g模糊微分方程一類邊值問題解的存在唯一性

孫鳳嬌， 陳 峰

(河海大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 南京 211100)

在[1]中，作者研究了實值函數(shù)關(guān)于另外一個實值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，這種導(dǎo)數(shù)被稱作g導(dǎo)數(shù)。g導(dǎo)數(shù)包含時標(biāo)上的Δ導(dǎo)數(shù)，而且由它引出的微分方程不僅包括時標(biāo)上的動態(tài)方程，也包括脈沖微分方程。對g導(dǎo)數(shù)的研究最早追溯到1917年[2-3]，當(dāng)時學(xué)者主要為了研究Stieltjes積分相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)。最近，在[4]中，作者研究了實值分布微分方程、實值g微分方程和相應(yīng)積分方程的等價性條件，得到了實值g微分方程解的存在性定理。

我們基于模糊值函數(shù)的g導(dǎo)數(shù)概念，建立了模糊值函數(shù)的g模糊微分方程，推廣了一般的模糊微分方程。模糊值函數(shù)的Henstock-Stieltjes積分[5-6]對于我們的研究起到了重要的作用。

本文主要研究下述g模糊微分方程一類邊值問題解的存在性和唯一性，

(1)

λx(0)=x(T),

(2)

1 預(yù)備知識

E表示所有一維模糊數(shù)構(gòu)成的空間。對任意α∈(0,1],u∈E,[u]α={x∈R|u(x)≥α},稱為u的α—截集，它是一個閉區(qū)間。對于u,v∈E,[u+v]α=[u]α+[v]α。

定義模糊數(shù)距離如下，

其中dH表示[u]α和[v]α的Hausdorff距離[7]。在這樣的距離下，E是完備的空間。

模糊數(shù)的距離有如下性質(zhì)[8]:

(1)d(u+v,w+v)=d(u,w),?u,w,v∈E；

(2)d(ku,kv)=|k|d(u,v),?u,v∈E,k∈R；

(3)d(u+v,w+e)d(u,w)+d(v,e),?u,w,v,e∈E。

我們稱映射f:[a,b]→E為一個模糊值函數(shù)。對任意ε>0,如果存在δ>0,使得對t∈[a,b],只要|t-t0|<δ,都有d(f(t),f(t0))<ε,則稱模糊值函數(shù)f在t0∈[a,b]是連續(xù)的。如果f在[a,b]上任一點都是連續(xù)的，則稱f是[a,b]上的連續(xù)模糊值函數(shù)。我們用C([a,b],E)表示定義在[a,b]上的所有連續(xù)模糊值函數(shù)。(C([a,b],E),dC)是完備的半線性空間[8][9]，其中dC定義如下，

模糊數(shù)的減法運算由加法運算引出，我們先給出模糊數(shù)的加法運算[8]。設(shè)u,v∈E,

設(shè)模糊數(shù)u,v∈E,如果存在w∈E,使得u=v+w,那么我們稱w為u和v之間的差，記為w=u?v。在本文中，“?”表示模糊數(shù)之間差的運算，注意到u?v≠u+(-v)。

則稱函數(shù)f在t0點是g可微的。

引理1[5]設(shè)模糊值函數(shù)f和h是關(guān)于定義在[a,b]上的實值增函數(shù)g是Henstock-Stieltjes模糊可積的，則下述性質(zhì)成立：

引理2[5]設(shè)f:[a,b]→E關(guān)于定義在[a,b]上的實值增函數(shù)g是Henstock-Stieltjes模糊可積的，若g是連續(xù)的，則

也是連續(xù)的。

引理3[6]設(shè)g:[a,b]→R是定義在[a,b]上的實值有界變差函數(shù)，{fn}是定義在[a,b]上關(guān)于g的Henstock-Stieltjes模糊可積函數(shù)列。若fn一致收斂于f,則f在[a,b]上關(guān)于函數(shù)g是Henstock-Stieltjes可積的且

引理4[10]若f是定義在[a,b]上的實值正則函數(shù)，g是定義在[a,b]上的實值有界變差函數(shù)，則

定義2[11]若存在一個緊集K?R,使得對A?E中的任意元素u,均有[u]0?K,則稱A具有緊支集。

定義3[11]設(shè)A?E,若對任意ε>0,存在δ>0,使得對任意u∈A,存在α0∈[0,1],只要|α-α0|<δ,都有dH([u]α,[u]α0)<ε,那么稱A在α0上是截集等度連續(xù)的。如果A在任意α0∈[0,1]都截集等度連續(xù)，那么稱A在[0,1]上截集等度連續(xù)。

定義4[11]設(shè)f:[a,b]×E→E,如果對任意I?[a,b]和有界子集A?E,都有f(I×A)在E中相對緊，則稱連續(xù)映射f:[a,b]×E→E是緊的。

引理5[9]設(shè)A是E中的子集，A在E中相對緊等價于A在E中具有緊支集且A在[0,1]上截集等度連續(xù)。

引理6[11](Ascoli-Arzelá) 設(shè)X是緊的距離空間，Y是距離空間，M?C(X,Y),則M是相對緊的，當(dāng)且僅當(dāng)下列條件成立：

(1)M等度連續(xù)；

(2)對任意α∈X,集合E(a)={f(a)|f∈M}在Y中相對緊。

引理7[9](Schauder不動點定理) 設(shè)X是具有消去性的半線性空間，M是X中的非空有界閉凸子集，若T:M→M是一個緊算子，則T在M中至少有一個不動點。

注1當(dāng)x滿足下面的積分方程，λ≠1時，

2 解的存在性

在λ>1時,我們有如下存在性結(jié)論：

定理1若f:[0,T]×E→E滿足下列條件：

(1)對于任意x∈C([0,T],E),f(t,x(t))關(guān)于g是Henstock-Stieltjes可積的；

(2)對任意t∈[0,T],f(t,·)連續(xù)；

(3)f是緊的；

則方程(1)-(2)至少存在一個解。

證明定義一個算子T如下，

則由于g是連續(xù)的，由引理2知Tx(t)也是連續(xù)的。由注1知，算子T的不動點就是問題的解。接下來我們證明算子T有不動點。

第一步T(Br)?Br。

對任意t∈[0,T],x∈Br,借助引理1和模糊數(shù)距離的性質(zhì)我們有

r。

第二步T(Br)相對緊。

對任意t∈[0,T],x∈Br,借助引理1和模糊數(shù)距離的性質(zhì)我們有

d(Tx(t),Tx(t0))

由于g連續(xù)，當(dāng)t→t0時，d(Tx(t),Tx(t0))→0。于是T(Br)是等度連續(xù)的。

設(shè)Ω={x(t)|t∈[0,T],x∈Br}。由于f是緊的，則由引理5知f([0,T]×Ω)具有緊支集且截集等度連續(xù)，因此有緊集K,使得對任意t∈[0,T],x∈Br,我們有[f(t,x(t))]0?K。并且對任意ε>0,存在δ>0,當(dāng)|α-β|<δ,我們有dH([f(t,x(t))]α,[f(t,x(t))]β)ε。于是當(dāng)|α-β|<δ時，有

dH([Tx(t)]α,[Tx(t)]β)

可知T(Br)(t)是截集等度連續(xù)的，并且有緊支集。由引理5知，對任意t∈[0,T],T(Br)t是緊的。另外由Ascoli-Arzelà定理知，T(Br)相對緊。

第三步 算子T是連續(xù)的。

綜上，由Schauder不動點定理可知，算子T在Br中至少存在一個不動點，也就是方程(1)-(2)的解。

在0<λ<1時，我們有如下存在性結(jié)論：

定理2若f:[0,T]×E→E滿足下列條件：

(1)對于任意x∈C([0,T],E),f(t,x(t))關(guān)于g是Henstock-Stieltjes可積的；

(2)對任意t∈[0,T],f(t,·)連續(xù)；

(3)f是緊的；

由于證明過程與定理1類似，在此省略定理2的證明過程。

3 解的唯一性

當(dāng)λ>1時，我們有如下唯一性定理：

定理3f:[0,T]×E→E是連續(xù)的，若對任意的x,y∈C([0,T],E),x≠y,t∈[0,T],都有d(f(t,x(t)),f(t,y(t)))kd(x(t),y(t)),其中k滿足則方程(1)-(2)的解是唯一的。

證明定義一個算子T如下，

假設(shè)x1,x2都是方程(1)-(2)的解，借助引理4我們有

d(x1(t),x2(t))=d(Tx1(t),Tx2(t))

當(dāng)0<λ<1時，我們有如下唯一性定理：

定理4f:[0,T]×E→E是連續(xù)的，若對任意的x,y∈C([0,T],E),x≠y,t∈[0,T],都有d(f(t,x(t)),f(t,y(t)))kd(x(t),y(t)),其中k滿足則方程(1)-(2)的解是唯一的。

由于定理4的證明過程和和定理3的證明過程相似，在此省略定理4的證明。