基于協整關系的老年人口死亡率預測

張建 王子怡 張亞娟

(1河北工業大學理學院，天津 300401；2中央財經大學保險學院；3河北工業大學人工智能與數據科學學院)

死亡率作為衡定社會養老金的基礎，對養老保險的充足率、替代率等產生深遠影響〔1〕。這一問題涉及我國養老計劃穩定和可持續發展，進而涉及我國老年人口養老福利問題。能夠準確預測老年人口的死亡率意義重大〔2〕。以往文獻〔3～7〕中大多是對分組年齡進行的預測，考慮到老年人口死亡率對社會養老金的特殊影響，有必要對老年人口尋找更加精確的死亡率預測方法。本文考慮中國大陸和中國臺灣地區之間的人口死亡率的長期均衡關系，建立誤差修正模型(VECM),創新性地對中國分性別的65歲以上老年人口的死亡率進行了逐年齡的預測。

1 數據來源

1.1中國大陸 采用1994～2012年中國大陸地區分性別的人口死亡率數據。1994～2006年人口死亡率數據來源于《中國人口統計年鑒》〔8〕；2007～2012年人口死亡率數據來源于《中國人口與就業統計年鑒》〔9〕。2000年的人口死亡率來源于《第五次人口普查數據》〔10〕。2010年的人口死亡率數據來源于《2010年人口普查資料》〔11〕。本文截取了65歲以上老年人口的死亡率進行計算，從65歲開始，每個年齡為1個分組，直到90歲以上為1個分組。1995年、 2000年、2005年和2010年的數據并非截止到90歲，這部分數據根據死亡人口數和年平均人口數之比需要重新計算死亡率。1996年的人口死亡率數據截止到85歲，對85歲以上的各個年齡的死亡率數據采取相鄰年份的死亡率取平均值的方法。

1.2中國臺灣 數據來自網絡人類死亡率數據庫，選擇1994～2012年65歲以上老年人口數據，每個年齡為1個分組，直到90歲以上作為1個分組。另外，由于中國臺灣地區死亡率數據截止到110歲，所以需要對90～110歲人口重新計算死亡率，用年死亡人口數除以年風險暴露數，以此數值作為90歲以上人口的死亡率。

2 建立模型

2.1Lee-Carter模型〔3〕改進及參數算法 Lee-Carter模型的形式如下:ln(mx,t)=αx+βxkt+εx,t

其中：αx表示各年齡組基數死亡率；βx反映個年齡死亡率的對數變化趨勢；kt為死亡率的時間因子，反映歷年死亡率的相對強度；mx,t表示x歲在t時間的中心死亡率。εx,t是隨機誤差項，均值為零，標準差為σe。表示t年時x歲的人口死亡率的殘差項，反映模型沒有考慮到的因素對死亡率的影響。

Lee-Carter模型右邊的3個參數都無法直接觀測得到，因此采用奇異值分解法〔12〕來對參數模型進行擬合和預測。具體過程如下：

(3)調節kt的估計值，使基于模型計算的總死亡人數和真實的死亡人數相對等。

2.2考慮地區相關性的死亡率預測模型 由于中國大陸人口死亡率數據有限，相比之下中國臺灣地區的人口死亡率數據較充足。考慮地區之間死亡率的相關關系能夠更多地挖掘歷史數據的信息。柳向東等〔6〕基于中國大陸和中國臺灣地區之間的長期均衡關系對Lee-Carter模型進行了改進。

考慮到兩個國家死亡率水平的相關性，可以用矩陣的形式表示如下：

2.2.2建立Kt的VECM模型 由于變量之間的協整關系存在的前提是分析的變量都是非平穩序列，因此必須要求Kt的每個子序列都為非平穩序列，Kt的p階VECM模型如下：

將VECM模型整理成VAR模型：

Lee-Carter模型的殘差差分項Δex,t與VECM模型的殘差項εt之間是相互獨立的，通過對VECM模型進行迭代運算，可得關于Kt+n+1的公式：

其中yd(h)=y1(h-1)θd+1(d

3 中國大陸老年人口死亡率的預測

基于1994～2012年中國大陸地區和中國臺灣地區的分性別的65歲以上人口逐年齡死亡率數據進行預測，得到2013、2014年的死亡率預測值。

3.1協整關系的檢驗 首先對四組數據的時間因子序列進行ADF單位根檢驗(Augmented Dickey-Fuller test)，判斷四組時間因子序列是否是非平穩的，經過一階差分后是否是平穩的，時間因子的ADF單位根檢驗結果：見表1。四組時間因子序列均是非平穩的，但是經過一階差分后平穩，所以四組時間因子序列均是I(1)序列，滿足下一步進行協整分析的條件〔13〕。

根據對數似然法則(Log-likehood)、AIC、SBC準則進行模型滯后階數的確定〔7〕，選擇3個數值較小的模型，根據這3條準則，確定VECM模型的最佳滯后階數是一階。對以上幾個時間因子序列進行Johanson跡統計量檢驗，從統計學角度判斷他們之間是否存在協整關系。Johanson跡統計量檢驗結果顯示存在一個協整關系。見表2。

表1 時間因子的ADF單位根檢驗

表2 四組時間因子序列的Johanson跡統計量檢驗

3.2預測的結果 根據中國臺灣地區和中國大陸地區死亡率的時間因子序列，經過計算得到VECM模型如下：

用VECM模型對四組時間因子序列kt進行預測得到：時間因子預測結果見表3。經過計算，最終得到中國男性和女性65歲以上人口死亡率預測值。

表3 四組時間因子序列的時間因子預測結果

表4 預測值與真實值之間的最小均方誤差

圖1 2013年男性預測值與真實值對比

圖3 2014年男性預測值與真實值對比

圖2 2013年女性預測值與真實值對比

圖4 2014年女性預測值與真實值對比

4 討 論

對老年人口各年齡的死亡率預測結果的精確得出有利于我國社會保障機構更精準的測算相關養老保險的充足率、替代率等，有利于社會保障機構進行高效管理、精準預測，保證了社會保障養老基金的正常的運行和發展，這將極大地利于老年人社會保障水平的穩定，為老人提供更合理的養老保障。