奇攝動擬線性邊值問題的高階近似解

孔偉應, 陳懷軍, 婁正來

(安徽師范大學 數學與統計學院，安徽 蕪湖 241000)

研究奇攝動邊值問題，需要在構造形式近似的基礎上證明解的存在性[1-7]。1996年，De Jager和江福汝[8]把Harten不動點定理應用到奇攝動擬線性常微分方程初值問題的研究中，隨后劉樹德等[9]用改進的方法研究了與文[8]相應的邊值問題，得到解的零次近似并證明了解的存在性。本文進一步研究奇攝動擬線性邊值問題的高階近似,并應用如下改進的不動點定理。

引理[8](Harten不動點定理) 設(N,‖·‖1)是賦范線性空間,(B,‖·‖)是Banach空間,F是N到B的非線性映射，F[0]=0，且F可分解為

F[p]=L[p]+Ψ[p],p∈N，

其中L是F在p=0的線性化算子，L和Ψ滿足條件：

(i)L是雙射，L-1連續，即存在常數l>0使

‖L-1[q]‖1?q∈B；

‖Ψ[p2]-Ψ[p1]‖m(ρ)‖p2-p1‖1, ?p1,p2∈ΩN(ρ),

其中ΩN(ρ)={p|p∈N,‖p‖1ρ},m(ρ)當ρ→0時單調減少，且

記ρ0=sup {0ρ則對滿足‖χ‖的任意χ∈B，存在p∈N，使得F[p]=χ,且

‖p‖1ρ0。

1 形式近似解的構造

考慮奇攝動擬線性邊值問題

εy″+f(t,y)y′+g(t,y)=0, 0

(1)

y(0,ε)=A,y(1,ε)=B,

(2)

其中ε>0為小參數，A,B為常數。

章國華和Howes[10]利用微分不等式理論研究了此問題，在退化問題

f(t,u)u′+g(t,u)=0,u(1)=B

有解uR(t)，f,g在[0,1]×R上連續可微且存在k>0使得f(t,y)≥k的主要假設下，推出問題(1)，(2)在區間[0,1]上存在一個解y=y(t,ε)且滿足如下估計

|y(t,ε)-uR(t)|

其中c>0為常數。在證明了解的存在性的同時也給出問題的精確解與退化解之間的一個估計，但未能構造出滿足邊界層性質的近似解。

本文我們結合運用合成展開法和Harten不動點定理進行研究。先利用合成展開法構造形式近似解，然后利用不動點定理證明解的存在性，并給出滿足邊界層性質的近似解，使得它與精確解之間的漸近估計可達到任意O(εn)階近似。所做工作推廣了文[2]及近期相關文獻的結果。作假設如下

[H1]f,g∈C([0,1]×R)；

[H2]退化問題

f(t,u)u′+g(t,u)=0,u(1)=B

在[0,1]上有一個解u0(t),且在[0,1]上f(t,u0(t))>0；

[H3]存在k>0,使對介于A和u0(0)之間的任意y,有f(0,y)≥k。

我們先用合成展開法來尋求(1),(2)的形如

y(t,ε)=U(t,ε)+V(ξ,ε)

的漸近解,其中U和V分別稱為問題的外部解和邊界層校正項，當ε→0時具有漸近級數展開式

vj(+)(+)=0。

(3)

(4)

其中

比較(4)式兩邊關于ε的同次冪系數得到

(5)

及

(6)

其中Fj-1(t)是由u0,u1,…,uj-1逐次確定的已知函數。

此外，由U(1,ε)=B得

u0(1)=B,

(7)

uj(1)=0,j≥1,

(8)

由假設[H2]知,問題(5)，(7)在[0,1]上有一個解u0(t),而對每個j≥1,(6)，(8)中相應的線性初值問題在[0,1]上均有唯一解uj(t)(j≥1)。

或

(9)

f(ξε,U+V)=f(0,u0(0)+v0)+ft(0,u0(0)+v0)ξε

fy(ξε,U+θ1V)=fy(0,u0(0))+fyt(0,u0(0))ξε

gy(ξε,U+θ2V)=gy(0,u0(0))+gyt(0,u0(0))ξε

比較(9)式兩邊關于ε的同次冪系數得到

(10)

及

(11)

其中Gj-1(ξ)是由v0,v1,…,vj-1逐次確定的已知函數。

同樣地,將U(t,ε)+V(ξ,ε)代入y(0,ε)=A得到

v0(0)=A-u0(0)

(12)

及

vj(0)=-uj(0),j≥1。

(13)

利用(12)，v0(ξ)可隱式地表示為

其中

由假設[H3]知，v0(ξ)在[0,+)上單調減少，且成立

v0(ξ)=O(exp (-kξ))(ξ→+)。

(14)

現將(11)改寫為

上式兩邊對ξ從ξ到+積分，利用(3)得到

再對ξ從0到ξ積分，并利用(13)可得

因為G0(ξ)是由v0確定的已知函數，故對任意的δ:0<δ<1,可取δ0:0<δ0<δ,使

|G0(ξ)|M0exp (-k(1-δ0)ξ)。

于是

|v1(ξ)|

其中為正常數。

繼續用同樣的方法,可取{δj}:0<δ0<δ1<…<δ,則存在相應的Mj>0,使

|Gj(ξ)|Mjexp (-k(1-δj)ξ),

隨之有

|vj+1(ξ)|

因此對任意δ>0總有

|vj(ξ)|O(exp (-k(1-δ)ξ)(ξ→+),j≥1。

(15)

至此我們已構造出問題(1),(2)的形式漸近解

其中每個vj(ξ)具有性質(14)及(15)。

2 證明解的存在性

令

(16)

將(16)代入(1),(2)可得

其中

且由(14)，(15)可知R(1,ε)當ε→0時為EST。

再令

而φ(t)∈C2[0,1]滿足

φ(t)=0,0tt1,

于是有

(17)

(18)

現在我們定義N→B的映射F:

其中N={p|p∈C2[0,1],p(0,ε)=p(1,ε)=0},B={q|q∈C[0,1]}其范數分別為

則B是一個Banach空間,而N是B的一個閉線性子空間,故也是一個Banach空間。又F[0]=0,且F在p=0的線性化算子為

因此

+[g(t,w+p)-g(t,w)-pgy(t,w)]

下面來檢驗引理中的條件(i)和(ii)。注意到L[p]=0的兩個線性無關的解可表示為[2]

p1(t,ε)=φ(t,ε),

其中φ和ψ當ε→0時具有如下漸近級數展開式

由于當ε>0時

故對?q∈B,邊值問題L[p]=q,p(0,ε)=p(1,ε)=0有唯一解。因此L是雙射。又因為

‖L-1[q]‖1?q∈B,

引理中的條件(i)成立。

任取p1,p2∈ΩN(ρ)(0<ρ<1),有

+[g(t,w+p2)-g(t,w)-p2gy(t,w)]

-[g(t,w+p1)-g(t,w)-p1gy(t,w)]

故存在常數l>0,使

‖Ψ[p2]-Ψ[p1]‖

ρ0=sup {ρ|0ρ1,m(ρ)

由于(17)的右邊是O(εn+1),故從引理推出，對?χ∈B:‖χ‖=O(εn+1)存在使且

于是得到如下定理：

定理在[H1]-[H3]的假設下，對充分小的ε>0,問題(1)，(2)存在解y(t,ε),且當ε→0時在[0,1]上一致地有

注1若把假設條件[H2]更改為：退化問題

f(t,u)u′+g(t,u)=0,u(0)=A

在[0,1]上存在一個解u0(t),且在[0,1]上f(t,u0(t))<0。則得到與定理相應的結論，但由于不滿足右邊界條件，故邊界層出現在右邊。

注2若改用微分不等式理論證明解的存在性，則在假設[H1]-[H3]的基礎上，在增加假設[2]：存在常數μ>0,使對介于u0(0)與A之間的任意y,gy(0,y)-μ。故本文所提條件相對較弱。