，往往使得決策難以達成一致，而本文提出的PFHWD能有效地消除這種差異，幫助決策者快速達到群體共識，決策者還可根據評價目的與實際問題的需要選擇PFHWD中適當的參數進行決策分析，從而提高決策結果的科學性與合理性。