探析數學概念在幾何最值問題中的有效應用

蘇海青

【摘要】? ? 本文將立足幾何最值問題，探析數學概念在幾何最值問題中的有效應用，以期為有識之士提供一些參考，把握幾何學的發展脈絡，構建幾何最值問題的邏輯方法體系。

【關鍵詞】? ? 數學概念? ? 幾何學? ? 最值問題

引言：在數學學習過程中，要堅持以數學概念作為指引。認識數學概念是把握數學公式、理解數學規律的基礎，也是數學鉆研的前提。只有充分認識數學概念，才能在無涯學海中乘風破浪，獲得研究實績。因此在學習過程中，應該熟知數學概念、領悟數學概念、應用數學概念。

一、幾何概念的應用

1.1幾何概念的發展

在數學思維中，最先作為語言符號的是數量與圖形。從某個角度來看，幾何圖形是數學學科最基礎的研究對象，數學學科的發展以幾何圖形研究作為基礎，數學思維方法的形成以幾何圖形研究作為前提條件。隨著時代的不斷更迭，數學思維由算數層面轉向了代數層面，以幾何圖形為主要內容的空間思維形式得到發展[1]。

在數學發展之路上，數量與空間存在緊密聯系，人類在最先認識社會時，總是將著眼點放在數量和空間上，探索數量與空間的關系。我國古代先賢提出了空間觀念，如長度、面積等，使數量和空間真正結合到一起。《九章算術》是我國最具價值的數學古書之一，其中有大量例證，體現了數量思維與空間思維的整合。以勾股定理為例，我國古代數學家趙爽依靠數量與空間這兩個概念，論證了勾股定理，并繪制了勾股定理圖示，對其進行了注釋。對世界數學學科的發展進行分析，發現各國數學體系的構建基本上都是以幾何圖形作為發端。幾何圖形是數學思維的起點，幾何圖形對世界數學作出了不可磨滅的貢獻。歐幾里得最早對空間觀念進行了發展，將幾何學作為一門獨立學科，使數量和空間相對獨立。在古希臘時期，代數學和幾何學還沒有正式分家，嚴密的邏輯體系尚未形成。直到公元三世紀，幾何學研究越來越多，且研究者數不勝數，使代數學處于從屬位置。古希臘學者偏好對直觀圖形進行觀察，對幾何學知識進行推導，對圖形關系進行探究，并從中歸納幾何學概念、推導幾何學定理等等。空間思維方法逐漸成為一個時代的先導，助推了科學學科的發展。與國外相比，我國雖然沒有形成以推理論證為依托的思維模式，但是幾何思維已經初具雛形。《九章算術》“方田”章給出了若干空間概念，如正方形、三角形等，數學家在其中提出了不同圖形面積的計算方法，是對世界數學研究的重大突破。除了對圖形面積進行計算外，《九章算術》還提出了立體圖形的體積計算方法，使數學學科發展真正邁向了新的發展臺階[2]。

空間思維是解析幾何問題的重中之重，在今天的數學學習中，需要始終培養空間思維，以空間思維觀察數學問題，勘透數學問題的本質，把握數學問題的規律。古人尚能理解圖形的幾何直觀意義，今人更該努力。從某個角度來看，空間思維方式是數學學科的最重要思維方式之一，而這種思維方式的形成需要依賴長期學習、刻苦鉆研。空間思維模式從古希臘時期發展至今，已經具備了嚴密的邏輯體系。在歐幾里得獲得成果之后，幾何學領域提出的問題越來越多，難度越來越大。如何超越前人的研究成果，使幾何學向前發展，成為數學家們關注的重要問題。幾何問題論證需要較高的技巧，且邏輯推理非常復雜，單一方法不足以解決問題。在十六世紀數量化思維得到發展，數學符號初步形成體系，方程問題得到了解決。此時數量化思維更盛，空間思維受到冷落。最先認識到數量與空間關系的十六世紀學者是法國韋達，其將代數方法和空間幾何方法結合在一起，并提出應用代數方程表示曲線的構想，為數量化思維、空間思維的相融發展奠定了堅實基礎。后來的學者笛卡爾站在韋達的肩膀上開展研究，借鑒了其先進的數學思想，依靠坐標系來表現平面上的數字，并將應用代數方程表示曲線的構想轉化為現實。費馬對這一課題較感興趣，也開展了數學論證，并最終提出數形結合的思維方法。解析幾何和代數結合相融，使幾何學朝著代數化的方向發展。代數和幾何在此時真正到達了統一水平面，坐標系整合了數量思維與空間思維，更新了數學學科的思維模式，打破了空間結構與形式的限制。

1.2幾何概念的重要性

在解決幾何最值問題時把握幾何概念，具有重要意義。第一，把握幾何概念，可以在解析幾何最值問題時追溯根源。古希臘歐幾里得學者提出的數學概念類屬于靜態幾何學的范疇，隨著數學研究的不斷深入，靜態幾何學朝著動態幾何學的方向發展，圖形運動轉變為曲線，而曲線變成了點的軌跡。在學習過程中追溯歷史，能夠形成動態思維，真正勘透幾何圖形的變化。第二，把握幾何概念，可以在解析幾何最值問題時融合數學方法。幾何概念的發展體現了數量思維與空間思維的整合，人們對圖形的主觀認識發生變化，經驗性的知識不再準確，人們需要開展邏輯推理，使個人思維朝著抽象層面過渡。現實空間有三維特征，但是抽象空間卻被無限延長無限放大。在抽象世界學者可以對數學知識進行大膽創新，拓展傳統的數學研究領域。第三，把握幾何概念，可以在解析幾何最值問題時獲得研究思路。今人應該將數學研究作為己任，在數學領域上開疆擴土。理解幾何概念，能夠賦予圖形新的內容，對代數結果有更加直觀的思維追求。數學研究需要創新性思維，空間思維與代數思維的整合能夠助力學術發展，摘取研究果實[3]。

空間思維與代數思維相融，使數學研究領域有了新的突破，幾何代數方法逐漸成為數學問題解析的最常見方法，數量關系經常表達抽象模型概念，代數與幾何緊密相連，使人們從不同角度把握了數學知識。幾何最值問題實際上也是由幾何學基礎知識衍生而來的，想要真正解決這一類問題，就必須把握空間思維的發展脈絡。空間思維發展證明，歐幾里得式的空間并不固定，空間可以是彎曲的，甚至可以是折疊的，空間不僅存在于現實當中，也存在于想象當中。解析幾何出現之后，代數幾何思想融合，靜態幾何朝著動態方向發展，變量這一概念引入了數學，微積分相應產生。變量實際上也是最值問題的鋪墊，在依靠數學知識解答幾何最值問題時，必須把握變量這一概念，具備數形結合的思維方法。空間思維擴展了幾何領域，也發展了代數領域。線性空間等概念形成，助力了幾何學的飛速發展。曲線與曲面研究相繼開展，數學家們在科學探究之路上馬不停蹄，最終使近代代數幾何學體系構建起來。

二、最值概念的應用

在解析幾何最值問題時，需要把握最值這一概念。在理解最值概念時，需要將函數最值作為基礎，因為在求幾何最值的過程中，經常需要將其面積表達為函數，通過函數性質確定取值范圍，求出最后的結果。最值包括兩個：第一個是最大值，第二個是最小值。函數最大值和最小值都存在于定義域中，最大值是定義域中的最大數，最小值是定義域中的最小數。函數最大值和最小值都有圖形意義，分別為縱坐標的最高點和最低點。解決幾何最值問題，首先要判斷函數類型，根據函數概念開展具體的解析工作。以一次函數為例，一次函數又被稱為線性函數，在坐標中即是直線，當變量確定，另一個變量也可以表達出來。一次函數分為正比例函數和普通一次函數，在自變量有范圍的情況下，最大值和最小值都可以順利求出。當然，當表達式中的常數有正負之分，需要對最大值最小值進行區分。以二次函數為例，二次函數又被稱為二次項函數，其中有一次項系數、常數項等等，自變量的最高次數為二。未知數是一個數，其在范圍之內取值。微分方程等是未知函數，存在未知數的概念[4]。二次函數的最值同樣與常數有關，與一次函數最值的解析路徑存在相似之處。以反比例函數為例，反比例函數存在兩個變量，兩個變量分別是自變量和因變量，自變量的取值不能等于零。反比例函數的最值在求解過程中仍然和一次函數、二次函數存在相通之處，需要考察常數的取值范圍。與二次函數相比，反比例函數的最值并不固定。與一次函數相比，反比例函數的最值求解同樣需要確定自變量范圍。

在解析幾何最值問題時把握最值概念，具有重要意義。第一，把握最值概念，能夠開拓問題解析的思路。在高等數學學習階段，需要不斷拓展學習思路，開拓理論研究領域。最值概念是解析幾何最值問題的依據，在充分理解概念后可以對問題進行創新型闡釋，從基礎方法出發去探索新的解析路徑，從而把握數學知識的發展規律，形成概念化的方法體系。第二，把握最值概念，能夠優化數學解析思維。幾何學經過發展，與代數學的聯系更加緊密，最值問題實際上是對幾何學知識、代數學知識的融合，對研究者的空間思維、代數思維提出要求。掌握最值概念的過程，實際上就是思維訓練的過程，有利于簡化數學學習，在幾何空間代數研究中有所突破。

三、幾何最值概念的應用

在把握幾何概念、最值概念之后，可以正視幾何最值概念。幾何最值問題指的是將幾何圖形轉化成為函數形式，依靠代數建構模型，整合空間思維和代數思維，并依靠函數性質進行求解。函數有自變量和因變量，因此有取值范圍，范圍內的最大值和最小值，就是幾何最值。一般來說，幾何最值求解方式包括以下幾種：第一，可以采用線段最小方法，對圖形進行平移、對稱旋轉等等，使點在線段不同側。第二，可以采用線段最長方法，對圖形進行平移、對稱旋轉等等，使點在線段相同側。第三，可以采用轉化、構造新圖形方法，使目標線段與定長線段形成新圖形（一般為三角形）。學術研究不斷深入，幾何最值概念也在不斷發展。在新的時代背景下，應該學習學術研究的最新知識，對幾何最值概念進行深化，對幾何最值求解方法進行創新。

結論：綜上所述，我國的教育事業不斷發展，數學研究工作更進一步。幾何最值問題是一個重要問題，數學概念在問題解析中占據重要位置。在理論研究過程中，應該培養空間思維、代數思維，把握幾何學、最值和幾何最值的概念。

參? 考? 文? 獻

[1]朱建良.問題驅動? 模型識別? 揭示本質——基于求解初中幾何最值問題的探究與思考[J].中學數學研究，2019（06）：7-10.

[2]夏培培.以問題為“驅動”發展學生數學高階思維能力——以“幾何最值問題”的專題探究為例[J].中學數學，2019（06）：44-46.

[3]葉春泉.析疑難之諸因，探求解之通法——反思求解一類幾何最值問題[J].中學數學，2018（24）：80-82.

[4]吉宏軍.構造隱形圓，妙求幾何最值——以一道幾何最值問題為例[J].數學教學通訊，2018（29）：71-73.