矩陣和行列式的幾何意義及其應用

陸昭昭

【摘要】矩陣和行列式對于向量空間的研究十分重要。本文首先給出了矩陣和行列式的定義，并介紹了矩陣及行列式的基本計算法則；然后基于矩陣的基本計算，探究了兩個基本的幾何變換（旋轉和伸縮）及其對應的矩陣形式及參數；最后給出了幾個典型的應用場景：求曲線旋轉后的解析表達式、根據解析表達式確定曲線的位置。

【關鍵詞】矩陣 行列式 伸縮旋轉 解析幾何

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2019）03-0148-02

1.引言

高中數學雖不涉及矩陣和行列式，但其解析幾何、多元方程組的相關知識可以與矩陣建立較強的聯系。通過對矩陣及行列式的定義進行研究并探究其幾何意義，可以為一些解析幾何問題提供新思路[1，2]。

伸縮和旋轉是兩類典型的幾何變換，利用矩陣乘法可以建立初始向量和變換（伸縮或旋轉或兩者的組合）后向量的關系，在向量空間中伸縮和旋轉變換均可以和相關矩陣相對應。基于這一想法，本文探究了伸縮和旋轉變換的具體矩陣形式和參數。并探究了這一結果在解析幾何中的應用。本文在第二部分主要介紹了一些基本概念和基本運算法則，并從向量空間的相關概念出發，將矩陣乘法和伸縮旋轉等幾何變化過程聯系起來。在第三部分主要給出了這一幾何意義在解析幾何問題中的應用。

2.矩陣及行列式的基本概念

2.1矩陣的基本概念及運算

矩陣的本質是一個表格，由m×n個數組成。

A=

矩陣A可簡寫為（a ） 。當m=n時，矩陣是一個方陣。當m=1時，矩陣有1行n列，稱之為行向量。當n=1時，矩陣有m行1列，稱之為列向量[1]。向量是特殊的矩陣，了解這一特性有助于對后續相關理論的推導。

矩陣可以進行加法和乘法計算：

A+B=（a ） +（b ）

A=（a ） B=（b ）

AB=（c ）

c = a b （i=1，…m；j=1，…n）

可以看到，矩陣的加法是將兩矩陣對應元素分別相加。矩陣的乘法則是根據“左行乘右列”的法則，進行m×n次相乘及求和的計算，形成一個新的矩陣。特別地，如果是行向量乘以列向量，那么新的矩陣是一行一列，也就是一個數，這個數等于兩個向量的內積。

2.2矩陣的行列式

行列式是與矩陣相關的一個概念。只有方陣（行數與列數相等的矩陣）存在行列式。n階方陣A=（a ） ，其行列式det（A）或|A|的定義為

det（A）= （-1） a ，a …a

|A|= （-1） a ，a …a

二階行列式的表達式為：

A=a bc d |A|=ad-bc

行列式與矩陣的乘法運算具有如下關系：

|AB|=|A||B|

2.3逆矩陣與轉置矩陣

如下所示，單位矩陣E是矩陣對角線上全為1的矩陣

E=

單位矩陣具有特殊的性質，它類似于實數運算中的“1”，類比來看，相乘等于1的兩數互為倒數。相乘為單位矩陣的兩個方陣互為逆矩陣。A的逆矩陣寫作A

AB=E B=A

將一個矩陣的行列顛倒形成，形成的矩陣為轉置矩陣，記為A ， 若A是方陣，則它轉置后對角線元素不變，且行列式不變。兩矩陣相乘后的轉置有（AB） =B A ，這一性質可以由矩陣“左行乘右列”的法則推導出來，且在后續的應用探究中有很大的作用。

A= A =

|A||A | （AB） =B A

2.4矩陣和行列式的幾何意義探究

對矩陣的乘法運算進行進一步探究和分析。可以看到，n維行向量乘以n階方陣，可形成新的n維行向量。換言之，向量通過矩陣乘法變成一個新的向量。受此啟發，可以用矩陣刻畫向量的變換。

首先考慮伸縮變換，伸縮變換可以簡單理解為將某一向量x、y軸的坐標分別擴大某一倍數。經過簡單推導，伸縮變換對應的矩陣可以寫為T。

T=a 00 b

A=[x y] AT=[ax by]

考慮旋轉變換，一個向量A繞原點逆時針旋轉θ形成A′，根據高中數學中極坐標和三角函數的相關理論可以做出如下推導

A=[x y] x=rcosα y=rsinα

A′=[x′ y′] x′=rcos（α+θ） y′=rsin（α+θ）

[x′ y′]=[rcosαcosθ-rsinαsinθ rsinαcosθ+rcosαsinθ]

=[xcosθ-ysinθ xsinθ+ycosθ]

=[x y]cosθ sinθ-sinθ cosθ

根據上述推導，二維矩陣進行順（逆）時針旋轉變換的矩陣[3，4]可以寫為

R1=cosθ sinθ-sinθ cosθ（逆時針） R2=cosθ -sinθsinθ cosθ（順時針）

求取上述兩個矩陣的行列式及逆矩陣，可得

|R1|=|R2|=1 R1R2=E

具體地，其一，R1行列式為1，從幾何意義上來看，將一個向量進行旋轉，它的模長不變；其二，R1 R2相乘為單位矩陣（即兩者互為逆矩陣）。從幾何意義上來看，將一個向量相繼順時針和逆時針旋轉相同角度，該向量不變（作用等同于單位矩陣）。

3.應用探究

3.1 求曲線旋轉后的解析表達式

將雙曲線x2-y2=1順時針旋轉θ（銳角，tanθ=3/4），探究旋轉后曲線的解析式及旋轉后漸近線的表達式。

寫出順時針旋轉θ的旋轉矩陣，即

R=cosθ -sinθsinθ cosθ= 4/5 -3/53/5 4/5

旋轉后的曲線坐標[x′ y′]與原始的雙曲線有如下關系

[x y]R=[x′ y′]

[x y]=[x′ y′]R-1

=[x′ y′]4/5 3/5-3/5 4/5

根據矩陣乘法及雙曲線的原表達式，可以得到旋轉后的雙曲線解析表達式。

x=4/5x′-3/5y′y=3/5x′+4/5y′？圯7x2-7y2-48xy=25x2-y2=1

原雙曲線的漸近線為y=±x，可以得到其直線的方向向量，通過對直線的方向向量進行旋轉變換，可以得到旋轉后的兩條漸近線。

[1 1]4/5 -3/53/5 4/5=[7/5 1/5]？圯y= x

[1 -1]4/5 -3/53/5 4/5=[1/5 -7/5]？圯y=-7x

可以看到，我們可以通過旋轉矩陣（及其逆矩陣）構造兩條雙曲線之間的關系，進而求得具體解析表達式。新的解析式有交叉項xy，這比規整（焦點在坐標軸上）的圓錐曲線解析式更為復雜。旋轉后，兩條漸進線仍然保持了互相垂直的特性，這說明旋轉變換不會改變曲線的相對位置。

3.2 根據曲線解析表達式求曲線的位置

已知圓錐曲線的方程為9x2+11y2=2 xy=24，求其焦點坐標。

該圓錐曲線的二次項系數均大于0，判斷它是平面上的橢圓。根據3.1的相關結論，解析式中有交叉項xy，其焦點并不在坐標軸上。又根據第二章的推導，任一橢圓均可由單位圓進行伸縮和旋轉變換得到。那么對任意橢圓進行逆變換（即反向旋轉和伸縮），同樣可以得到單位圓。基于兩個結論，我們設單位圓上的點為[x0 y0]，有

x02+y02=1

[x0 y0]=[x y]A

對橢圓進行旋轉、伸縮變換得到單位圓。因此變換矩陣A是旋轉矩陣與伸縮矩陣的復合，將它寫成旋轉矩陣與伸縮矩陣相乘的形式

A=cosθ -sinθsinθ cosθa 00 b

將單位圓方程x02+y02=1寫為矩陣形式，并利用[x0 y0]=[x y]A做相應推導

x02+y02=1

？圳[x0 y0][x0 y0]T=1

？圳[x y]A（[x y]A）T=1

？圳[x y]（AAT）[x y]T=1

將橢圓方程寫為矩陣形式

9x2+11y2=2 xy=24

？圳 [x y]9 11[x y]T=1

兩式形式一致，可得

AAT=cosθ -sinθsinθ cosθa 00 ba 00 bcosθ sinθ-sinθ cosθ

= 9 11

由第二部分矩陣相乘與行列式的關系

AAT=cosθ -sinθsinθ cosθa 00 ba 00 bcosθ sinθ-sinθ cosθ

=1·ab·ab·1=9/24 /24 /24 11/24=1/6？圯a2b2=1/6

又由三角函數相關理論得

AAT=cosθ -sinθsinθ cosθa 00 ba 00 bcosθ sinθ-sinθ cosθ

=a2cos2θ+b2sin2θ … … a2sin2θ+b2cos2θ

=9/24 … … 11/24？圯

（a2cos2θ+b2sin2θ）+（a2sin2θ+b2cos2θ）=9/24+11/24a2+b2=5/6

計算可得a， b， θ的一組解

a= b= θ=-π/6

根據本文2.4的相關分析， A代表著如下的旋轉、伸縮過程：將圖形（橢圓）順時針旋轉-π/6；將圖形（橢圓）橫縱坐標分別縮小 ， 倍。那么我們考慮其逆變換，將單位圓橫縱坐標分別擴大相應倍數，得到一焦點在x軸上的橢圓。其焦點坐標為[±1 0]。再順時針旋轉π/6，則該橢圓的焦點坐標應為[± /2 1/ ]。

可以看到，在這個應用探究中，我們利用了將二次解析式轉化為矩陣形式表達的技巧。巧妙地利用AAT這一對稱矩陣刻畫了單位圓與任意橢圓之間的關系，將該探究問題轉化為一個求相關參數的代數問題，體現了數形結合的思想。在計算過程中，我們利用第二章所述的行列式概念及相關性質，配合運用三角函數的恒等式簡化了計算過程，提高了計算效率。

4.結語

本文基于矩陣和行列式的基本概念，建立了向量變換與矩陣、行列式的聯系。并對簡單幾何變換（伸縮和旋轉）對應的矩陣及其相關參數進行了深入的分析、探究，并做了相關推導和計算。利用這一結果，給出了兩類典型解析幾何問題的求解思路，即構造簡單曲線與復雜曲線之間的矩陣關系，利用矩陣乘法的相關法則定量刻畫曲線間的關系。本文所提解決方法思路清晰，有較大的實用價值。

參考文獻：

[1]張遠達.線性代數原理[M]. 上海教育出版社， 1980.

[2]楊德貴.高等代數與解析幾何一體化教學改革的探索[J].貴州師范大學學報（自然科學版）， 2005（4）：101-104.

[3]趙天奇，陳東海.旋轉矩陣及其應用[J]. 中原工學院學報， 1994（1）：72-75.

[4]許永平.旋轉矩陣的概念與一些結論[J]. 江蘇開放大學學報， 1997（2）：81-83.