機器人末端運動特征幾何化描述與分析方法

葉梅燕 石志新 羅玉峰,3

(1.南昌大學機電工程學院， 南昌 330031； 2.南昌大學理學院， 南昌 330031；3.華東交通大學機電與車輛工程學院， 南昌 330013)

0 引言

構型綜合的前提和關鍵在于對末端構件運動特征的完整描述和準確分析。末端運動特征既是構型綜合的設計目標，又是分析判定所得機構是否符合要求的依據，因此其表達類型的完整性直接決定綜合結果的完備性，其分析方法的準確性與難易程度直接關系到綜合方法的有效性。

目前已形成4種理論方法：螺旋理論方法[1-6]、位移子群/流形方法[7-11]、方位特征集方法[12-19]和GF集理論方法[20-23]。上述理論方法推動了機器人機構學的迅猛發展，然而仍然存在一些問題：①運動特征信息不完整，機構類型表達不全面。現有運動特征指標中僅含運動類型、運動方向和運動空間維數這3類信息，缺少運動空間整體形態信息。②現有理論方法大多依賴現代代數工具。這些代數方法較為抽象，不易理解，且難以確定運動空間的整體形態，因此有必要提出簡單、直觀的幾何化方法。③矢量線性運算規則不適用于彎曲平移運動特征。方位特征集理論采用矢量描述構件的運動方向，并且利用矢量線性相關性制定了各種運算規則。對于具有彎曲平移特征的機構而言，其移動方向時刻變化，難以采用矢量進行描述，因此相應的矢量線性運算規則不再適用。

本文提出基于高斯幾何學的幾何化描述與分析方法。首先借鑒高斯幾何學將直線、曲線、平面以及曲面等均視作可描述末端運動特征的獨立空間，進而建立基于高斯幾何學的運動特征描述模型；然后基于該描述模型制定末端運動特征的求并和求交運算規則；最后結合實例提出機器人末端運動特征的分析方法。

1 末端構件運動特征的描述方法

機器人末端構件的運動屬于剛體運動，它包括平移運動(簡稱移動)和旋轉運動(簡稱轉動)2種運動類型。因此機器人末端構件的運動特征應由轉動特征和移動特征共同組成，即

(1)

式中M——末端構件運動特征集

TC——末端構件移動特征

RC——末端構件轉動特征

1.1 移動特征

為了清晰描述機器人末端構件的移動特征，給出如下定義：

定義1：末端構件作平移運動(姿態保持不變)時，構件上任意一點的軌跡均相同，該軌跡稱為末端構件的移動空間(記為T)。

值得注意的是，移動空間包括平直空間(即軌跡為直線或平面)和彎曲空間(即軌跡為曲線或曲面)2種情況。如平行四邊形機構中連桿作圓周曲線平移運動，連桿上任意一點的軌跡均為圓周曲線，因此其移動空間為彎曲空間。

對于平直空間而言，其維數和基向量可直接反映獨立移動數目及方向。然而由于彎曲空間不存在基向量，因此除了維數外，還應給出其整體形態和生成方式等信息。考慮到平直空間屬于彎曲空間的特例，采用統一模型來描述移動特征，其形式為

TC=tp(T)=tp(w,N)

(2)

式中t——移動

p——移動空間維數

w——移動空間整體形態

N——移動空間生成方式

值得注意的是：①基于高斯幾何學的基本思想，直線和曲線被視為1維獨立空間，平面和曲面被視為2維獨立空間。②0維和3維移動空間無需記錄整體形態和生成方式，因此其移動特征可分別表示為t0和t3。

1.2 轉動特征

旋轉運動可利用旋轉軸進行刻畫，因此旋轉軸的數目和方向可反映機器人末端構件的轉動特征。為了清晰描述轉動特征，給出如下定義：

定義2：末端構件所有允許的旋轉方向單位矢量的集合稱為轉動特征集(記為S)。

根據定義2不難發現，轉動特征集中向量的個數和向量的方向可直接分別反映旋轉軸的數目和方向。因此轉動特征可表示為

RC=rq(S)

(3)

式中r——轉動

S——轉動特征集

q——轉動特征集維數

轉動特征集表示方法包括：①0維轉動特征集表示末端構件不存在任何方向的旋轉運動，故轉動特征可表示為r0。②1維轉動特征集可表示為r1(l)，其中l為1維轉動軸線方向單位矢量。③ 2維轉動特征集可表示為r2(l1,l2)，其中l1和l2為轉動軸線方向單位矢量。④ 3維轉動特征集表示末端構件可繞任意方向作旋轉運動，因此轉動特征可表示為r3。

2 串聯機構末端構件的運動特征

由于串聯機構是由若干個運動副依次串聯而成，因此串聯機構末端構件的運動特征集是各運動副運動輸出特征的并集，即可表示為

(4)

式中Ms——串聯機構的運動特征集

Mi——第i個運動副的輸出特征

2.1 單個運動副的運動輸出特征

機器人機構的運動副類型較多，常見運動副包括：轉動副、移動副、球副、胡克鉸、圓柱副等。為了分析方便，可采運動副等效替換的方法將它們簡化為只含轉動副和移動副2種。例如，球副等效為3個軸線匯交于1點的轉動副，胡克鉸等效為2個軸線垂直正交的轉動副，圓柱副等效為共軸的轉動副和移動副。

(1)移動副(P副)的運動輸出特征。由于P副僅產生直線平移運動，其移動空間整體形態為直線，并且該移動空間由P副生成，因此根據式(2)可知，移動副的運動輸出特征可表示為t1(直線,P)，其中P為P副的方向矢量。

(2)轉動副(R副)的運動輸出特征。轉動副不僅能產生繞其軸線的運動，而且可衍生出垂直于軸線方向的圓周曲線平移運動，即其運動特征具有二重性。可按如下規則選取：①優先取旋轉運動作為運動輸出特征，記為r1(R)，其中R為R副軸線方向矢量。②若已有運動副產生了與該轉動副旋轉方向相同的旋轉運動，則該轉動副將會衍生圓周曲線平移(圖1)，此時應取衍生圓周曲線平移作為其運動輸出特征，記為t1(圓,R)。

圖1 R‖R機構的移動空間Fig.1 Structure diagrams of R‖R mechanism

2.2 運動特征求并運算規則

2.2.1轉動特征的求并運算規則

根據定義1可知，轉動特征是方向矢量的集合，因此轉動特征RC可利用矢量線性相關性進行分析確定，具體運算規則如下。

(1)r0與r1的求并運算規則

r0∪r1(R)=r1(R)

(2)r1與r1的求并運算規則

當R1‖R2時，r1(R1)∪r1(R2)=r1(R1)，否則求并結果為r2(R1,R2)。

(3)r2與r1的求并運算規則

當R3可由向量組(R1,R2)線性表示時，r2(R1,R2)∪r1(R3)=r2(R1,R2)，否則求并結果為r3。

(4)r3與r1的求并運算規則

r3∪r1(R)=r3

2.2.2移動特征的求并運算規則

移動特征求并運算共存在如下4條規則：

(1)t0與t1的求并運算規則

t0∪t1(w,N)=t1(w,N)

(2)t1與t1的求并運算規則

按移動空間類型劃分，存在如下3種情況：

①t1(直線,P1)∪t1(直線,P2)。若P1‖P2則TC=t1(直線,P1)，否則TC=t2(平面,n)，其中n為該平面的法向量。

②t1(直線,P)∪t1(圓,R)。考慮直線和圓所在平面全部可能的方位關系及布置順序，其移動特征TC存在3種情況，具體包括：t2(平面,R)、t2(圓柱面,P+R)和t2(圓錐面,P+R)，其中P+R表示該移動空間由P副和R副產生的平移經運動合成而成(下同)。其詳細求并結果和相應示例如表1所示。

假定孤石為完整塊體，內部無節理裂隙，只考慮重力作用，孤石相對于周圍殘積土剛度足夠大，相互作用過程中可以不考慮變形作用，與孤石接觸的周圍土體，為均質、各向同性體，不考慮作用過程中土體各向異性和非線性作用對孤石與土體相互作用的影響。孤石重力作用的穩定計算考慮疊石、完全出露、部分出露、完全埋入4種情況。

③t1(圓,R1)∪t1(圓,R2)。考慮兩圓所在平面的全部可能方位關系，其移動特征TC存在3種情況，具體包括：t2(平面,R1)、t2(環面,R1+R2)和t2(球面,R1+R2)。其詳細求并結果和相應示例如表2所示。

表1和表2中部分示例機構的移動空間如圖2所示。

(3)t2與t1的求并運算規則

一般而言，t2與t1的求并結果為t3，但存在3種特殊情況：

①t2(平面,n)∪t1(直線,P)。若P⊥n則移動特征TC=t2(平面,n)，否則TC=t3。

②t2(平面,n)∪t1(圓,R)。若R‖n則移動特征TC=t2(平面,n)，否則TC=t3。

③t2(圓柱面,P1+R)∪t1(直線,P2)。若P1‖P2則TC=t2(圓柱面,P1+R)，否則TC=t3。

t3∪t1(w,N)=t3

2.3 串聯機構運動特征分析方法及實例

2.3.1串聯機構運動特征分析方法

串聯機構運動特征分析方法和步驟如下：

(1)賦初值。將轉動特征集和移動特征集的初值均賦為空集，即RC=r0，TC=t0。

(2)確定運動副的運動輸出特征。①當第i個

表1直線平移和圓周平移的求并運算規則
Tab.1Unionoperationrulesoflinetranslationandcirculartranslation

表2 兩圓周平移經求并運算后的移動特征Tab.2 Union operation rules of two circular translation

運動副為移動副Pi時，其運動輸出特征唯一，并且運動輸出特征為t1(直線,Pi)。②當第i個運動副為轉動副Ri時，優先取其旋轉運動作為運動輸出特征，判斷矢量Ri能否由轉動特征集S中的向量線性表示，若否，則取其運動輸出特征為r1(Ri)；若是，則取其衍生平移運動t1(圓,Ri)作為運動輸出特征。

(3)運動特征集的更新。根據2.2節介紹的求并運算規則，更新運動特征集。

(4)循環。從i=1開始，重復步驟(2)和(3)，直到i=n終止，其中n為經運動副等效替換后機構所有運動副數目之和。

(5)結束。輸出最終的轉動特征RC和移動特征TC，得到末端構件運動特征集M。

圖2 表1和表2中部分機構的移動空間Fig.2 Translation spaces of some mechanisms in Tab.1 and Tab.2

2.3.2實例分析

圖3 機構簡圖(例1)Fig.3 Structure diagrams of example 1

例1：利用上述運動特征分析方法，分析圖3串聯機構末端構件的運動特征。

根據上述串聯機構運動特征分析方法，圖3a機構運動特征分析步驟及結果如下：

(1)賦初值

RC=r0TC=t0

(2)確定運動副的運動輸出特征

當i=1時，第1個運動副為轉動副R1，此時轉動特征集RC=r0，轉動特征集S為空集，故方向矢量R1不能被S中的向量線性表示，因此轉動副R1的運動輸出特征為r1(R1)。

(3)運動特征集的更新

由轉動特征求并運算規則(1)可知，轉動特征集RC=r0∪r1(R1)=r1(R1)，移動特征集TC保持上步結果t0不變。

(4)循環(重復步驟(2)和(3))

當i=2時，第2個運動副為R2，由于R2‖R1，故R2能被R1線性表示，因此R2的運動輸出特征取為衍生平移運動t1(圓,R2)。由移動特征求并運算規則(1)可知：TC=t0∪t1(圓,R2)=t1(圓,R2)。RC保持上步結果r1(R1)不變。

當i=3時，第3個運動副為R3，由于R3‖R1，故其運動輸出特征取為t1(圓,R3)。由于R2‖R3，根據移動特征求并運算規則(2)中的情況③可知：TC=t1(圓,R2)∪t1(圓,R3)=t2(平面,R2)。RC保持上步結果r1(R1)不變。

當i=4時，第4個運動副為轉動副R4。由于R4與R1不平行，R4不能被R1線性表示，故其運動輸出特征取為r1(R4)，因此根據轉動特征求并運算規則(2)可知RC=r1(R1)∪r1(R4)=r2(R1,R4)。TC保持上步結果t2(平面,R2)不變。

當i=5時，第5個運動副為轉動副R5。由于R5‖R4，故R5能被向量組(R1,R4)線性表示，因此其運動輸出特征取為t1(圓,R5)。由于R2與R5不平行，依移動特征求并運算規則(3)中的情況②可知：TC=t2(平面,R2)∪t1(圓,R5)=t3。RC保持上步結果r2(R1,R4)不變。

(5)輸出末端構件運動特征集M

(5)

圖3b機構運動特征主要分析步驟及結果如下：首先，容易分析得到R1‖R2‖R3的轉動特征和移動特征分別為r1(R1)和t2(平面,R2)。其次，不難判定平行四邊形機構(4R)和運動副R4的運動輸出特征分別為t1(圓,R)和r1(R4)。最后，依求并運算規則可知：該機構移動特征集為TC=t2(平面,R2)∪t1(圓,R)=t3，轉動特征集為RC=r1(R1)∪r1(R4)=r2(R1,R4)。因此該機構末端構件運動特征集亦為式(5)。

3 并聯機構動平臺的運動特征

3.1 并聯機構動平臺運動特征的分析方法

由于動平臺是在各支鏈共同作用下進行運動，因此并聯機器人機構動平臺的運動特征是各支鏈末端運動特征的交集。

3.1.1動平臺轉動特征的分析方法

根據定義2可知，轉動特征集是轉動軸線方向單位向量的集合，因此分析并聯機構動平臺轉動特征的問題，可轉化為確定各支鏈轉動特征集的公共向量問題，具體分析方法如下：

設并聯機構有m條支鏈組成，各支鏈轉動特征集及其維數分別記為Sj和qj，其中j=1, 2,…,m,則并聯機構動平臺的轉動特征RC可表示為

(6)

由于式(6)中m個轉動特征集均為單位向量的集合，因此由線性代數知識不難確定它們的公共向量(記為S)，進而得公共向量S的維數q，從而得到并聯機構動平臺的轉動特征。

3.1.2各支鏈末端移動特征的求交運算規則

根據定義1可知，移動空間不屬于線性空間，不能利用線性相關性得到求交運算結果。由于各支鏈移動空間的整體形態特征已知，因此可采用幾何方法分析確定出求交運算結果。

(1)t0與其他移動特征的求交運算規則

t0∩tp(w,N)=t0

(2)t1與t1的求交運算規則

按移動空間類型劃分，存在如下3種情況：

①t1(直線,P1)∩t1(直線,P2)。空間兩直線的位置關系存在平行、相交和交叉3種情況。當且僅當兩直線相互平行時，二者交集為一段連續的位移空間，故P1‖P2時TC=t1(直線,P1)，否則TC=t0。

②t1(直線,P)∩t1(圓,R)。由于直線和圓的交集不是一段連續的位移空間，因此TC=t0。

③t1(圓,R1)∩t1(圓,R2)。如表3所示，二者的求交結果一般為t0，但存在如下特殊情況：當兩圓所在平面平行，兩圓大小相等，且機構末端構件分別聯接在兩圓的對應位置點上時，二者的求交結果為TC=t1(圓,R1)。

表3兩圓周平移的求交運算規則
Tab.3Intersectionoperationrulesoftwocirculartranslation

值得注意的是，兩圓大小相等需要由構件的尺寸保證，但在進行機構拓撲結構分析與綜合時，一般不考慮構件的具體尺寸，因此本文后續求交運算規則中均不考慮構件尺寸對機構末端運動特征的影響，即默認各支鏈移動空間的大小不相等。

(3)t1與t2的求交運算規則

按移動空間類型劃分，存在如下7種情況：

①t1(直線,P)∩t2(平面,n)。當且僅當直線和平面平行(即P⊥n)時，二者交集為一段連續的位移空間，求交結果為TC=t1(直線,P)，否則TC=t0。

②t1(直線,P1)∩t2(圓柱面,P2+R)。當且僅當直線和圓柱面的素線平行(即P1‖P2)時，求交結果為TC=t1(直線,P1)，否則TC=t0。

③t1(直線,P1)∩t2(圓錐面,P2+R)。當且僅當直線和圓錐面的素線平行(即P1‖P2)時，二者交集TC=t1(直線,P1)，否則TC=t0。

④t1(直線,P)∩t2(環面,R1+R2)。由幾何知識可知直線和環面的交集不是一段連續的位移空間，因此二者求交結果為TC=t0。

⑤t1(直線,P)∩t2(球面,R1+R2)。由于直線和球面的交集不是一段連續的位移空間，因此二者求交結果為TC=t0。

⑥t1(圓,R)∩t2(平面,n)。當且僅當圓周所在平面和平面平行(即R‖n)時，二者交集為一段連續的位移空間，求交結果為TC=t1(圓,R)，否則TC=t0。

⑦不考慮構件的具體尺寸，即默認各支鏈移動空間的大小不相等時，圓周與圓柱面、圓錐面、環面以及球面的交集都不是一段連續的位移空間，因此t1(圓,R)與t2(圓柱面,P+R)，t2(圓錐面,P+R)，t2(環面,R1+R2)以及t2(球面,R1+R2)的求交結果均為TC=t0。

(4)t2與t2的求交運算規則

由于2維移動空間的整體形態包括平面和曲面(圓柱面、圓錐面、環面、球面)2種類型，因此存在如下3種情況：

①t2(平面,n1)∩t2(平面,n2)。當n1‖n2時二者求交結果為TC=t2(平面,n1)；否則求交結果為TC=t1(直線,n1×n2)。

②平面和曲面求交。可知，平面和曲面的交集為截交線。截交線形狀包括橢圓、圓、拋物線、雙曲線等，但它們均為平面曲線。因此這類移動空間均為1維平面曲線，其整體形態均可稱為截交線。例如，2維移動特征t2(平面,n)與t2(圓柱面,P+R)的求交結果可表示為TC=t1(截交線,n)。

③曲面和曲面求交。可知，曲面和曲面的交集為相貫線。相貫線屬于空間曲線。因此這類移動空間為1維空間曲線，其整體形態可統稱為相貫線。例如，2維移動特征t2(圓柱面,P1+R1)與t2(圓錐面,P2+R2)的求交結果可表示為TC=t1(相貫線,(P1+R1)∩(P2+R2))。

(5)t3與其他移動特征的求交運算規則

t3∩tp(w,N)=tp(w,N)

3.2 實例分析

例2：分析確定圖4a[15]和圖4b[17]并聯機構的動平臺運動特征集。

圖4 機構簡圖(例2)Fig.4 Structure diagrams of example 2

圖4a所示機構由4條支鏈組成，并且支鏈Ⅰ和Ⅱ的結構特征均為R‖R‖R⊥R‖R；支鏈Ⅲ和Ⅳ的結構特征均為R-S-S。聯接在靜平臺上的4個轉動副方位特征為R11‖R31‖R41⊥R21；聯接在動平臺上的2個轉動副方位特征為R15‖R25。該機構動平臺運動特征分析步驟及結果如下：

由例1可知，支鏈Ⅰ和Ⅱ的移動特征均為t3；轉動特征分別為r2(R11,R14)和r2(R21,R24)。將支鏈Ⅲ和Ⅳ中的球副等效為軸線匯交于1點的3個轉動副后，利用上述串聯機構運動特征分析方法不難發現，二者的移動特征和轉動特征分別為t3和r3。

根據3.1節介紹的運動特征求交運算規則，動平臺的移動特征為TC=t3∩t3∩t3∩t3=t3。由于R14‖R15‖R25‖R24但R11⊥R21，故向量組(R11,R14)和(R21,R24)的公共向量為R14，因此轉動特征為RC=r2(R11,R14)∩r2(R21,R24)∩r3∩r3=r1(R14)。圖4a所示機構的動平臺運動特征集M為

(7)

式(7)表明，該機構的動平臺具有在3維平移以及繞R14方向旋轉的運動輸出能力。這與文獻[15]分析結果一致。

圖4b所示機構由4條相同支鏈組成，其結構特征均為R‖R(-4R-)‖R⊥R。聯接在靜平臺上的4個轉動副的方位特征為R11‖R31⊥R21‖R41；聯接在動平臺上的4個轉動副的方位特征為R14‖R24‖R34‖R44。該機構動平臺運動特征分析步驟及結果如下：

由例1可知，4條支鏈的移動特征均為t3，轉動特征為r2(Ri1,Ri4)，i=1,2,3,4。

由于R14‖R15‖R25‖R24但R11‖R31⊥R21‖R41，故向量組(R11,R14)、(R21,R24)、(R31,R34)、(R41,R44)的公共向量為R14。根據3.1節介紹的運動特征求交運算規則，該機構動平臺的移動特征TC和轉動特征RC為

(8)

式(8)表明，該機構動平臺具有在3維平移以及繞R14方向旋轉的運動輸出能力。這與文獻[17]分析結果一致。

例3：分析確定圖5所示并聯機器人機構動平臺的運動特征。

圖5 機構簡圖(例3)Fig.5 Structure diagram of example 3

圖5所示機構由2條支鏈組成，支鏈1的結構特征為R11‖P12‖R13，支鏈2的結構特征為R21‖P22‖R23。

利用串聯機構運動特征分析方法可得：支鏈1的轉動特征和移動特征分別為r1(R11)和t2(圓柱面,P12+R13)；支鏈2的轉動特征和移動特征分別為r1(R21)和t2(圓柱面,P22+R23)。

由3.1節的支鏈運動特征求交運算規則可得：由于R11和R21不平行，故動平臺的轉動特征RC=r1(R11)∩r1(R21)=r0，移動特征TC為t1(相貫線,(P12+R13)∩(P22+R23))。因此圖5所示機構動平臺的運動特征集M為

(9)

式(9)表明，該機構的動平臺僅能沿兩圓柱面的相貫線作平移運動。

例4：分析確定圖6所示并聯機器人機構動平臺的運動特征。

圖6 機構簡圖(例4)Fig.6 Structure diagram of example 4

圖6所示機構由3條支鏈組成。支鏈1的結構特征為R11‖P12‖R13‖R14，支鏈2的結構特征為R21‖P22‖R23，支鏈3由4個運動副依次串聯，結構特征為P31‖R32‖R33‖R34，并且各支鏈聯接在機架上的3個運動副滿足R11‖R21‖P31。

利用串聯機構運動特征分析方法可得：支鏈1的轉動特征和移動特征分別為r1(R11)和t3；支鏈2的轉動特征和移動特征分別為r1(R21)和t2(圓柱面,P22+R23)；支鏈3的轉動特征和移動特征分別為r1(R32)和t3。

由于R11‖R21‖P31‖R32，故其轉動特征RC為r1(R11)∩r1(R21)∩r1(R32)=r1(R11)，移動特征TC為t3∩t2(圓柱面,P22+R23)∩t3=t2(圓柱面,P22+R23)。圖6所示機構動平臺的運動特征集M為

(10)

式(10)表明，該機構的動平臺具有在2維空間(整體形態為圓柱面)上平移以及繞R11方向旋轉的運動輸出能力。

4 結論

(1)提出的基于高斯幾何學的描述方法可以準確、完整地描述機器人末端構件的運動特征。

(2)運動空間整體形態是運動特征的重要信息之一，根據運動空間整體形態對機構類型作進一步細分，有利于豐富和完善現有機構類型庫。

(3)與代數方法相比，機器人末端運動特征幾何化分析方法具有簡單、直觀等優點。對于具有彎曲移動特征的機構而言，該方法的優勢更為顯著。