串聯機器人多模式標定與剛柔耦合誤差補償方法研究

陳宵燕 張秋菊 孫沂琳

(1.江南大學機械工程學院， 無錫 214122； 2.江蘇省食品先進制造裝備與技術重點實驗室， 無錫 214122)

0 引言

隨著工業機器人在諸多領域的優勢越發明顯[1-2]，促使其不斷地向著離線復雜任務編程、高精度且大范圍運動的方向發展，同時，工業機器人絕對定位精度較低的問題也愈加突出[3]。機器人絕對定位精度誤差主要是幾何誤差與非幾何誤差[4-5](主要由自重和負載引起的連桿及關節變形)。

目前提高機器人精度的方法可分為標定和補償兩種，前者應用較成熟，且一般僅對運動學模型標定[6-8]。針對目前串聯機器人發展應用的短板，需同時考慮多種誤差對機器人定位精度的影響，尤其是非幾何誤差問題亟需解決。一般工業機器人連桿剛度較高，在負載及速度較小的情況下，可忽略連桿柔性因素所帶來的連桿長度變化，而其導致的關節角微小變化可以映射到關節變形上[9-10]。此外，關節變形主要是由傳動件產生，較之連桿偏大，且引起的角度誤差具有放大效果，導致其產生的定位誤差無法忽略[11-15]。對于上述非幾何因素的影響，依靠機器人標定技術是無法消除的，因此誤差離線補償成為提高機器人精度的重要手段之一。

本文將針對上述問題，分析幾何誤差和關節柔性誤差對工業串聯機器人絕對定位精度的影響。首先，建立幾何誤差與關節柔性誤差因素相結合的誤差模型，并提出一種改進的非線性辨識算法實現穩定辨識。此外，考慮測量環境的外部約束影響，提出一種智能選取測量位姿的測量優化方法。最后，綜合多種精度提高方法形成一種多模式精度提高策略，并基于Matlab高級矩陣/陣列語言，結合GUI人機交互界面等優勢[16]，完成機器人多模式快速標定及誤差離線補償系統的開發及實驗驗證，從而提高機器人絕對定位精度。

1 誤差模型

運動學誤差模型主要是基于HAYATI等提出的修正的5參數MDH方法，其考慮了DH 模型存在參數不連續的缺點[17]。MDH方法是在DH模型的基礎上，引入附加轉動項Rot(yi,βi)，連桿變換關系為

Ai=Rot(zi-1,θi)Trans(0,0,di)
Trans(ai,0,0)Rot(xi,αi)Rot(yi,βi)

(1)

參照文獻[18]，采用微分法建立機器人運動學誤差模型，對式(1)進行全微分，可得微分方程

(2)

采用誤差參數向量Δθ、Δd、Δa、Δα和Δβ來表示機器人關節角度偏移、連桿長度偏差、連桿偏移、扭角偏差和相鄰平行關節偏移。此外，在測量過程中，機器人基坐標系無法直接測量，通常使用間接測量法獲得構造基坐標系。由于構造方法及測量誤差導致構造基坐標系與實際基坐標系存在微小偏移，本文使用一個變換矩陣BT0來代表機器坐標系的偏移量，其含有6個誤差參數變量(Δσ)。最終，可得到初始機器人運動學誤差模型為

(3)

基于全微分方法，展開式(3)，并從dTR中提取位置誤差部分。當機器人為一般6自由度串聯機器人時，為30-參模型(6個機器人零位關節角度變量、5個連桿長度變量、6個連桿偏移變量、6個扭角變量、1個平行度變量、6個基坐標系偏移變量)，獲得的機器人完整運動學位置誤差模型為

ΔXk=Hkηk

(4)

其中

Hk=Mθ+Md+Ma+Mα+Mβ+Mσ

(5)

(6)

式中 ΔXk——幾何誤差導致的機器人位置誤差

Hk——運動學誤差模型的辨識矩陣

ηk——運動學誤差參數集

Mθ、Md、Ma、Mα、Mβ、Mσ——系數矩陣

根據文獻[19]，針對負載對關節變形量的影響，采用基于線性扭轉彈簧的建模方法，對于一般6軸串聯型機器人，根據平衡力矩與微分變形轉換到機器人末端位置誤差為

(7)

針對連桿自重的影響及一般6自由度串聯型機器人只需考慮關節2、3的變形量，因此機器人在連桿自重影響下產生的位置誤差為

(8)

綜上所述，結合機器人幾何誤差與負載及連桿自重引起的柔性誤差，當機器人為一般6軸串聯機器人時，為39-參模型(30-參模型對應誤差參數，加上6個關節柔性變量以及3個連桿自重參數變量)，建立的機器人完整剛柔耦合位置誤差模型為

(9)

式中H——耦合誤差模型的辨識矩陣

ΔX——幾何誤差和關節柔性誤差導致的機器人位置誤差

Δη——完整耦合誤差參數集

2 精度提高策略

在獲得上述完整運動學位置誤差模型或者剛柔耦合位置誤差模型后，通常采用QR分解并分析得到無冗余的機器人參數辨識矩陣，該矩陣所對應的參數即為可辨識誤差參數集。為獲得準確的誤差參數值，可靠且高效的辨識算法和測量方法是必不可少的。

2.1 非線性辨識方法

通常采用最小二乘法來辨識機器人系統誤差參數，該損失函數為

(10)

在實際應用中，由于機器人誤差是非線性的，直接使用最小二乘法辨識的參數不具備穩定性。梯度下降法屬于一階收斂，當給定一個參數向量時，算法根據函數值下降最快的方向調整參數向量，在若干次迭代之后找到局部最小。梯度下降法的缺點是接近最優值時收斂速度變慢，并且對初始點的選擇極為敏感，易陷入局部最優。Gauss-Newton法屬于二階收斂，因此相對梯度下降法收斂速度快，從而避免了前者局部最優的問題，具有全局尋優的性能。但是Gauss-Newton法在迭代穩定性上略有弊端。因此，本文采用一種基于殘余誤差ΔX的改進的Lveveberg-Mavquardt算法(M-LMA)。當函數下降過快時，使用較小的參數，調節M-LMA更接近高斯牛頓法。當函數下降太慢時，則使用較大的參數，調節M-LMA更接近梯度下降法，從而提高其收斂速度和參數辨識精度。此外，為使調節步長參數更加適應辨識函數的特性，將調節步長參數的變化因子與殘余誤差ΔX相結合，決定參數辨識算法的步長。本文提出的誤差辨識算法為

Δη=(HTH+β(ΔX)I)-1HTΔX

(11)

其中

(12)

式中υ——調節因子

M-LMA算法對υ敏感度不高，可取4≤υ≤100，本文取υ=10。

由于機器人測量時存在隨機干擾誤差，為了進一步提高辨識精度，通常在測量時重復多次測量，將每組數據都通過M-LMA得到辨識結果，并將所對應的預測殘差經加權遞推平均濾波算法進行篩選，得到對應的辨識參數，并對其求均值優化最終獲得辨識結果。

2.2 智能選取優化方法

為獲得機器人運動學誤差模型和位置耦合模型所對應的正確誤差參數值，除了穩定高效的辨識方法之外，可靠有效地測量位姿對象也必不可少。由于機器人運行時存在測量擾動，一般測量位姿點數越多，誤差參數值的辨識準確度越高。由文獻[19]可知，只要取得適當的測量位姿，參數辨識精度將不再隨著測量點數的增加而提高，而這個臨界點，通常作為最小最優測量點數。同時，不同空間位置和不同姿態方向都會影響誤差參數的辨識[20-21]。在機器人校準領域中，都將辨識雅可比矩陣的奇異值作為目標函數求得最優解。然而這些算法都忽略了測量儀器、機器人末端執行器和機器人本身結構對測量位姿選取的影響。

本文考慮了測量設備檢測特性及末端執行器幾何特性對測量位姿智能選取的外部約束影響，并以可觀性指數因素O1為主要目標函數。然而，研究發現當可觀測性指標取得最優時，也會出現辨識精度較差的結果。因此，本文結合機器人模型誤差參數預測辨識精度指標為尋優成功的決策條件，最終提出一種LDW-PSOA測量優化方法。粒子群優化(PSO)算法是一種基于群體智能的進化計算方法，它與遺傳算法相似，具有搜索速度快、高維適應性強、內存容量大、結構簡單、易于工程實現等優點。線性遞減權重因子可對于平衡算法的全局搜索能力和局部改良能力具有關鍵作用，較小的慣性權重能提高算法局部搜索能力和較大的慣性權重能使算法更好地體現全局搜索能力。首先，通過奇異值分解，式(9)轉換為

ΔX=UΣV′Δη+ξ

(13)

其中

(14)

式中U、V′——正交矩陣

Σ——對角矩陣，Σ由奇異值(σi)構成，其中奇異值(σi)以遞減序列排列

ξ——擾動殘余誤差

可觀性指數O1由奇異值計算可得

(15)

LDW-PSOA的慣性權重因子w的計算公式為

(16)

式中wmax、wmin——w的最大值和最小值

tmax——最大迭代步數

t——當前迭代步數

LDW-PSOA的目標函數為

minf=Omin(f(σ))-1

(17)

其中Omin=γ1[∑(Δθi-Δθi,real)2+

(18)

式中Omin——辨識精度指標

γ1、γ2、γ3、γ4——權重系數

當目標函數取得最優時，將獲得的一組最優測量位姿進行參數辨識。當可觀測性指標取得最優時，利用Matlab仿真分析得到預測辨識結果進行判別，若辨識精度達到96%以上，則程序可判定目標函數尋優成功，反之，則程序重新尋優，直至找到一組目標最優測量位姿。

本文提出的智能選取測量位姿方法可以確定一組最優機器人測量位姿，這些位姿點可以使測量擾動引起的偏差減到最小且達到最佳辨識精度(適合的測量位姿點數及滿足需求的辨識精度)，且滿足了測量設備檢測特性及末端執行器幾何特性的約束要求。因此，該方法不僅可以提高測量過程的效率，且對辨識的正確性和穩定性有著較大的提升。

2.3 精度提高方法

在獲得機器人待測量位姿點后，獲得機器人基坐標系及參考坐標系，是機器人標定和補償方法應用所需面臨的實際問題。結合工程實際，本文采用任意用戶坐標系作為參考坐標系的方法來構建機器人基坐標系。當機器人狀態為標定前，由于其存在結構誤差和隨機誤差等因素，構建的用戶坐標系與實際存在誤差，即以此構建的基坐標系與實際的基坐標系存在誤差(Δσ)。在后續操作為標定時，由于MDH參數已校準，用戶坐標系原點所對應的關節值改變，使其構建的基坐標系得到校準，因而不需要修改Δσ所指參數。若后續操作為補償時，誤差Δσ將會直接修正補償值。

本文提出的離線補償方法，包含全局補償模型和局部精補償模型。全局補償模型對機器人工作空間的任意位置、任意姿態都具備可靠有效的離線補償優化功能。局部精補償模型只能對某一姿態或某一方向進行高精度補償。在參數標定和離線補償的誤差模型選擇上，結合機器人自身特性及加工需求，提出了一種基于辨識精度和預測殘差的模型擇優方法。在獲得用于參數標定或補償模型建立的實際測量位置后，確定對應最大無冗余誤差模型及最小誤差模型，以其對應誤差參數差值n為對象，進行組合。若最大誤差參數為27個，最小為13個，其組合對應的模型有16 383種，計算公式為

(19)

式中m——從差值中選取的數量

閾值是根據加工所需的定位精度及模型的預測精度均值給定。當模型預測精度滿足加工所需最低定位精度，且大于整體預測精度均值的95%時，選出所有滿足閾值的模型對象。最后，利用預測精度及參數數量排序尋優，從中獲得最佳模型

Ψmax=max(κ1ξi+κ2Δηi)

(20)

式中κ1、κ2——權重系數，取κ1=50，κ2=0.05

本文所提出的多模式精度提高策略，可根據機器人型號選定不同的標定和補償模型，并根據加工需求選擇機器人標定、全局補償及局部精補償3種不同方法的最佳組合。這種精度提高策略為改善機器人定位精度提供了靈活便捷且高效可靠的解決方法。

3 實驗與結果

機器人標定與補償實驗對象為Staubli Rx160L機器人，額定負載為14 kg，工作半徑為2 010 mm。該機器人為6自由度串聯機器人，并且初始狀態為使用拆裝后未經標定的，因此絕對定位精度較差。測量儀器為Faro激光動態跟蹤儀，具有測量精度高(分辨率0.5 μm，精度8 μm+0.4 μm/m)，測量范圍大(直徑160 m)，調整安裝方便，具有很好的柔性和可操作性等優點。機器人標定和離線補償實驗平臺如圖1所示。

圖1 機器人標定和離線補償實驗平臺Fig.1 Experimental platform for robot calibration and off-line compensation1.Staubli Rx160L機器人 2.計算機及數據測量配套軟件 3.Faro激光動態跟蹤儀

3.1 機器人標定與全局補償

為了驗證本文提出的機器人標定和全局補償方法的有效性，根據該機器人的結構特性及基于第1節建立的30-參模型，結合QR方法，利用擇優方法選擇20-參模型來獲取機器人實際DH參數。同時，基于第1節建立的39-參模型，擇優選擇35-參模型作為機器人全局補償模型。

為提高機器人標定及補償模型的有效性和穩定性，根據提出的LDW-PSOA獲得最佳的一組機器人測量位姿。為了平衡測量效率和模型準確度，選擇50個點作為本次實驗最優的測量點數。因此，LDW-PSOA的維度為50，種群的大小為500(種群越大，算法全局性能更優)。實驗利用名義用戶坐標系(1 200,-500,-250,180,0,-90)來構建機器人基坐標系，用戶坐標系的Z軸方向與機器人基坐標系Z軸方向相反，Y軸方向與基坐標系X軸方向相同。利用上述20-參標定模型和35-參全局補償模型，通過LDW-PSOA獲得一組最優測量位姿點，并通過Faro激光跟蹤儀測量獲得實際值。根據提出的非線性辨識方法，計算得到機器人實際MDH參數如表1所示。校準參數時，實際只需修正機器人控制器中16個DH參數， Δσ不需要修改。

表1 Staubli Rx160L機器人修正后的MDH參數Tab.1 Modified MDH parameters of Staubli Rx160L robot

為了驗證校準參數和補償模型的準確性及有效性，在機器人工作空間內任意選取40個位姿點作為驗證點。首先利用目標位姿名義值，在原MDH參數模型下運行機器人，測量得該40個位姿點的初始實際值，從而獲得初始誤差。然后仍使用目標位姿名義值，在校準后的MDH參數模型下，測量得該40個位姿點的實際值，從而獲得標定后的殘余誤差。

對于全局補償方法，需將目標位姿名義值經過全局補償，獲得中間位姿名義值，將其輸入機器人控制器，在原MDH參數模型下運行機器人，測量得該40個點的實際值，從而獲得全局補償后的殘余誤差。表2給出了機器人標定和全局補償前后的實驗結果，表明了標定及全局補償對精度的提高都有明顯的效果。此外，根據表2中定位精度平均值可知，參數標定后精度提高了95.75%，全局補償后精度提高了97.27%，因此后者的提高效果更加顯著。

表2 機器人標定和全局補償前后的定位精度Tab.2 Positioning accuracy before and after robot calibration and global compensation mm

3.2 機器人局部精補償

對于某些機器人應用場合，如Staubli Tx/Rx系列機器人在激光切割領域的應用，加工任務中對激光切割頭在豎直方向上的精度要求遠大于其他方向。因此，在機器人本身性能未能達到要求，且加工范圍大并具有較大負載時，需要對機器人在豎直方向上作進一步的離線補償優化。

機器人運動姿態一般用歐拉角表示(繞軸x、y、z的旋轉序列)，根據旋轉序列獲得旋轉矩陣

(21)

機器人工具坐標系所指方向通常指接近矢量a，根據式(21)可知，繞工具坐標系z軸轉φ只影響方向矢量n和法線矢量o，與接近矢量a無關。因此，針對機器人工具坐標系某一矢量方向，可分為兩種情況，一種是固定姿態(旋轉矩陣完全相同)，另一種是任意φ角的固定矢量方向(接近矢量a相同，方向矢量n和法線矢量o任意)。

對于第1種情況，可直接采用全局補償方法一步獲得高精度定位精度。選擇豎直方向為實驗矢量方向，在用戶坐標系下，選擇機器人固定姿態為(0,0,90)。首先根據Matlab仿真及蒙特卡洛法，模擬固定姿態點，并基于本文建立的39-參模型，利用擇優方法選擇24-參模型作為機器人局部精補償模型。同時，結合LDW-PSOA，在該固定姿態下智能選取50個測量位姿點，確立機器人局部精補償模型。最后，在機器人工作空間內選擇均布點陣525個位姿點，經過局部精補償優化，獲得局部精補償后的殘余誤差。由表3可知，機器人殘余誤差最大值從補償前10.55 mm降為補償后0.26 mm，平均值從補償前9.55 mm降為補償后0.12 mm，平均精度提高率為98.7%。

表3 機器人固定姿態下全局補償前后的定位精度Tab.3 Positioning accuracy before and after global compensation for robot with constant orientation mm

對于第2種情況，有兩種精度提高模式，一種是校準參數后再進行局部精補償，另一種為全局補償后再進行局部精補償。首先，選擇豎直方向為實驗矢量方向，選擇5組姿態為(-2.000 3, -0.999 4, 178.965 1; -2.000 3, -0.999 4, 133.965 1;-2.000 3, -0.999 4, 91.965 1; -2.000 3, -0.999 4, 40.965 1; -2.000 3, -0.999 4, 0.965 1)。根據上述方法，利用建立的39-參模型，擇優選擇29-參模型作為機器人局部精補償模型。同時，根據所提出的算法，在該固定姿態下智能選取100個測量位姿點(每組20個位姿點)來確立機器人局部精補償模型。最后，在機器人工作空間內選擇接近上述5組姿態方向的均布點陣384個位姿點，重復上述操作，獲得局部精補償后殘差，實驗結果見表4。

表4 多模式精度提高前后的殘余誤差Tab.4 Residual errors before and after multi-mode accuracy improvement mm

從表4可知，多模式精度提高策略的第1級為機器人標定或全局補償，其使得機器人定位誤差均值從初始7.01 mm降為標定后0.30 mm和補償后0.24 mm，顯然提高率都非常顯著。此外，作為第2級的局部精補償方法對于標定后或全局補償后機器人精度的進一步提高也都有著較為明顯的效果，尤其是殘差最大值，前者使其從0.95 mm降至0.30 mm，后者則從0.73 mm降至0.43 mm。

為了進一步驗證該局部精補償模型在任意轉角φ下都具有精度改善效果，設計了對比實驗。任意選擇在豎直方向上的5個不同轉角φ，其姿態為(-1.049 6, 0.929 7, 96.321 3; -5.473 7, -5.262 8, 173.634 8; -8.025 2, -3.430 7, 43.340 9; -2.000 5, -0.999 0, -21.113 9; 0.013 8, -9.135 5, 122.834 3)。最后，在機器人工作空間內選擇該5組姿態方向的均布點陣384個位姿點，基于上一個實驗確立的局部精補償模型。重復上述操作，獲得局部精補償后的殘余誤差，實驗結果如表5所示。

表5 機器人任意轉角下局部精補償后的殘余誤差Tab.5 Residual errors after local precise compensation for robot with arbitrary angle mm

可驗證這個由原5組姿態建立的29-參局部精補償模型，在該豎直方向的任意轉角φ及任意工作空間下，對機器人絕對定位精度進一步提高有著較好的有效性和可靠性。此外，從第2種情況的兩個實驗結果可知，機器人標定與局部精補償相組合的模式對精度提高的效果優越于本文其他精度提高方法。

3.3 GUI交互系統

將上述建立的機器人誤差模型(30-參機器人運動學誤差模型和39-參機器人剛柔耦合位置誤差模型)，以及提出的改進辨識算法(M-LMA)、優化的智能選取算法(LDW-PSOA)與多模式精度提高方法集成到軟件中。基于Matlab開發平臺，利用其數值分析、計算等高級計算語言，結合GUI人機交互界面技術，開發了機器人標定及離線優化系統，運行后的界面如圖2所示。

圖2 機器人標定及離線優化系統GUI界面Fig.2 GUI interface of robot calibration and off-line optimisation system

系統可根據實際需求增加機器人型號，并具有多種標定及補償模型可供選擇，利用預測效果比較，擇優選擇最合適的模型。現已有機器人型號為Rx160系列、Tx60系列、Tx90系列。

4 結論

(1)建立了幾何參數誤差與外負載和連桿自重引起的關節柔性誤差相結合的剛柔耦合位置誤差模型。

(2)基于殘余誤差和加權遞推平均濾波算法，提出了一種M-LMA來穩定辨識多種誤差模型對應的誤差參數。

(3)考慮了外部約束條件，以參數辨識精度指標Omin和可觀性指數O1為目標函數，提出了一種基于LDW-PSOA的測量位姿智能選取方法。

(4)提出了一種局部精補償方法，其可分別與參數標定及全局補償方法同時使用或者直接單獨應用，從而形成了較為完善的多模式精度提高策略。

(5)利用開發的系統，對Staubli Rx160L機器人進行了多模式精度提高實驗，在5組不同姿態下對384個點位的測試，首先利用標定方法使最大定位誤差從標定或補償前的15.61 mm降為0.95 mm，而基于全局補償法則降至0.73 mm；利用標定結果結合局部精補償，殘差最大值降為0.30 mm，而利用全局補償結果結合局部精補償，殘差最大值則降至0.43 mm。