低耦合度半對稱三平移并聯機構拓撲設計與運動學分析

沈惠平 趙一楠 許正驍 李 菊 楊廷力

(常州大學現代機構學研究中心， 常州 213016)

0 引言

三自由度三平移(3T)機構為國內外學者研究較多的一類機構，這類機構具有結構簡單、有效工作空間大、動態性能好等優點，在工程中有較好的應用價值。CLAVEL[1]發明了著名的三維平移Delta機構，之后一些學者研究了Delta機構的衍生操作手[2-4]；TSAI等[5-6]提出了一種移動副驅動、支鏈含4R平行四邊形機構的三自由度移動并聯機構；文獻[7-8]對3-RRC三平移機構進行了運動學和工作空間分析；KONG等[9]提出了一種三自由度3-CRR機構，該機構具有良好的運動性能，且沒有明顯的奇異位置；LI等[10-11]提出了3-UPU型三平移機構，并對該機構的瞬時運動性能進行了分析；李仕華等[12]提出了一種新型3-RRUR三平移并聯平臺機構；陸晶等[13]提出了一種3-RRRP(4R)三平移機構，并對機構進行了運動學和工作空間的分析；謝俊等[14]提出一種以三平移全解耦并聯機構為主體的茶葉篩分機，并對機構的運動學和解耦性進行了分析；ZENG等[15-16]設計了一種三平移tri-pyramid并聯機構，并對其位置方程的正反解、雅可比矩陣和各向同性等運動學特性進行了分析；PRAUSE等[17]對多種三平移并聯機構分別進行了數綜合、邊界狀況和工作空間等特征的比較，選出了性能較好的機構；MAHMOOD等[18]提出了一種三自由度3-[P2(US)]機構，并對機構進行了運動學和靈巧度分析；楊啟志等[19]設計了一種三平移并聯移栽機器人，并對其進行了運動誤差分析。

本文根據基于方位特征(Position and orientation characteristics, POC)方程的并聯機構拓撲設計理論[20-21]，設計一種低耦合度三平移并聯機構3Pa+2RSS,并對其位置正逆解、奇異位形、工作空間及其內部奇異區域等進行分析。

1 機構設計與拓撲分析

1.1 機構設計

根據基于方位特征(POC)方程的并聯機構拓撲設計理論[15]，設計的機構簡圖如圖1所示。

機構動、靜平臺由3條支鏈連接，其中，混合支鏈Ⅰ由3個4R平行四邊形機構串聯而成，從靜平臺0到動平臺1相連的平行四邊形RaiRbiRciRdi(i=1、2、3)分別記為①、②、③；其中，平行四邊形①、②共面連接后，與平行四邊形③垂直連接。顯然，此時平行四邊形②的輸出桿上S點的POC集為兩平移(2T)，而平行四邊形③末端輸出桿上T點的POC集為三平移(3T)，混合支鏈Ⅰ的拓撲等效結構可表示為HSOC1{P(4R)-P(4R)-P(4R)}。

而支鏈Ⅱ、Ⅲ為無約束支鏈R-S-S，其中，R21、R31轉動副與靜平臺0相連，球副S23、S33與動平臺1相連。

1.2 并聯機構的拓撲分析

1.2.1機構的POC計算

并聯機構的POC方程[15]為

(1)

(2)

式中MJi——第i個運動副的POC集

Mbi——第i條支鏈末端的POC集

MPa——機構動平臺的POC集

選定動平臺1上任一點為基點o′，確定支路末端構件的POC集，混合支鏈Ⅰ的POC集為

無約束支鏈Ⅱ和支鏈Ⅲ的POC集相同，分別為

確定動平臺的POC集為

即動平臺上任一點的POC集為三平移零轉動(3T0R)。由此可知，機構只需一條混合支鏈就可實現三平移的設計要求，考慮到機構自由度為3，因此，還需要另兩條各含一個驅動副的支鏈連接動定平臺，因此，兩條支鏈可采用R-S-S無約束支鏈或R-T-T支鏈。

1.2.2機構的自由度計算

并聯機構的全周DOF公式[15]為

(3)

(4)

v=m-n+1

式中F——機構自由度

fi——第i個運動副的自由度

m——運動副數

v——獨立回路數n——構件數

ξLj——第j個獨立回路的獨立位移方程數

Mb(j+1)——前j+1條支鏈末端構件POC集

確定由第Ⅰ、Ⅱ支鏈構成的第1個回路的獨立位移方程數為

確定由第Ⅰ、Ⅱ支鏈構成的子并聯機構(Sub-PM)的自由度和POC集分別為

確定由上述(Sub-PM)和支鏈Ⅲ構成的回路的獨立位移方程數為

確定機構的自由度為

因此，該機構自由度為3，當取靜平臺0上的轉動副Ra1、R21、R31為驅動副時，動平臺1可實現3個平移的運動輸出。

1.2.3機構耦合度κ的計算

由基于序單開鏈(SOC)的機構組成原理[15]知，任一機構可分解為約束度為正、零、負的3種有序單開鏈(SOC)，第j個SOCj的約束度定義為

(5)

式中mj——第j個SOCj的運動副數

Ij——第j個SOCj的驅動副數

進一步，一組有序的v個SOC可組成一個零自由度的獨立回路數為v的基本運動鏈BKC(Basic kinematics chain)，對一個BKC而言，須滿足

因此，BKC的耦合度為

(6)

在1.2.2節中，已計算出機構兩個回路的獨立位移方程數，即ξL1=ξL2=6，因此，它們的約束度分別為

耦合度為

因此，該并聯機構僅包含一個BKC，其耦合度κ=1，這樣，機構位置正解求解時僅需建立含一個虛擬變量的非線性位置方程，并可通過一維搜索法求解該機構的位置正解。

2 機構位置分析

2.1 基于有序單開鏈的機構位置正解求解原理

由基于有序單開鏈的機構組成原理[15]可知，機構可分解為若干個BKC，而每個BKC可分解為一系列約束度分別為正值、零、負值的單開鏈回路，因此，機構位置正解的求解，可轉換為該BKC內3種單開鏈回路的位置求解，而3種單開鏈回路的約束特性及其建模方法分別為：

2.2 位置正解求解

已知：輸入角θ1、θ2、θ3，求：動平臺上o′的坐標(x,y,z)。

2.2.1坐標系的建立和參數標注

機構的運動學建模如圖2所示，設機構的靜平臺0為等邊三角形，3個轉動副分別位于等邊三角形的內切圓的3個切點A1、A2、A3上；以靜平臺0的幾何中心o為原點，建立笛卡爾靜坐標系，x軸垂直于平行四邊形①所在的平面并通過點A1，y軸平行于平行四邊形①平面且指向右側，z軸由右手法則確定。

圖2 3T機構的運動學建模Fig.2 Kinematic modeling of 3T parallel mechanism

動平臺1也為等邊三角形，動坐標系原點o′位于動平臺1的中心，x′軸垂直于C2C3，且通過G1點，y′軸與C2C3平行，指向點C2側，z′軸根據右手法則確定。

設等邊三角形靜平臺0的內切圓半徑為a，等邊三角形動平臺的邊長為l2；平行四邊形短桿2、5、8的長度為l3，長桿3、6、9的長度為l4；平行四邊形之間的連接桿4、7的長度均為l5，連接桿10的長度為l6；兩條簡單支鏈上的驅動桿11、12的長度為l7，連桿13、14的長度為l8。

A1B1與y軸負方向的夾角為θ1；A2B2與oA2延長線的夾角為θ2；A3B3與oA3延長線的夾角為θ3；D1C1與y軸正方向的夾角為δ*；F1E1與x軸負方向的夾角為γ。

易知，在靜坐標系oxyz下，各點的坐標為

2.2.2Δ1>0的第一單開鏈回路的位置求解

在Δ1>0的回路上，設定虛擬變量δ*，而中間變量γ可通過方程求出為關于δ*的函數。

由2.2.1節知，由第Ⅰ、Ⅱ支鏈構成的第1回路為

{A1-B1-C1-D1-E1-F1-G1-C2-B2-A2}

易求出點C1、D1、E1、F1、G1的坐標為

(7)

同時，可計算得點o′的坐標

(8)

進一步，點C2、C3的坐標，用o′點的坐標表示為

(9)

(10)

由幾何約束B2C2=l8有

整理并簡化得

Asinγ+Bcosγ+C=0

令tanγ/2=u，則有

其中

A=2El4-2l4zB2

顯然，γ為虛擬變量δ*的函數。

2.2.3Δ2<0的第二單開鏈回路的位置求解

第二單開鏈回路{A3-B3-C3}中：A3、B3、C3的坐標已求得，由幾何約束C3B3=l8，建立位置約束方程

(11)

該方程中僅包含一個虛擬變量δ*，因此，可通過一維搜索，不斷改變δ*的賦值，直至滿足式(11)成立，獲得真實的δ；再代回式(7)～(10)，即可求得各個運動副位置的真實值，從而得到該機構的位置正解。計算過程如圖3所示。

圖3 本機構運動學正解求解流程圖Fig.3 Flow chart of forward kinematics of proposed PM

2.3 位置逆解求解

已知：動平臺1上o′的坐標(x,y,z)，求輸入角θ1、θ2、θ3。

由o′坐標(x,y,z)，可求F1、E1、D1點的坐標為

(12)

由式(7)、(12)，可求出γ為

另外，C2、C3的坐標已由式(9)、(10)給出，因此，由桿長條件建立位置約束方程

(13)

(14)

(15)

即可求解輸入角θ1、θ2、θ3為

(16)

其中t1=l4l5-l4zD1t2=-l7zC2t3=-l7zC3

綜上所述，當給定動平臺1上o′的坐標(x,y,z)時，輸入角θ1、θ2、θ3各有兩組解，故逆解的數目為2×2×2=8，因此，機構有8種構型。

2.4 正逆解驗證

由Matlab計算該機構位置正解，如表1所示。

表1位置正解數值

Tab.1 Numerical values of direct kinematicsmm

取表1中第3組正解數值，代入逆解式(16)中，得到θ1、θ2、θ3的8組逆解數值，如表2所示。

表2 位置逆解數值 Tab.2 Numerical values of inverse kinematics (°)

可見，表2中第3組的逆解數據和正解求解時給定的3個輸入角一致，其最大相對誤差為0.55%；同樣，用表1中的其他正解數據，也驗證了正、逆解公式的正確性。

3 機構奇異性分析

3.1 雅可比矩陣

(17)

其中

f11=xD1-xC1f12=yD1-yC1f13=zD1-zC1

f21=xC2-xB2f22=yC2-yB2f23=zC2-zB2

f31=xC3-xB3f32=yC3-yB3f33=zC3-zB3

u11=-(yD1-yC1)l4sinθ1-(zD1-zC1)l4cosθ1

u22=-(xC2-xB2)l7sinθ2/2+(yC2-

u33=-(xC3-xB3)l7sinθ3/2-(yC3-

3.2 奇異性分析

依據矩陣A、B是否奇異，將機構奇異位形分為如下3類[22]：

(1)第Ⅰ類奇異，即

detB=0

(18)

這種類型的奇異位形發生在并聯機構的工作空間邊界或者位置逆解數目發生變化時的位形，稱為串聯奇異(邊界奇異)。當機構發生第Ⅰ類奇異時，機構的執行構件將失去某個方向的運動能力，此時，至少有一個運動鏈達到了工作空間的邊界。

根據式(18)有，u11u12u13=0，所以u11、u12、u13中至少有一個為零，當u11=0，即tanθ1=-(zD1-zC1)/(yD1-yC1)，即點C1、D1所在直線斜率和角θ1的斜率相等，即當Rd2Ra2和Rd1Ra1平行時如圖4a所示。

圖4 第Ⅰ類奇異位置Fig.4 The first kind of singularity

同理u22、u33為零的條件分別為

tanθ2= -(zC2-zB2)/(xC2-xB2)cos60°+

(yC2-yB2)cos30°

tanθ3= -(zC3-zB3)/(xC3-xB3)cos60°-

(yC3-yB3)cos30°

對應的條件分別為點C2、B2、A2和點C3、B3、A3分別在A2oz和A3oz平面共線，兩個條件中，其中一個發生即為串聯奇異的第2種情況。機構的2條RSS支鏈是對稱的，因此，圖4b為其中一種情況，即一條支鏈達到工作空間邊界的情況。

當機構處于以上任一位置時，均會發生奇異。

(2)第Ⅱ類奇異，即

detA=0

(19)

這種類型的奇異位形發生在并聯結構的工作空間內部，稱為并聯奇異(內部奇異)。此時固定并聯機構的輸入驅動關節，末端執行器仍存在瞬時運動，表明機構至少獲得一個瞬時自由度，這時并聯機構失去剛度，無法承受任何承載。

由式(19)可知，將矩陣A看作3個行向量，即：A=[e1e2e3]T，detA=0存在兩種情況：

①2個向量線性相關

設ke1=e2(即e1、e2線性相關)

k(f11，f12，f13)T=(f21，f22，f23)T

即桿Rc2Rb2和桿S23S22在空間內平行，如圖5a所示。

設ke2=e3(即e2、e3線性相關)

k(f21，f22，f23)T=(f31，f32，f33)T

即桿S33S32和桿S23S22在空間內平行，如圖5b所示。

②3個向量線性相關

設e2=k1e1+k2e3(k1k2≠0)，則有

k(f21，f22，f23)T=k1(f11，f12]f13)T+k2(f31，f32，f33)T

通過Matlab計算表明，該種情況下k1、k2的解無法解出，因此，此種情況不存在。

圖5 第Ⅱ類奇異位置Fig.5 The second kind of singularity

(3)第Ⅲ類奇異，即

detA=0且detB=0

此時機構的驅動關節和末端執行器都存在著瞬時互不影響的非零輸入和輸出，對應的位姿就是第Ⅲ類奇異，處于該類奇異時，機構將失去自由度，在機構設計階段應予以避免。

4 機構的工作空間以及內部奇異分析

U副在實際中應用廣泛，相比于S副有著更大的轉動范圍，且結構更簡單。因此，兩條RSS無約束支鏈，實際制作時采用RUU支鏈，自由度、輸出和運動學分析不變，但被動副的運動范圍增加了很多，因此，工作空間大大增加。根據實驗室已經制作的使用RUU支鏈替代RSS支鏈的樣機的尺寸比例，在SolidWorks中設計虛擬樣機如圖6所示，在每一個U副上建立空間直角坐標系uiviwi(i=1，2，3，4)，向量ai(i=2，3)表示平行于驅動副轉動軸線并指向靜坐標系x軸正方向的向量；向量bi(i=2，3)表示與驅動臂平行，并指向被動U副的向量。

圖6 虛擬樣機設計Fig.6 Virtual prototyping design

圖7 被動副U22建模Fig.7 Modeling of passive joint U22

圖7為支鏈Ⅱ中連接主動臂和從動臂的U副U22的建模圖，αu1為向量n1繞著向量u1軸轉動，距向量w1軸產生的偏角；αv1為向量n1繞著向量v1軸轉動，距向量w1軸產生的偏角；在虛擬樣機中調試動平臺運動，得到向量u1和向量n1的夾角范圍為30°≤arccos(u1n1) ≤120°，向量v1和向量n1的夾角范圍為0°≤arccos(v1n1)≤180°。

圖8為支鏈Ⅱ中連接從動臂和動平臺的U副的U23建模圖，αu2為向量n2繞著向量u2軸轉動，距向量w2軸產生的偏角；αv2為向量n2繞著向量v2軸轉動，距向量w2軸產生的偏角；在虛擬樣機中調試動平臺運動，得到向量u2和向量n2的夾角范圍為50°≤arccos(u2n2)≤150°，向量v2和向量n2的夾角范圍為90°≤arccos(v2n2)≤180°。

圖8 被動副U23建模Fig.8 Modeling of passive joint U23

另一條RUU支鏈建模同理。

機構的工作空間分析，采用離散化空間三維搜索法，將搜索范圍設定為：-100 mm≤x≤300 mm，-400 mm≤y≤400 mm，-450 mm≤z≤650 mm，-π≤θ≤π。

通過Matlab求得工作空間，如圖9所示。

圖9 工作空間及其奇異情況Fig.9 Workspace and singularities

串聯奇異可以通過實際控制手段避開，因此，本文主要討論并聯奇異，即第Ⅱ類奇異。根據第Ⅱ類奇異判別式(19)，利用Matlab軟件編程求解，得到如圖9所示的機構工作空間的三維立體圖，其中，紅色的點為發生第Ⅱ類奇異時在工作空間內的位置，綠色部分為無奇異區域。圖10為4個x-y截面隨著z值的改變奇異與非奇異工作空間情況，表明該工作空間內部的無奇異工作空間較大。

圖10 工作空間內不同x-y截面內奇異情況Fig.10 Singularities in workspace from different x-y sections

5 結論

(1)提出了一種低耦合度三平移并聯機構，其結構簡單，具有單一動平臺，可實現較大范圍的三維移動。

(2)機構耦合度κ=1，因此，其位置正解求解僅需建立含一個虛擬變量的非線性約束方程，并用一維搜索法即可求得。

(3)給出了該機構發生奇異位置的幾何條件和工作空間內奇異產生的位置，表明機構的有效工作空間較大。